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1、微专题10不等式恒(能)成立问题高考定位利用导数解决不等式恒成立或有解问题，是高考的热点之一，以解答题的形式出现，多为压轴题，难度较大.【难点突破】高考真题(2022新高考II卷节选)已知函数yU)=xeGH(1)当=l时,讨论兀O的单调性;当x0时，危)1,求。的取值范围.解(1)当a=l时，Xx)=(-l)exR,则/(x)=xe当x0时，/(x)0时，/(x)0,故7U)的单调递减区间为(一8,0),单调递增区间为(0,+8).(2)设z(x)=xev-e+1,则Zt(O)=Of又)=(l+ax)e-ex,设g(x)=(1+&v)eev,则8,()=(2+a2x)eaxe,若W，则g(0
2、)=20T,因为g(x)为连续不间断函数，故存在xo(O,+),使得Vx(0,次)，总有g(x)O,故g(x)在(0,Xo)上单调递增，故g(x)g(O)=O,故/Z(X)在(0,&)上单调递增，故6(x)?(O)=0,与题设矛盾.若00,总有In(I+x)x成立.证明：设Sa)=In(I+x)-,1X故S,(x)1I-1=1I0,1+x1十X故Sa)在(0,+8)上单调递减，故Sa)s()=o,即ln(l+x)x成立.由上述不等式有ear+31+如)ee+r-T=e2r-ev0,故z(x)0总成立，即(x)(0,+8)上单调递减，所以(x)(O)=O.当0时，有hx)=eax-ex+axea
3、x-1+0=0,所以MX)在(0,+8)上单调递减，所以A(x)0.设(x)=er-2x,则hf(x)=ex-2,令(x)O,得xln2,所以00=十一2在0,1112)上单调递减,在(In2,+8)上单调递增，所以(x)2(ln2)=e,n2-21n2=2-2ln20,即ev-2xO,所以gO,所以g(x)在0,+8)上单调递增，所以g(0)=-1520,即-亍样题2(2023武汉调研节选)已知函数;U)=里士(R),若段恒成立，求实数。的取值范围.解因为40e+;一l恒成立，即吟UWeC+一1对x(0,+8)恒成立，即Wxef-xlnx+1对工(0,+8)恒成立，令w(x)=xev1xln
4、x1,则u,(x)=e,xer,-1=(xl)er1-J,当x(0,1)时，(x)0,Na)在(1,+8)上单调递增，故当X=I时，Na)取最小值(1)=1,所以Wl,所以实数。的取值范围是(-8,1.样题3已知yU)=(-4)ex-2+6x,(x)=ln-(a+l)x,a-.(1)求五x)的极值；(2)若存在xl,3,对任意的X2e2,e3,使得不等式g(x2)xi)成立，求实数a的取值范围.(e3%20.09)解(1)由J(x)=(x-4)ev-X2+6x,得Fa)=e4+(x-4)eA2x+6=-3)ex-2x+6=(x3)e2),令f(X)0f得X3或xln2,当X变化时，/(),yu
5、)的变化如下表：X(-ln2)In2(In2,3)3(3，+8)/()+00+於)单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表可知，当X=In2时，7U)取得极大值,极大值为4n2)=(In2-4)eln2-(ln2)2+61n2=-(ln2)2+81n2-8,当x=3时，人外取得极小值，极小值为13)=(34把332+18=9e3.(2)由知QO在1,3上单调递减,所以当xl,3时，兀Omin=/(3)=9-e3,于是若存在阳1,3,对任意的X2d,e3,使得不等式g3)次x)成立，则InA3+l)x9e3(-1)在e?,e?上恒成立,即 a-ln-9e3,在怆2, e?上恒成立,令 h(x)=
6、In x-9+e3X,xe2, e3,x-(l11-9+e3)10-e3-ln贝I+lz(x)min,hf(x)=2=2因为xe2,e3,所以lnx2,3,10-e3-lnx7-e3,8e3,因为3比20.09,所以8-e38-20.09=-12.090,所以(x)0,所以R(X)单调递减，,RIne3e3-96故l(x)min=(e)=1-G,于是+ll-3，得41,所以实数。的取值范围是(一1,一摄).规律方法L由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题.(2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为。刁(X)max或VU)min的形式，通过
7、导数的应用求出7U)的最值，即得参数的范围.2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别.训练已知函数4r)=lnx,当彳21时，火工)WaT24,求。的取值范围.解当x21时，令g(x)=xlnx(f-l),得g(l)=O,g,(x)=lnx+12r,令(x)=lnx+1lax,r112ax贝Uh,(x)=-2a=-.若得(x)0,则gO,所以g(x)在1,+8)上单调递增，所以g(x)2g(l)=O,从而XInXa(f1)20,不符合题意；若a09令r(x)=O,得R=五.(i)若01，当XEb归时，,(x)Ofg。)在1,上单调递增，从而g32g0,所以g(x)在
8、1,上单调递增，此时g(x)2g(l)=0,不符合题意；(ii)若心/贝0O,眇一0,所以Fa)o,则40在2,+8)上单调递增，y()(2)=0成立.当OVaWe2时，/()20,所以40在2,+8)上单调递增，所以yu)宓2)=0成立.当白e2时，当Q,Ina)时，/(x)V0；当x(lnm+8)时，/()0,所以7U)在(2,Ma)上单调递减，在(Inm+8)上单调递增，不恒成立,不符合题意.综上，。的取值范围是(-8,e2.法二当x2时，U)20恒成立，等价于当x22时，(x2)ex-g2+0r20恒成立，即(*一x(-2)e*在2,+8)上恒成立.当x=2时，04W0,此时R.当x2
9、时，22-09*八(r2)e2e_a,所以W-j=;怛成立.产一工、n2evr.l2(-1)ex设g()=,则g(x)=，因为x2,所以gO,所以g(x)在(2,+8)上单调递增，所以g(x)g(2)=e2,所以ae2.综上，。的取值范围是(-8,e2.x+I5G+Z*(A+l)x,R.2.(2023榆林模拟)已知函数段)=-52)n(1)若Q0,求TU)的单调区间；(2)若AZ,且当QI时，/(x)vlnx+l,求女的最大值.解(1次x)的定义域为(0,+8),f(x)(1x)lnx+1$+k+%(&+1)=(1尤)(Inx-k),由f(x)01得A=1或x=e,若匕0,则Q1,当x(0,l
10、)U(e+8)时，/()0,故7U)的单调递减区间为(0,1)和(1,+),单调递增区间为(1,M).nx+1(2)因为xl,所以/(x)lnx+l等价于Al,则 g3=(In x+-X2In X(LI) 2一 (-l) 2,令力(X)=X2lnx,xl,则Ia)=I卜0,则6(x)在(1,+8)上单调递增.H为h(3)=1-In30,所以w(3,4),%(Xo)=0,即MXO=Xo2,所以当x(l,XO)时,g,(x)09g(x)单调递增,“，,lnxol所以g(x)min=g(x)=lnXOj=XO1(2,3).故攵的最大值为2.3.(2023辽宁名校联考)已知函数y(x)=jdnx尔+加
11、.(1)求人x)的单调区间；(2)请在下列两问中选择一问作答，答题前请标好选择.如果多写按第一个计分.若对任意x(0,1),不等式yu)一又恒成立，求”的最小整数值；若存在x(l,+)使得不等式yu)Inx成立，求实数机的取值范围.解(iyU)的定义域为(O,+8),/(X)=Inx+(l-w).令Fa)=0,得x=el由/(x)v,解得Oa0,解得xe厂I所以“r)的单调递减区间为(0,ew1),单调递增区间为(e厂I+).(2)选择:当oxX恒成立，即用：KIn x+xx-1恒成立. xln x+x令g()= _ 1，X(0，1)，4 1则 gf(x)=xl -2(-l) 2,令6(x)=-Inx2,x(0,1),Y1则1(%)=一二0,即力(X)单调递减，而=一0,则/心)在G，1)上存在一个零点XO,使得(xo)=xo
