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1、抽象函数不等式一、解答题(本大题共9小题,共108.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)1 .(本小题12分)已知函数/Q)满足:对定义域内任意与x2,都有Cq-上)(/(右)全)/(2。+2)成立,求Q的取值范围;(2)若/(工)的定义域为R,求关于X的不等式f(m+2my)f(2a+2)成立,2-1O(a-lal则2+20,解之得Ia-l,故1V3,2-12+2-13所以Q的取值范围是13:(2)不等式/(n+2my)O的解集,即(+2)(租-1)0的解集,当Tn=O时,不等式解集为万V-2;当mO时,不等式的解集为H%1;当mVO时,即求不等式(+2)(%-A)Vo的解集,当2
2、=2即租=一3时,不等式的解集为。;(ii)当.一2即Tn一时,不等式的解集为一2V%V;(m)当A一2即TVTnVo时,不等式的解集为卜|VX-2).【解析】由题意得/(%)在定义域内单调递减,a?1O(1)可得2+2O,解不等式组即可得答案;2-1-20的解集,分类讨论,即可得答案;本题考查利用函数的单调性解不等式、分类讨论解含参一元二次不等式,考查分类讨论思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.2 .(本小题12分)已知函数f(%)对任意实数X、y恒有+y)=f()+/(y),当o时,/()0,且/(1)=-2.(1)判断乃的奇偶性;(2)判断函数单调性,求f(%)在区间-3,3上的最大值
3、;(3)若f(x)n2-2am+2对所有的-1,1,a一1,1恒成立,求实数n的取值范围.【答案】解:(1)取=y=0,则f(0+0)=2/(0),/(0)=0,取y=r,WJ(x-X)=/(x)+/()=/(0)=0,/(-x)=-/(%)对任意R恒成立,fw为奇函数;(2)任取与,X2(-8,+8)且%10,/(X2)+/(-Xi)=f(.2-XI)0,f(2)-f(F/(小).故f(x)为H上的减函数.x-3,3,/(x)/(-3),Vf(3)=3/(1)=-23=-6,(-3)=-/(3)=6,故/。)在-3,3上的最大值为6;(3).(x)在-1,1上是减函数,.(x)-l)=-/(
4、1)=2,/(x)2,1,1恒成立;即z1122am0,1,1恒成立,令刎则蜡。,即/U/解得:m2或m-2.实数m的取值范围为(一8,-2)U(2,+8).【解析】本题考查抽象函数的奇偶性,单调性及其应用,考查函数恒成立问题,考查学生分析问题解决问题的能力,属于中档题.(1)取=y=O可求得/(0),取y=-%可得f(%)与/(一乃的关系,由奇偶性的定义即可判断;(2)任取%1,X2(-8,+8)且%1“不)即可,再利用单调性求最值;(3)由条件可知112_2am0对Q一1,1恒成立,列出不等式组解出Zn的范围.3.(本小题12分)已知函数/(%)的定义域为R,若对于任意的实数居y,都有f(
5、)+f(y)=+y),且XVo时,有/()V0.(1)判断并证明函数f(x)的单调性:(2)设f(l)=l,若/(%)2G2-2。根+1对所有6-1,1,-2,2恒成立,求实数m的取值范围.【答案】解:(l)(x)在R上为单调递增函数,证明如下:先证明/(%)是定义在R上的奇函数,令x=y=O,则f(0)=/(0)+/(0),/(0)=0,令y=T,则f(=+/(-X)=/(0)=0,所以f(-x)=-f(x),f(M是定义在R上的奇函数,任取%1,%2WR,且血2t则f(%1)f(必)=/(/)+/(-2)=f(与一2),当TVO时,有f(%)V0,所以f(%l-X2)0即打)Vfa2),故
6、f(x)在R上为单调递增函数;(2)由(1)知/(%)在f-l,IJ上单调递增,所以f(%)在f-,17上的最大值为f(i)=1,所以要使f(%)1,P2n22am。恒成立,令g()=2m22am=-2am+2n2tfilf(2)p11f4zn+2m20lg(2)0U|l-4m+2m20,解得m2或m1时,/(x)0.(1)求f(l)的值;(2)证明:f(%)在(0,+8)上为增函数;(3)当f(2)=3时,解不等式f()l-f(%-3)【答案】(1)解:令n=n=l,WJ(1)=(l)+(l),(l)=0;(2)证明:设Ox11,:,f管),/(x)-/(x2)=/(x)-/(xS)=/(X
7、i)-fM-Y)=0,即/(曲)f(4),/(x2-3%)f(4),f(%)在(0,+8)上为增函数,X0%30,X2-3x4解得X4,所以不等式的解集为氏4).【解析】本题考查抽象函数的单调性及应用,属于中档题.(1)直接令m=n=l,即可求出f(l)的值;(2)利用已知,结合函数单调性的定义进行证明即可;(3)根据/(4)=/(2)+/(2)=1,可得f(%)+f(x-3)/(4),然后利用函数的单调性进行求解即可.5 .(本小题12分)己知定义在区间(0,+8)上的函数/(%)满足f(?)=f(%)一/(%2),且当OVXVl时,f(y)0.2(1)求/(I)的值;(2)判断f(%)的单
8、调性并予以证明:(3)若f(3)=-l,求不等式f(2%-l)-2的解集.【答案】解:(1)令与=0。,代人得f(l)=/(右)一/(右)=0,故/1=0.(2)任取%1,%2W(0,+),且VX2、则OV。V1,2由于当OVXVl时,fx0,所以/舄)=/(/)-/(小)0,即/G)-)0,Sj(x1)(x2).所以函数/(%)在区间(0,+8)上是单调递减函数.令与=9,X2=3,由f舄)=f(右)一/(M)得/(1=/(9)-/(3),而f(3)=-l,所以f(9)=-2.由函数f(%)在区间(0,+8)上是单调递减函数,且/(2%-1)f(9),得OV2%-19,二,。代入可得f(1)
9、=0;(2)设0必。,代入即可得证.先根据/=-1,结合域)=/(9)一/(3),可得-9)=-2,进而由函数的单调性解不等式.6 .(本小题12分)定义域为R的函数f(x)满足,对任意的m,nR有f(m+n)=f(n)f(九),且当0时,有OVf(X)V1,/(4)=求/(0);(2)证明:f(x)在R上是减函数;(3)若%O时,不等式/(x)(ax)f(%2)恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)证明:令Tn=O,71=2,可得f(0+2)=/(0)/(2),当%0时,OVfa)VL则2)0,所以f(O)=L(2)证明:设0,则一0时,有OVf(X)V1,所以xR,有f(x)O恒成立,任
10、取实数与,工2R,且与0,从而可得0f(x2-X1)1,又f(必)=fl+(必一/)=f(,l)f(x2-X1)/(2)=/(x)f(OX)。2)可化为/Q)f(取)f(2)f(x2),所以f(%+ax)f(2+x2),所以X+ax0时,有v2H-i恒成立,X令g()=F=%+:,%。,易知g(%)在(0,0)上递减,在(I,+8)递增,从而可得g()min=2所以QV2I-L【解析】本题考查抽象函数,函数的单调性与单调区间,不等式恒成立问题,考查逻辑推理能力,属于较难题.(1)对于f(m+n)=f(m)f(n),令m=0,n=2,结合OVfa)O恒成立,再任取实数%1,%26R,且XlVX2
11、,利用/(%2)=f(%2-1)+%1=/(X2-X1)(X1)O时,有v2-1恒成立,求得g(%)=2=%+白的最小值,即可得到的取值范围.7 (本小题12分)已知定义域为/=(-,O)U(O,+8)的函数f()满足对任意与,X2/都有/(与小)=x1(x2)+%2(%1)(1)求证:f(%)是奇函数;(2)设g(%)=竽,且当1时,g(x)g(x)的解集.【答案】(1)证明:令石=打=1,得f(i)=o,令%1=X2=-1,得f(-l)=-(1)=0,令=XyX2=-1,得/(T)=-Z(X)+(-i)=一/, /(%)是奇函数.(2)解:(N1M)=X1(X2)+%2,(必),.f(,X2)_)./(工2) I,XlX2M2g(1%2)=。(/)+9(%2),设与%20,则自1, 噌V