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1、活用导数的定义解题导数的定义是导数的根本概念之一，是导数的根底，也是学好导数必须扎实掌握的重点。围绕导数的定义产生的试题形形色色，为了让你全面认识这一概念，本文向你展示活用导数的定义解题，也许对你今后有学习会有帮助。请看：1、大小比拟例1、函数/(x)的图像如图(5)所示,以下不等关系正确的选项是()y由图可见,过点B的切线的斜率大于过点A的切线的斜率,那么有OVr(3)V/(2)。另一方面,在这两点的平均变化率为一,=/(3)-/(2),其几何意义为割线AB的斜率,由图(5)可见,答案应为Co32点评：此题借助于导数定义，对“平均变化率”进行了考察，通过“平均变化率”使结论产生，显然，导数的
2、定义在背后产生了作用。2、求极限值例2、f(3)=2,f(3)=-2,那么：Iim型手的值为().x3X-3A、0B、2C、8D、6解析：由(3)=-2,可得Iimx3X-32x-3f(x)2x-6+6-3f(x)2x-66-3f(x)于是Iim匕=Iim匕=Iim+IimLx3-313X-313%-3x3X-3=2-31im/=23f(3)=8.应选C.7-3点评：此题中将/(3)=-2,结合导数的定义产生Iim=一2是解题的关键。有了13%一3这个转化，结论快速产生。例3、假设函数/(X)在X=。处的导数为A,求IimS+4r)-)(+5A),解析:/在片。处的导数为人BPHmxA点评：在
3、导数的定义中，增量x的形式是多种多样的，但不管Ar选择哪种形式，AT也必须选择相对应的形式，。3、求某点处的导数值例4、/(x)=x(l+x),用导数定义求/(O)=1 + x,y_/(0+)-(0)_Ml+H)111/I-xxx.Iim包=Iim(I+)=1,故(0)=1xOMO11点评：此题借助导数定义，巧妙的产生了尸(0)的值。可以说这种求解非常好，就算是以后学了导数的运算法那么及运算公式，这种方法依然少不了。例5、求函数/(x)=MX-1)。-2)(x-50)在X=O处的导数解析：=/(0+x)-/(0)二r(x-l)(r-2)(x-50)-0=x(x-l)(x-2)(x-50)，包=
4、入3-3-2)-3-5。)心_)(/2)3.5。)xx/(0)=Iim包=Iim(Ar1)(X-2)(x-50)=(-l)(-2)(-50)=50!ArToAX-O点评：此题借助导数定义，巧妙的产生了/(0)的值。可以说这种求解非常好，就算是以后学了导数的运算法那么及运算公式，这种方法依然少不了。4、求几何图形的面积例4、(2006湖南)曲线y=L和y=2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是解析：联立两曲线方程得1 V =X解得Vy = x2XX-一,即交点坐标为(1,1)y=11曲线y=在点(1,1)处的切线斜率为：/=Iiml+&1_=,XArX-1+X所以在点(1,1)处的一
5、条切线方程为：y-l=-(X-1),即y=-2同理，曲线y=2在点(1,1)处的切线斜率为：/(l)=im(1+AU-=Iim2&+K*所以在点“，1)处的另外一条切线方程为:AJOxAVTOxy-l=2(-l)即y=2-l所以两条切线方程为：y=-2和y=2-l,所围成的图象如下113S=-l(2)=-o224点评：此题借助于导数的定义，产生了两切线方程，通过两切线围成的几何图形，进一步产生了面积。5、求瞬时速度例5、竖直向上弹射一个小球，小球的初速度为100ms,试求小球何时速度为零。解析：小球向上的位移是初速度引起的位移(oot)与重力引起的位移(-;g)的合成。所以小球的运动方程为(r
6、)=100f-；gt2,a7100(r+O-(r)2-(lOOr-r2)在t附近的平均变化率为：=ZZrr故小球的瞬时速度v(0=lim(l00-gf-；gA/)=100-gf令Wa=100-g，=0解得，=变*些=10.2(5)g9.8因此，小球被弹射后约102s后速度变为0。点评：此题依据导数的定义求得t时刻的瞬时速度V(Z)=(f),再令/(f)=0求得速度为。的时刻，应注意此题的方法技巧。6、探索性问题例6、设/*)为可导函数且满足Iim,0)一一)=,问曲线y=(x)在点(IJ)处的切XTo2x线斜率是否存在？假设存在求/(x)在该点的切线斜率；假设不存在，请说明理由.解析：./O)为可导函数且Iim四二四二Q=T,-o2x.Iim/二/。二)=2Iim/T(I)二乜，/=-2.XTOXr2x即/(X)在点(1,/(1)处存在切线斜率,且y=f(x)在点(1,/(1)处切线的斜率为-2.点评：此题是探索性问题，通过应用导数定义，借助条件产生了/(I)的值，从而肯定了点(1,/(1)处的切线斜率存在。好了，导数定义的活用，就谈到此，想一想你也能举出一例吗？
