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1、思维导图第27讲解三角形应用举例(讲)考向1：测量距离问题题型1：解三角形的实际应用ef考向2：测量高度问题I考向3:测量角度问题解三角形应用举例皆题型2:正、余弦定理在平面几何中的应用题型3:解三角形与三角函数的综合问题常见误区搞错仰角、俯角的概念致误搞错方位角的概念致误知识梳理I.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图).2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如8点的方位角为(如图).3 .方向角：相对于某一正方向的水平角.(I)北偏东,即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图).(2)北偏西,即由指北方向逆时针旋转到达目标
2、方向.(3)南偏西等其他方向角类似.区分两种角(1)方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹南.(2)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角.4 .坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角。为坡角).(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度).坡度又称为坡比.题型归纳题型1解三角形的实际应用【例1-1】（2020春鼓楼区校级期末）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A,8两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得8=80,NA）8
3、=135。，ZBDC=ZDCa=15o,NAC8=120。，则A,B两点的距离为（）A.803B.80C.160D.805【例1-2（2020春威宁县期末）小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC,请从测得的数据8C=12m,8处的仰角60。，C处的仰角45。，CoSN84C=NN8OC=30o中选8取合适的，计算出旗杆的高度为（）A.103B.12mC.122nD.123n【例1-3】（2019秋黄山期末）新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为匕=85?/刀，水流的速度的大小为匕=4%?/,设匕和匕的夹角为6（0o9=
4、（）A.BB.-3C.1D.2222【跟踪训练11】（2020春湖北期末）为了测量河对岸两地A、8之间的距离,先在河这岸选择一条基线8,测得8=米，再测得NAcD=90o,NBC0=30。，NAPC=45。，Na）B=Io5。，据此计算4、3两地之间的距离是（）A.瓜iB.aC.（5+l）4D.L2【跟踪训练1-2】（2020春德州期末）如图所示，为了测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C作为测量基点，从4点测得Af点的仰角N4N=60o,C点的仰角NeAB=45。，ZMAC=75,从C点测得NMCA=60。.已知山高3C=500m,则山高MN（单位：W）为（）A.750B.7503C.850
5、D.85O3【跟踪训练1-3】（2020春萍乡期末）俗语云：天王盖地虎，宝塔镇河妖.萍乡塔多，皆因旧时萍城多水患，民不聊生.迷信使然，建塔以辟邪镇邪.坐落在萍城小西门汪公潭境内的宝塔岭上就有这么一座“如愿塔”.此塔始建于唐代，后该塔曾因久失修倒塌，在清道光年间重建.某兴趣小组为了测量塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶8的仰角为60。，在塔底C处测得A处的俯角为45。.已知山岭高CD为36米，则塔高8C为（）A.(36&-36)米B.(366-36)米C.(36回36)米D.(72436)米【跟踪训练1-4】（2020全国11卷模拟）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平
6、面上.一人在公路上向东行走，在点A处测得楼顶的仰角为45。，行走80米到点8处，测得仰角为30。，再行走80米到点。处，测得仰角为e.则ta11e=.【名师指导】1 .测量距离问题的2个策略（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角账中求解.（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.2 .高度也是两点之间的距离，其解法同测量水平面上两点间距离的方法是类似的，基本思想是把要求解的高度（某线段的长度）纳入到一个可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相关知识求出该高度.3 .测量角度问题的基本
7、思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.题型2正、余弦定理在平面几何中的应用【例2-1】（2020春垫江县校级期末）如图,在平面四边形ABCr）中，A8的面积为LAB=2,BC=3-1,ZABC=MOo,/48=135。，则ZAeD=，AD=【例2-2】（2020春天河区期末）如图，在四边形ABC。中，ND=2，且AD=2,CD=6,cosB=-.3（1）求A8的面积；（2）若BC=6五,求B的长.【跟踪训练2-1】（2019秋珠海期末）如图，在ABC中，/5=45。，
8、AC=8,。是BC边上一点，DC=5,【跟踪训练22】（2020漳州模拟）如图，在ABC中，。是边AC上的点，且AK=AD,2AB=3BD,跟踪训练2-3（2020春泰州期末）如图，在ABC中，角C的平分线交45于O,且CZ）=AD.若AC=3,【跟踪训练24】（2020青岛模拟）如图，在平面四边形ABa）中，AB.LAD,AB=,AD=BC=历.（1）若CD=l+6，求四边形AHCD的面积；(2)若sin/BCD=,ZAOC(O,C),求SinZAz)C.52【名师指导】与平面图彩有关的解三角形问题的关键及思路求解平面图形中的计算问题，关键是梳理条件和所求问题的类型，然后将数据化归到三角形中
9、，利用正弦定理或余弦定理建立已知和所求的关系.具体解题思路如下：(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解：(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.题型3解三角形与三角函数的综合问题【例3-1】(2020春温州期中)设函数/(x)=SinX+cosx,XeR.(I)己知er,函数/(x+e)是偶函数，求。的值；（三）设ABC的三边,b,C所对的角分别为A,B,C,若=2,/(-+-)=,求ABC的面积4 22的最大值.【跟踪训练3-1】(2020遂宁模拟)已知向量a=(sinty,+而Sintyx),向量b=(2cosox,应sinty-1),0y,sin8=2sinA,锐角C满足+C)=,4求从一片的值.【名师指导】解三角形与三角函数综合问题的一般步骤K：*：分析JBttttHlX9.利附等式的业N1角美系合到堆种将化力三加S*二二二二二二二二二二二二二用比的、公Ld阳正俊定.拿QL二石角X.三一i角公式等炭折三角后中功角大量的近化G工一：内用二购三rr二角居内角和定JlSIV鳍跄却配术函*制析式.角角数侦.*14检1._三角-的修本，质等
