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1、2）如图2,在正方形ABC。中,专题18全等与相似模型之十字模型几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。模型L正方形的十字架模型（全等模型）“十字形，模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的“十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。D如图1,在正方形A8C。中，若E、尸分别是8C、CO上的点，AfLLBR则AE=BFo若E、FG分别是BC、CD、AB上的点，AEIGF；则AE=GF93）如图3,在正方形ABCo中，若E
2、、尸、G、”分别是BC、CD、A8、A。上的点，EHLGFx则HE=GFo模型巧记：正方形内十字架模型，垂直定相等，相等不一定垂直.例L（2223下广东课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至OC边上的点E,使Z）E=5,若折痕为PQ,则PQ的长为（）A.13B.14C.15D.16【答案】A【分析】过点P作用W08C于点M,由折叠得到PoME,从而得到0A9=0PQ,可得aPQM0aAOE,从而得到PSAE,再由勾股定理，即可求解.【详解】解：过点P作PM08C于点M,由折叠得到PaME,三DE+SAP=90o,在正方形ABCD中，AmBC,0D=9Oo,CMBC,0
3、0DE+0AED=9Oo,WAED=APQ,团MPQ=0PQM,00PW=0AP=0ED,0P三BC,团PM=A,EEID=SPAf=90,13P0DE,0P=AE,在RiAADE中，OE=5,AD=12,由勾股定理得：Af=52+122=13团PQ=13.故选：A.【点睛】本题主要考杳了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，得到APQMSZkADE是解题的关键.例2.（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形ABCQ中，AB=12,点、E,F分别在边BC,CD,AE与M相交于点G,若BE=CF=5,则BG的长为.BEC【答案】t【分析】根据题意证明CRSAS)EBGjFB
4、C,利用勾股定理即可求解.【详解】解：.四边形ABC。是正方形，.Z4M=NC=90o,AB=BC,BE=CF,/.(SAS),ZBAE=ZCBF,ZCBF+ZABG=90o,ZME+ZABG=90o,.NBGE=90。,.SGE=NC,又；AEBG=4FBC,.EBGs.FBC,：.翌=餐,BCBFBC=AB=12,CF=BE=5,BF=BC2+CF2=122+52=13BG5C_6060,五十8G=立故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质是解题的关键.例3.(2023安徽省芜湖市九年级期中)如图，正方形ABCQ中，点E、F、H
5、分别是AB、BC、CO的中点，CE.DF交于G,连接AG、HG.下列结论：CEkDF;(2)AG=DG;/CHG=/DAG；2HG=AD.正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【分析】利用正方形的性质找条件证明.8CE)F(SAS),则NEcE=N8尸，由NBCE+NECD=90得到NEC。+NCDF=90。，则NCGO=9(,即可判断；连接AH,同理可得：ADHDCF(SAS),AHLDF,在RtZiCGO中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到HG=-CD=aD,即可判断：可得3以汨是等腰：角形，由等腰二角形；.线合得到。K=GK,AH垂直平分DG,AG=AD.假设A
6、G=OG,推出矛盾，则AGDG,即可判断：证明AADG是等腰三角形，由三线合可知ZDAG=2ZDAH,由ZXAOHZ/得到NeAH=NCDb,由GH=DH得到NHDG=NHGD,由三角形外角的性质得到NCG=2NCDF=2ZDAH,即可判断.【详解】解：团四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD,NB=NBCD=ZADC=90。,国点、尸、分别是A8、BC.CO的中点，0BE=CF,BE=CF在工BCE1yaCf)7中，/B=ZDCF,aBCEg.CDF(SAS),0ZECB=ZCDF,BC=CDaZBCE+ZECD=90,/ECD+NCDF=90,团NCGD=90。,LCELDFx故正
7、确；连接AH，如图所示:同理可得：ADHDCF（SAS）,AHlDF,在RtZkCGQ中，是8边的中点，aHG=gcD=；AD,即2G=AZ:故正确；HG=HD=-CD,即QG”是等腰三角形，国DK=GK,A/垂直平分。G,ISAG=AD:2若AG=DG,则AAOG是等边三角形，则NADG=60。，NCDF=ZADC-ZADG=30。,则CF=；o尸，而CF=g5c=ga）,与ofcd矛盾，0ZCDF30o,3ZADG60o,13AGDG,故错误；AG=AD,BZVlDG是等腰三角形，田AHLDF,ZDAG=2ZDAH,ADHADCF,ZDAH=ZCDFr由GH=DH,鼻NHDG=NHGD,中
8、NCHG=NHDG+/HGD=2NCDF=2NDAH,团NCG=NDAG;故正确；正确的结论有3个，故选：C.【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质是解题的关键.例4.（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图，在正方形ABCO中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接OE,过点A作AFIa；,交BC于点尸，证明：DE=AF.（2）探究：如图，在正方形ABeO中，E,尸分别为边A8,8上的点（点E尸不与正方形的顶点重合），连接E凡作E尸的垂线分别交边ALB
9、C于点G,H,垂足为0.若E为A8中点，DF=,Afi=4,求GH的长.（3）应用：如图，在正方形A8C。中，点、E,尸分别在BGCD,BE=CF1BF,AE相交于点G.若所=3,图中阴影部分的面积与正方形ABCO的面积之比为2：3,则-ABG的面积为,“IBG的周长为.图图图【答案】（1）见解析；（2）G7=7：（3）15+3【分析】感知：由正方形的性质得出AO=A8,t3D4E=0A8尸=90,证得BAOE=邮%R由ASA证得团fAEI三A8尸（ASA）,即可得出结论；探究：分别过点人。作ANG,ZWEA分别交8C、AB于点MM,由正方形的性质得出A3CZ）,AB=CD,DA=0B=9Oo
10、,推出四边形QME尸是平行四边形，ME=DF=I,DM=EF,证出OMSG”,同理，四边形AG”N是平行四边形，GH=AN,AMDM,证得MDM=MAM由ASA证得SAoMS05AM得出OM=AM推出OM=G，由E为A8中点，得出AE=TA8=2,则AM=AE-ME=1,由勾股定理得出DM=Jad3C+团BEA=90,则团BGE=90, IMGB=90,设 AG=4, BG=b,则 5R2 = 5, 2ab=6,由勾股定理得出a2+b2=AB2=32f a2+2ab+b2=15,即（+/） 2=15,得出 +Z?= JiT，即可得出结果.【详解】证明：回四边形48CD是正方形，+am?=i?，
11、即可得出结果；应用：S”孙ABCo=9,由阴影部分的面积与正方形ABCO的面积之比为2：3,得出阴影部分的面积为6,3空白部分的面积为3,由SAS证得0ABEB08C尸，得出MEA=（3W7C,SABG=SmCEGF,则S21ABG=1，团AD=AB,ZDAE=ZABF=90,0AFlDE.ZDAF+ZBAF=90,NDAF+ZADE=90,团ZADE=/BAF，ZADE=NBAf在一DAE和ZA877中，AD=AB,DAEABF(ASA),0DE=AF.ZDAE=ZABF探究：解：分别过点A、。作ANG,DM/EF,分别交BC、AB于煎N、M,如图所示:团四边形ABC。是正方形，ABCD,A
12、B=CD,/DAB=/B=琳,回四边形。MHr是平行四边形，ME=DF=3DM=EF,AN/GH,GHlEF,DMIGH,同理，四边形AGN是平行四边形，BGH=AN,DM/EF.GHLEF,0WDM,BZIVW+ZAD/=90,0ZZWV+Z4JV=9Oo,ZADM=/BAN,NADM=乙BAN在ZWW和ABAN中，AO=AB,NOAM=NABN=90。0AZW2BAN(ASA),DM=ANfEF=GH=DM=AN,ElE为AB中点，团AE=gA8=2,AM=AE-ME=2-=i,三DM=AZ)2+AM2=4212=110G=7.应用：解：048=3,05.;-AjBCD=33=9,团阴影部
13、分的面积与正方形ABCo的面积之比为2：3,回阴影部分的面积为：-9=6,13空白部分的面积为：9-6=3,BE=CF在0A8E和团BC尸中，,1ABE?BCF90?,00AB三2BCFCSAS),AB=BC团团BEA=ISBFC,S/ABG=S.心+CEGF,SABG=3=-,卧BC+m8E4=90,盟BGE=90,用1MG8=90,22设AG=,BG=b,则a。=,团2ab=6,22a2b2=AB2=32,a2+2ab+b2=32+6=15,即(c+b)2=15,而a+80,3段/+)=而即8G+AG=A,(30A8G的周长为厉+3,故答案为：，15+3.【点睛】本题考查正方形的性质、平行
14、四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关键.模型2.矩形的十字架模型(相似模型)矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。如图L在矩形ABC。中，若E是AB上的点，KDE.LAC,则竺=如ACABEF BCACAB“、N分别是A8、CD.AD.BC上的点,且EELMMM=MNAB如图3,在矩形ABeO中，若E、F、例L （2223下广西九年级期中）如图，把边长为48 = 2L BC = 4且NB = 45。的平行四边形ABCQ对折，使点8和O重合，求折痕MN的长.【分析】先证明ABD尸SZDWG,得到=，求出BE和BF,然后得到BD,DG和MG的长度，再MGDG利用全等三角形的性质，即可得到答案.【详解】解：如图，连接30叮MN交于点G,并补全矩形为M田ZMDF=NDFB=即,田/MDB+NBDF=5)。,又MN上BD,ZDMG+ZMDG=90,值/BDF=/DMG,DFBFXABFD=ZDGM=90o.0BDFDG,0=，MGDGAB=22H.ZABF=45o,BE=DF=2,
