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1、第02讲.解直角三角形辅导讲义（教师版）主讲内容解直角三角形锐角三角函数的实际应用第02讲一解直角三角形教师版匕J知识精讲一.解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.二.解直角三角形要用到的关系1 .三边之间的关系6f2+Z?2=C22 .两锐角之间关系ZA+4=90。3 .边角之间的关系ZA的对边aNB的对边bsinA=sinB=.斜边C斜边cZA的邻边bNB的邻边acosA=cosB=斜边C斜边CtanA=ZA的对边_atanB=/B的对边_b邻边h邻边a三.圆中的相关计算1 .利用勾股定理和锐角三角函数求解圆中有关直角三角形的边长问题;2 .利用直
2、径所对圆周角为90。，构造直角三角形；3 .利用切线的性质求解线段长度.上义三点剖析一.考点：解直角三角形，与圆结合求解线段长度.二.重难点：1 .特殊三角函数值的记忆以及应用；2 .圆中直径与所对圆周角的构造以及直角三角形选取的问题;3 .射影定理与锐角三角函数结合.三.易错点：特殊三角函数值的三边比例对应关系.心J解直角三角形例题1 在aABC中，ZC=90o,BC=4,sinA=-,则边AC的长是（）38A.25B.6C.-D.2I3【答案】A【解析】在AABC中，NC=90。，BC=4,SinA=上，3根据勾股定理，得AC=JAB2-BC?=晒=2卮故选：A.42如图，在四边形ABCD
3、中，Z=ZD=90o,AB=3,BC=2,tan=-,则8=3【解析】解：延长AD和BC交于点E.在RtMBE中，tanA=,AB=3，3:.BE=4,.EC=BE-BC=4-2=2fMBE和ACOE中，ZB=NEDC=90。，ZE=ZE:.ZDCE=ZADF4.町ACO匹中，tanZDCE=CanA=-=-,DC3.设。E=4x,则。C=3x,在心ACDE中，EC2=DE2+DC2,/.4=16x2+9x2,解得：X=-,则8=9.55AD是BC边上的高，taC=r2AE代，AB=4,求aABC的周长.【答案】【解析】10+35+7在RtAADC中，tanC=1,DC2设AD=k,CD=2k
4、,AC=而帚=00ac=35,团泥k=3J,解得k=3,0AD=3,CD=6,在Rt0ABD中，BD7AB2-AD242-326，ABC的周长=AB+AC+BD+CD=4+3掂+疗6=10+3泥+行44如图，在AABC中，SinB=-,点F在BC上，AB=AF=5,过点F作EF_LCB交AC于点E,且AE：EC=3：5,求BF的长与SinC的值.【解析】 过点A作ADJ_CB,垂足为点D,丁SinB=-，5.*.cosB=-53在RtAABD中，8f=A8cos8=5x-=3,5VAB=AFADCB,BF=2BD=6,VEFCBADlCB,EFAD,DFAE9CFECVAE：EC=3：DF=B
5、D=3,ACF=5,：.CD=8,在RSABD中,在 RtACD 中,(1)求AABC面积;4Ao=A8sin8=5-=4,5AC=AD2+CD2=45,AC55如图，已知aABC中，NB=45,taC=-,BC=6.2(2)AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求DE的长.【答案】6屿2【解析】(1)过点A作AH_LBC于点H,在RtAABC中,ZB=450,设AH=x,!OH=X,在RtZAHC中，taC=-=-,HC2HC=2x,VBC=6,：x+2x=6,解得：=2,AH=2,；Sabc=-BCAH=6;2(2)由(1)得AH=2,CH=4,在RtZXAHC中，AC=A2+C2=
6、25,TDE垂直平分AC,CD=-AC=5,2VEDlAC,RtEDC,taC=-=-CD2de=tA6已知点。是四边形ABCD内一点，AB=BC,OD=OC,ZABC=ZD0C=.（1）如图L=60o,探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；（2）如图2,=120o,探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为（直接写出答案）【答案】(1)AD=OB(2)AD=OBa(3)AD=2sin-OB2【解析】(1)AD=OB,如图1,连接ACVAB=BC,OD=OC,NABC=NDOC=60,ABC与ACOD是等边三角形，Z
7、ACB=ZDCO=60o,ZACD=ZBCo,在AACD与aBCO中，AC=BC所以，CoSB=AB故选D.8在RtZXABC中，C=90,tan=-,则CoSA=()3dBF).(1)求证： ACE AFE；(2)求 IanNCAE 的值.【答案】(1)见解析(2)公5【解析】本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键.(1)根据角的平分线的性质可求得CE=EF,然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等.(2)rtACEAFE,得出AOAF,CE=EF,设BF=m,则AO2m,AF=2m,AB=3m,根据勾股定理可求得，2mtanZ
8、B=-=,CE=EF=,在RTCE中，IanZCAE=-=；BC65AC2m5(1)证明：YAE是NBAC的平分线，ECAC,EFAF,CE=EF,在RtACE与RtAFE中，CE=EFAE=AE,RtACEgRSAFE(HL)；(2)由(1)可知AACEgaAFE,AC=AF,CE=EF,设BF=m,则AC=2m,AF=2m,AB=3m,：BC=VaB2-AC2=V9m2-4m2=5m,解法一：；NC=NEFB=90。，EFBACB,EFFBACBCVCE=EF,.CE_m_5ACm5解法二：在RTABC中，tanNB=江=4-=2,BC5m5在RTAEFB中，EF=BFtanZB=,5CE
9、=EF=，52m在RTZkACE中，tanZCAE=-=；AC2m5/.tanZCAE=.510在RtZkABC中，ZACB=90o,点D在边Ae上，DE_LAB于点E,连CE.（1）如图1,已知AC=BC,AD=2CD,ADE与aABC面积之比；求tanZECB的值；（2）如图2,已知生=四=&,求tanNECB的值（用含k的代数式表示）.ACDC【答案】（1）2；29/c、k3+k2（2）tanZ.ECB=k【解析】（1）作EH_LAD于H,如图1,设CD=X,则AD=2x,AC=BC=3x,VAC=BC,NACB=90。，ACB为等腰直角三角形，ZA=45o,而DE_LAB,ADE为等腰
10、直角三角形，/.AH=HD=HE=X,*S加-2xx=X2S小ADE_X_2。一17一丁2O在RtZXCHE中，tanZWEC=-=2,HEXVHEBC,ZBCE=ZHEC,.*.tanZECB=2;(2)作EHJ_AD于H,如图2,设CD=a,.BCAD,=k,ACDCAD=ak,BC=kAC,AC=(k+l)a,/.BC=(k2+k)a,：.AB=y(k+1)202+(k2+k)za2=(k+)yk2+a，VDEAE,ZAED=90o,.NDAE=NBAC,ADEABC,即=-,解得AE=YL=ABAC(2+l)Jr+la(k+)a2+lVHE/7BC,AHEACB,ak.AHHE_AE叩
11、AHHE&*ACBCAB,(k+l)4-(F+Qa-优+ 一，aklick2ak2+k2+ Z4个AU/.nCtkky+k2+ CH=AC-AH=+V)a；=；a,+1Ic+1内+F+1 IanNHEC=史=七1=k+k+lfHEk%k2k2+lVHEBC,NBCE=NHEC,11如图，AD、BE是AABC的两条高，过点D作DFlAB,垂足为F,FD交BE于M,FD、AC的延长线交于点N.(1)求证：ABFMsaNFA;(2)试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若AC=BC,DN=12,tanN=；,求线段AC的长.A【答案】(1)BFMNFA(2) DF2=FMFN(3) AC=55【解析】(1)证明：；DF_LAB,AD、BE是aABC的高,NBFD=NAFD=NAEB=NAD
