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1、第七章习题解答1 .设(X,d)为一度量空间，令U(x0,)=xxeX,(x,x0)h)因此口,切按d(f,g)成度量空间。3 .设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集G，6M包含B，而且AqI=B。M=I证明令=Bq,=或工,8)/,冷=12.4是开集：设0那么存在X8,使nJ(x0,x1)0,那么易验证U(X0,b)uq,这就证明了q,是开集nn显然Co假设Xco”那么对每一个n,有WB使d(x,X)x(fj8)。因B是闭集，必有t8,所以CO“=B。=14 .设d&,y)为空间X上的距离，证明Z(X,y)=,d(jN)l+d(x9y)是X上的距离。证明假设d(x,y)=O那么d(x,
2、y)=O,必有二y因，/(%,工或工,2)+4(乂2)而一在0,8)上是单增函数，于是1+f7(x,y)=-L7(x,y)=Hz)+d(y,z)l+d(x,y)1+J(x,z)+J(,z)d0,z)Id(y,z)1+d(x,z)+d(y,z)l+d(x,z)+d(y,z)d(x,z)1 + d(x,z)I d(y,z)l+d(y,z)= d(x,z)+ d (y,z)。5 .证明点列/；按习题2中距离收敛与fC,例的充要条件为A的各阶导数在a,b上一致收敛于f的各阶导数。证明假设，按习题2中距离收敛与C4,即1(0-r0(A)7max,0()+A-r,0(oo),这样因此对每个r,maxr2r
3、+A-maxk0-0(-8),即力在a,b上一致收敛于/。反之，假设的。，存在，使)N,时，max1力一尸)(“N时，t(,t)max,w-4即(/，)。(一8)。6 .设8u向,证明度量空间Cm,切中的集f当tB时f=0为Qa,句中的闭集，而集A=f当tB时，If(t)I0)为开集的充要条件是R为闭集。证明记E=f当teB时f=0。设力E,按Qa,切中度量收敛于f,即在a,bln(Z)一致收敛于f(t)。设，8,那么/=Iim00充分性。当B是闭集时，设fA因f在B上连续而B是有界闭集，必有f3,使)=max(r).设6Z-(r0)=Oo我们证明必有U(,5)uA。设gU(f,b),那么假设
4、t三B.必有(f)-g卜6,于是lg(3(f)-g+FQ)l%(一8),倘假设Wb,那么定义，=。一|/一片|。于是对任意，6,力Q)=一|，一八|。因此，)A由于A是开集，必有0,当Ca,b且d(,/)0(n-00)因此当fb时，ZIWA但是(G=-fT+%TOl=*此与A的必要条件:对任意B,有，(r)o,证明必有不相交开集O及G分别包含E及F证明设或瓦产)=So令o=xd(x,E)=J,G=XId(Xi)=前zOnG那么EuO,/UG,且OCGW，事实上，假设OcG，那么有，所以存在E中的点X使d(x,z)g,F中点y使c(y,z)(g,于是d(x,y)d(x,z)+d(y,z)S,此与
5、d(x,y)d(E尸)=b矛盾。8 .设Ba,b表示a,b上实有界函数全体，对Ba,b中任意两元素f,gBa,b,规定距离为d(f,g)=supIf(t)-g(f)I证明Ba,b不是可分空间。atb证明对任意foa,b,定义儿)=lo)2,f0,b)那么4)Ba,bj,且假设乙WG，d(D=l倘假设Ba,b是不可分的，那么有可数稠密子集g对任意%wb,U,g)必有某g，即(g”,儿)g由于b上的点的全体是不可数集。这样必有某g，f”,使&一4)，gU(41),于是d(fli,ft2)或九，g.)+d(gn,ft2)Vg+g=1此与d(fh,乙)=1矛盾，因此Ba,b不是可分空间。9 .设X是可
6、分距离空间，0,存在%A,使(/,No)vinfd(x,y)+刍=/(/)+专。取E2=f0那么当d(x,/)6时,F(X)=infd(x,y)d(x,为)d(x,/)+(%,%)/(%)+因此/(x)-/(与)。由于X与10对称性，还可得*o)-F(X)0，使U(X,J)Cg=。，令G=UU(X,W),类似G?=Ut(y,其中U(y,4)c6=O,显然G,G?是开集，且XWFl2XG&2G1FpG2F2倘假设GCG2。,，那么必有XW匹，yw72，使U(y,晟)nu(x,当)Oo设zU(y,mi)nua,).不妨设4j,那么xyd(y,x)d(x,z)+J(z,y)c是开集。这样&I%WXJ
7、a)cCxxeX9f(x)c是闭集。同理xxX,(x)c是闭集。反之，假设对每个实数c,xxXJ(x)c和xxXJ(x)c都是闭集,那么xxXJ(X)Vc和%|%*,/)。都是开集。设G是直线上的开集，那么G=IIa也)或G=OQ也)，其中(4.也)是G的构成区间。不妨设=l=lG=U(%也)于是/=1OOOOFT(G)=UxXeX,%f(x)j)11(xXWX(x)0,存在N,使当n,mN时，d(xn.xm).9令M=maxd(x,XN)0。一0),2t因此对任意0,存在b0,当03时Y,对此b0,存在n,mN时,l-2,/d( x )-y1 -cw0一乙2+|”一M)I1|产()_卢(M)I因此%F马，从而IlTr)I总8)。令X=4故有XS,81尸。，存在i0,使Z-rN,时，Ig泮一|N=maxTV1,Nb)时，f1KYj0,存在N，使当n,mN时d(x.,x,”)。这样对任意，A,Ixm(0-xltl(01supIxn(Z)-xm(/)x(tn-),由于n,mN时|/(。-Xma)K,m-,得,这样Ix(01Xtta)+,于是supIx(t)suxnQ)+0,存在N,当n,mN是火/,()N,d(,巧v)N是Z=X因此%一(一8),即(X,d)是完备的度量空间。
