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1、第十七讲：从问题到方程【课堂引入】一个伟大的设想早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程。虽然笛卡尔的“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性。问题：老师发现同学们的年龄大多是13岁，老师今年32岁。问经过多少年，同学们的年龄是老师的一半？第一种方法：枚举法相关数量老师年龄同学年龄是否符合今年32132年后3415否4年后3617否6年后3819是第二种方法：用方程解决解：设经过X年，同学的年龄是岁，老师的年龄是岁。根据题意可得方程:【同步知识梳理】1 .等式的概
2、念（1）表示相等关系的式子叫等式，如=b,1+（-5）=-4,3x-6=2x+5等.（2）判断个式子是不是等式的方法是：看一看式子中含不含有“二”号.如3加-2,x2L都不是等式.32 .方程的概念含有未知数的等式叫方程.如3x4=5,/-16=0等.3 .一元一次方程的概念只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫一元一次方程.如3x-6=2x+5,X=O等都是一元一次方程.ax+b=0（。声0）通常叫做关于X的一元一次方程的标准形式.其中，只有一个未知项ar,一个常数项6,方程右边是0.4 .方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解.5 .方程的解与解方程使方程
3、左、右两边相等的未知数的值叫方程的解；求方程的解的过程叫解方程.通过观察、估计以及适当的计算可以得出方程的解；检验某一数值是不是方程的解，可以把这一数值代入方程分别计算出方程的左边和右边.如果左边=右边，则是方程的解.如果左边工右边，则不是方程的解.6 .等式的性质（1）等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等.如果=b,那么c=bc.（2）等式性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等.如果=b,那么c=bc;如果=b（c0）,那么3=2.CC7 .运用等式的性质解简单的一元一次方程的步骤（1）方程两边同时加（或减）同一个数；（2）方程两边同时乘以（或除以
4、）同一个数（除数不为0）.8 .“从问题到方程”的一般步骤1 .审清题意，找出数量间的相等关系2 .设未知数，并用未知数表示其它的量3 .根据等量关系式列出方程。?【课堂练习】题型一：一元一次方程的定义例1、下列是一元一次方程的是（）A.8+72=240B.9x=3x-8C.5y-3D.2+-l=0变式训练：1、下列属于一元一次方程的是（）A.x-4=0B.x+y=2C.-1=0D.x2+1=0X2、已知（。一3）H+6=0是关于X的一元一次方程，则a为23已知下列方程：x-2=；0.3X=1；一=5x-l;4x=3；x=6；x+2y=0X2其中一元一次方程的个数是（）A.2B.3C.4D.5
5、题型二：方程的解例2、下列方程中，方程的解为X=2的是（）.2x=6B.（x-3）=（x+2）C.x2=4D.9x-18=0变式训练：1、如果方程2n+b=加一1的解是2=-4,那么b的值为（）A. 3B. 5C. -5D. -132、下列方程中，解为X=4的方程是（）.x1=4B.4x=1C.4x1=3x+3D.15（x-1）=13、等式m=3不是方程（）的解A.2m=6B.m3=OC.m（m3）=4D.m+3=0题型三：等式的性质例3、已知x=y,则下面变形不一定成立的是（）XVA.x+a=y+aB.x-a=y-aC.=D.2x=2yaa变式训练：1、已知等式”=即，下列变形正确的是（）A
6、.X=yB.ax+=ay-1C.ax=-ayD.3-ax=3ay2、在等式5x-8=7的两边都.得到等式5x=15,其依据是一.3、等式J-2=%的下列变形属于等式性质2的变形为()2.Hl=X+2B.2(3x+1)-2=xC.2(3x+l)-6=3xD.2(3x+l)-x=2332题型四：用等式的性质解方程例4、解方程(用等式性质解)(1) 5x-15=20(2)5x=4x+3(3)5x-6=4x+2变式训练：1、用适当的数或式子填空，使所得的结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质及怎样变形的.(1)如果3x=5+2x,那么3x-=5(2) 0.3x=9,那么X=2、用等式的性质解下列方
7、程：(l)7x-6=8(2)-+4=-5(3)0.02x=0.8x-7.83题型五：从问题到方程例5、x、y是两个有理数，“x与y的和的等于4用式子表示为()3A.+y+g=4B.+gy=4C.g(+y)=4D.以上都不对例6、有一个两位数，十位上的数与个位上的数的和为6,若交换十位上的数与个位上的数的位置，那么所得的两位数比原两位数大18,求原两位数，请列方程.变式训练：1、某数与5的和的3倍等于25,若设某数为X,则方程表示为()A.3(x+5)=25B.(5+3)x=25C.3x+5=25D.5x+3=252、若把100Cm长的铁丝折成一个面积为525。/的长方形，若设长为双切，根据题意
8、，可列方程为3、某商场在促销活动中，将原价36元的商品，连续两次降价m%后现价为25元.根据题意可列方程为4、根据下列条件列出的方程正确的是()A.X的！与-3的和的1是-8：%3-=-83333B.比X的2倍少9的数比它的25%大7：2x-9=25%+7C. X的倒数与它的相反数的和是6：l(-)=6D. X与3的差的平方是9：X2-32=9:7【课堂提升】1.下面我们来欣赏一首诗：太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼.一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中.剩下十五围着我，共有多少请算清.你能列出方程来解决这个问题么？解：设共有X只鸭子，根据题意得方程【课后巩固训练】1、下列是一元一次方程的是（）A.
9、（x-3）2（x-3）B.X2+X=1C.x=2yD.2x-3=x-22、在下列方程中，以3为解的方程是（）A.3x=x+4B.3x=6C.X+3=OD.5x-2=83、x、y是两个有理数，“x与y的和的2倍等于4”用式子表示为（）A.x+y+2=4B.x+2y=4C.2（x+y）=4D.以上都不对4、下列说法中，正确的个数是（）若mx-my,则mx-my=O；若mx-my,则X=y；若nx=7y,则+=若X=y,则加x=my.A.1B.2C.3D.45、若关于X的方程a”2一加+3=0是一元一次方程，则这个方程的解是（）A.x=OB.X=3C.X=-3D.X=26、用等式性质解下列方程：(1
10、) 2x + 3 = l(2) 一9 = 7y-237、日历上，妈妈生日的那天的上、下、左、右四个日期的和为64,你能说出妈妈的生日是几号么？请列出方程.8、判断下列各式是不是方程，若是方程指出未知数，并判断是否是一元一次方程；若不是方程，说明理由.(1) 7-3x=1；(2)y2+2=5y(3)x+2y=6;(4)x2-5x+3；(5)y+5=2-7a9、某校师生共328人，准备乘车参加奥运会，已有一辆校车可乘64人，如果租用客车，每辆可乘44人,那么还要租用多少辆客车？如果设还要租X辆客车，可列方程为()A.44-328=64B.44x+64=328C.328+44x=64D.328+64=44x10、如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是g.巧克力果冻Irnr1nIII50g硅码11、在为北京成功筹办2008年奥运会期间，某地区为水上工程进行改造.若甲工程队单独做此工程需4个月完成，若乙工程队单独做此工程需6个月完成，最终方案是甲、乙两队先合作2个月，乙工程队再单独做此工程需个月能完成？你能列出方程吗？分析：设:等量关系;方程
