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1、C.立体几何一、单选题1.12020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理）】如图，在棱长为3的正方体A8CO-A8GA中，点。是平面内一个动点，且满足0H+P4=2+jm,则直线/了与直线AA所成角的余弦值的B*l1B2,2【答案】A【解析】连接BlD交平面ABG于点0,延长线段CB至点、M,使得CB=BM,连接BIM、OM、PM，如下图所示：资料来源于微信公众号：数学第六感已知在正方体ABa)-AqGR中，OA工底面AMGR,AGU平面A与GR,.drjlAG,又四边形A5GA为正方形，所以，AiclBlDt,DDCBD=D,.46_1平面片00，,片)U平面3OQ,.BiDlAiC
2、l,同理鼻oj_a1b,.AGAB=A,BQL平面ABG，11O三棱锥B-AIG的体积为%.mg=Xx33=，SAAeIG=2x卜。=竽，V%zg=gx孚XNOI=WBoIg可得4p=JJ=g忸q,所以，线段与。的长被平面ABG与平面ADC三等分，且与两平面分别垂直，而正方体ABC。-AMGR的棱长为3,所以04=6，OD=26,如下图所示:其中Poi.8Q,不妨设IQH=%,由题意可Pq+P=2+Ji5,所以，x2+12+x2+3=2+3-可得X=I,所以，点P在平面ABa内以点。为圆心，半径为1的圆上.资料来源于微信公众号：数学第六感因为ADmBCJBM,所以，直线BlM与直线的夹角即为直
3、线MP与直线A。所成角.接下来要求出线段BiM与PM的长，然后在瓦PM中利用余弦定理求解.如图，过点。作OH_L平面48COr点”，过点作HNLBC丁点N,连接ON,M,根据题意可知IOM=2,I”Nl=怛M=I,且ON_LMN,所以，|。M二有，(9=42+5=T.如图所示，a?I=IORI=1，当点尸在4处时，NPBIM最大,当点尸在鸟处时，NPqM最小.这两种情况下百.线4P与自线妫M夹角的余弦值最大，为CoSNP4M=sinP30=;；当点尸在点0处时，NP与M为直角，此时余弦值最小为0.综上所述，直线6P与直线AA所成角的余弦值的取值范围是o；.故选：A.2.【河北省衡水第一中学20
4、21届全国高三第二次联合考试（1）】某市在文化广场举办“爱我家乡，知我家乡活动，需要对广场内的部分休闲石竞进行更换.为响应“厉行节约的号召，市政公司打算旧物利用，将旧石髡打磨成球体，放置在附近的喷泉池中.已知旧石竞是由梭长为40Cm的正方体经各棱中点切割下八个相同的四面体所得，如图所示.则打磨后的球体半径的最大值为（【答案】AD. 205/3 cm【解析】由对称性可知，该球体的球心与正方体的中心重合.资料来源于微信公众号：额字第六感旧石凳相对的面共有两类，一类是正方形，一类是等边三角形.若相对的面为正方形，则两个面之间的距离为40cm；若相对的面为等边三角形，则两个面之间的距离为迎叵cm，所以
5、正方体的内切球即为旧石凳打磨后的最大球体，所以打磨后的球体半径的最大值为20cm3故选：A3.【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，正视图中的曲线为四分之一圆瓠，则该几何体的表面积是（）B. 32C. 28D. 24【答案】D【解析】几何体是一个正四棱柱挖去Z个圆柱的几何体，如图所示.正四棱柱的底面边长为2,高为3,圆柱的底面半径为2,所以该几何体的表面积为（2x3）x3（；;rx2，x2+2xl+2x2+5x2;rx2x2=24.4.【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】报尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面
6、有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（）A.立B.立J叵D.3342【答案】B【解析】由于正四棱锥：底面是正方形，侧面为4个全等的等腰三角形，设正四棱锥的底边为，底面积为所以，该正四棱锥的侧面积为3/,设该四棱锥的侧面的等腰三角形的高为晨则有左刀二3,所以，=a,设内切球的半径为小则如图，资料来源于微信公众号：数学第六感.OG?与.P/相似，W所以，C=IJ，由于人=,HFPFah22化简得，
7、=叵，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为E=立4a4故选：B5.【河北省衡水中学2021届高三数学第一次联合考试】已知正方体ABCo-A3A的棱长为2,M为CG的中点，点N在侧面A。Q人内，若BMI.AN,则AABN面积的最小值为（）A.B.C.1D.555【答案】B【解析】如图，取的中点为E,易知AEHBM.取AO的中点P,则在正方形AAloQ中，,A1APjADE,则NEAO=/尸AANH41A+N1?4=,则NEAO+N1尸A=I,可得AE,即AP所以点N的轨迹为线段Af.因为ABJ_平面4。人，4VupjEAOZ）A,则ABL4V,所以a4W为直角三角形，当NAL1P时，Ml取最小
8、值为罕=挛,55此时a4W面积最小，最小值为12也=浊.2556.【河北省衡水中学2021届全国高三第二次联合考试（新高考）】已知。，人为两条不同的直线，叫为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A.若a/甲,aua,bu,则bB.若u,bu,ab,则口4C.若c尸=,bu,bka,则a_L/7D.若B=I,a1,ua,aYl9alIb9贝【答案】D【解析】对于A中，如图所示，在长方体ABCo-A耳GA中，平面ABCD/平面AiBlClDI，AU平面c0，AC平面ABCD,但A片与AC不平行，故A借误：对于B中，如图所示，4用u平面AqB4,DCu平面ABC。，ABjlDC,但平面与平面ABa
9、）不平行，故8错误；对于C中，如图所示，平面ABGAC平面ABCD=AB,BCU平面ABC。且BC_LAB,但平面ABCo与平面ABG。不互相垂直，故C错误；对于D中，由平面与平面垂直的性质定理，得。，夕，又由白,所以，4，所以0正确.故选：D.7.【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在菱形ABC。中，AA=4,NA=60,将A3。沿对角线/）折起使得二面角A-BO-C的大小为60%则折叠后所得四面体ABeQ的外接球的半径为（）213r13r43n393333【答案】A【解析】如图，取8。的中点记为。，连接OC,OA,根据题意需要找到外接球的球心，取OC卜.离。点近的三
10、等分点记为E,同理取OA上离。点近的三等分点记为F,门这两点分别作平面BDC、平面般的垂线，交于点P,资料来源于微信公众号：数学第六感则P就是外接球的球心，连接。P，CP,由菱形的性质得NAOC就是二面角A-BD-C的平面角，所以4AOC是边长为43=2J的等边三角形，所以OE=3巨.23在ZXPOE中，NpoE=30，所以PE=I.又CE=递，33所以PC=R=MI.3故选：A.8.【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试Ql卷）】已知一四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的较长侧棱与底面所成角的正切值为（）【解析】C.ioD.设该四棱锥为PABCO,则由题意可知四棱锥P-ABC
11、D的底面ABCo为矩形,平面Pz）Cj_平面ABCQ,且PC=尸D=3,A8=4,AO=2,如图，过点P作总_L8交8于点E,则PEJ_平面ABCQ,连接AE,可知7E为直线PA与平面ABC。所成的角，则庄:=JPZ)2=SAE=Jm+炉=2,所以IaSE嚷=系考故选：C.9.【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试Ql卷）】已知三棱锥/-ABC的高为1,底面WC为等边三角形，PA=PB=PCt且P,AfBtC都在体积为争的球。的表面上，则该三棱锥的底面一A6C的边长为（）A.苧B.3C.3D.23【答案】C【解析】设球。的半径为R,由球的体积为早可得，g乃W=半，解得R=2.因
12、为三棱锥P-ABC的高力为1,所以球心O在三棱锥外.资料来源于微信公众号：数学第六感如图，设点。1为JlBC的外心，则Oaj平面ABC.在肋ZkAqo中，由AO；=OA2。0；,且。=R-4=l,得AOl=5因为-ABC为等边三角形，所以4O=2A8sin60。=3AB，133所以AB=GAa=3.二、多选题1.【河北省衡水中学2021届高三上学期四调】已知正方体A58-A4CA梭长为2,如图，M为CG上的动点，A_L平面.下面说法正确的是OA.直线/48与平面。所成角的正弦值范围为性用B.点M与点G重合时，平面。截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大C.点M为CG的中点时，若平面。经过点
13、/?,则平面。截正方体所得截面图形是等腰梯形D.已知N为。A中点，当AM+MN的和最小时，M为CG的中点【答案】AC【解析】对于A选项，以点O为坐标原点，DA.DC,。2所在直线分别为X、丫、ZM建.空间H角坐标系。一冷2,则点A(2,0,0)B(2,2,0)设点M(0,2M)(O2),资料来源于微信公众号：数学第六感AMJ_平面,则AM为平面。的一个法向量，且AM=(-2,2m),AB=(0,2,0),AB-AM cos = J1 abam42 茁 222+8 28 3，2所以，直线AB与平面。所成角的止弦值范围为A选项正确;对于B选项，当M与CG重合时，连接A。、BD、46、AC,在正方体
14、ABCD-A瓦GR中，CGJ平面ABC。，QBDu平面ABeQ8。ICG，J四边形ABC。是正方形，则3。_LAC,.CC1AC=C,.，平面ACC,QAGU平面ACCI,.AC11BD,同理可证AGJ.A。，AlDnBD=Dr.AC1平面，易知-A8。是边长为2五的等边三角形，其面积为SAAM=2x(2jy=26,周长为2jx3=6j设E、尸、。、N、G、”分别为棱A。、A罔、BB、BC.CD、。的中点，易知六边形EFQNGH是边长为贬的正六边形，且平面EFQNGH平面ABD,正六边形石厂QNG的周长为6,面积为6x立x(Y=3/,则-ABD的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，B选项错设：对于C选项，设平面交棱AA于点E(b,0,2),点M(0,2,l),AM=(-2,2,1),AMJ平面,Eu平面。，.AM_LQE,即AM)=-+2=0,得b=l,.E(l,0,2),所以，点E为棱AA的中点，同理可知，点尸为棱A耳的中点，则厂(2,1,2),EF=(1,1,0),而08=(
