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1、正方形的性质及判定知识归纳1 .正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2 .正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形.它具有前三者的所有性质:边的性质：对边平行，四条边都相等.角的性质：四个角都是直角.对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形.平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：如图3 .正方形的判定判定：有一组邻边相等的矩形是正方形.判定：有一个角是直角的菱形是正方形.4 .重点：知晓正方形的性质和正方形的判定方法。难点：正方形知识的灵活应用例题讲解一、正方形的性质例1：如图，正
2、方形ABCQ的面积为256,点F在CO上，点E在CB的延长线上，且AEJ_囚尸，A尸=20,那么班的长为变式1:如图，在正方形45C。中，E为B边的中点，G,尸分别为AO,BC边上的点，假设AG=I,BF=2,NGEF=90。，那么G尸的长为.变式2：将个边长都为ICm的正方形按如下图摆放，点A，4，4分别是正方形的中心，那么个正方形重叠形成的重叠局部的面积和为例2：如图，石是正方形ABa）对角线8。上的一点，求证：AE=CE.变式1:如图，P为正方形ABeD对角线上一点，PE上BC于E,PT7LCD于尸.求证：AP=EF.例3：如图，P是正方形ABa）内的一点，旦AABP为等边三角形，那么N
3、DCP=变式1：如图，E、尸分别是正方形ACD的边3C、CZ）上的点，AE.A”分别与对角线相交于M、N,假设NEAF=50。，那么NCME+NCV/7=.变式2：如图，四边形ABCO为正方形，以48为边向正方形外作正方ABE,CE与应）相交于点尸，那么N4D=例4：如图，正方形ABC力的边CD在正方形EcGr的边CE上，连接BE,DG,求证：BE=DG.变式1：如图，在正方形ABeD中，E为CD边上的一点,尸为BC延上的一点，CE=CF,ZFDC=30t求NBEF的度数.变式2：如图，在正方形ABCO中，G是8上一点，延长BC到石，使CE=CG,连接8G并延长交OE于尸.(1)求证：CGDC
4、E;(2)将ADCE绕点。顺时针旋转90。得到判断四边形EBG。是什么特殊四边形？并说明理由.例5：假设正方形ABCz)的边长为4,E为BC边上一点,BE=3,M为线段AE上一点，射线8V交正方形的一边于点尸，且班=AE,那么8M的长为.变式1：如图1,在正方形ABa)中，E、F、G、分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HA=EB=FC=GD,连接EG、FH,交点为O.(1)如图2,连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形砂Ga的形状，并证明你的结论；将正方形AeCQ沿线段EG、“F剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形.假设正方形AB8的边长为3cm,HA=EB=FC=GD
5、=TCm,那么图3中阴影局部的面积为cm2.变式2：如图，正方形ABa)对角线相交于点O,点P、Q分别是5C、CD上的点，AQVDP,求证:(1)OP=OQ;(2)OPVOQ.例6：如图，正方形458中，E,尸是AB,BC边上两点，且所=AE+尸C,)G_L七产于G,求证：DG=DA变式1：如图，点M,N分别在正方形ABa)的边8C,8上，AWCN的周长等于正方形ABCD周长的一半，求NAlAN的度数变式2：如图，设所正方形ABC。的对角线Ae,在DA延长线上取一点G,使AG=4),EG与DF交于H,求证：A=正方形的边长.例7：把正方形ABCD绕着点、A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,
6、边FG与BC交于点、(如图).试问线段“G与线段”8相等吗？请先观察猜测，然后再证明你的猜测.变式1：如下图，在直角梯形A8CD中，AD/BC,NAz)C=90,/是Ao的垂直平分线，交40于点M,以腰AB为边作正方形AWTE,作EPJj于点P,求证2EP+AO=2CZ二、正方形的判定例1：四边形ABCO的四个内角的平分线两两相交又形成一个四边形EPG”,求证：四边形EPG对角互补；假设四边形ABCD为平行四边形，那么四边形EFGH为矩形.四边形ABCD为长方形，那么四边形EFGH为正方形.变式1:如图，平行四边形ABa）中，对角线AC、BD交于点O,石是8D延长线上的点，且ACE是等边三角形
7、.求证：四边形ABCD是菱形；（2）假设NAD=2N皿,求证：四边形ABa）是正方形.变式2：如图，在A8C中，AB=AC,ADYBC,垂足为点D,AN是A8C外角NCAM的平分线,CELAN,垂足为点E.求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形Az）CE是一个正方形？并给出证明.例2：如图，ABa）是边长为1的正方形，FG”是内接于ABe的正方形，E=afAF=b,假设2SEFGH=，那么忸-同二例3：如图，假设在平行四边形ABCD各边上向平行四边形的外侧作正方形，求证：以四个正方形中心为顶点组成一个正方形.附加题：1 .如图，A在线段BG上，488和力瓦G都是正方形，面积分别为7cm?和IlCm?,那么ACDE的面积为2 .如图，在正方形ABa）中，E、尸分别是AB、8C的中点，求证：AM=AD.3 .如图，正方形ABcD中，。是对角线AC,5。的交点，过点。作OE_LOF,分别交河，。于石，厂，假设AE=4,B=3,那么石尸=4 .如下图，A8C。是正方形，石为所上的一点，四边形AEFc恰好是一个菱形，那么NEAB=.
