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1、专题跟踪检测(二十九)利用导数研究函数零点问题1. (2023西阳一棋)已知函数y()=e-20v-A.(1)讨论函数的极值；(2)当X)时，求函数段)的零点个数.解：(1)由题意得/(X)=ev-2A.当2W0,即“W0时，/(x)0恒成立， 几1)在R上单调递增，无极值.当20,即0时，令/(x)=0,解得X=In2, 当x(-8,ln2)时，/(x)v;当x(ln2a,+8)时，()0. r)在(-8,ln20)上单调递减，在(In24,+8)上单调递增.(x)的极小值为火In2a)=a-2an2af无极大值.综上所述，当W0时，.)无极值；当0时，/W的极小值为-2Hn2,无极大值.(
2、2)由知，当X)时，/)在(一8,ln24)上单调递减，在(In2凡+8)上单调递增：当00,.JU)O恒成立，|x)无零点：当a=当时,4n2)=。-2Hn2=0,凡)有唯一零点X=In2a;当a；时，(ln2a)=-2ln2a0.当X趋近于负无穷大时，r)趋近于正无穷大，当X趋近于正无穷大时，人幻也趋近于正无穷大，.r)在(一8,M2)和(In2,+8)上各存在一个零点，即段)有两个零点.综上所述，当04当时,/U)有两个不同的零点.2 .已知左R,函数x)=3Ina+l)+Sirj+fcr,x(-1,2).(I)若k=0,求证：AX)仅有1个零点；(2)若Ar)有两个零点，求实数&的取值
3、范围.27r3TLX解：(1)证明：当k=0时，(x)=31n(xl)sinzx,x(-1,2),f(x)=7cosr1兀乙Xl1乙cosy0,所以外)在(一1,2)上单调递增，且40)=0.所以外)仅有1个零点.(2)由已知，得/(X)=Fa+c。S手+攵，当女20时，/(x)0,Ar)在(-1,2)上单调递增，此时火x)仅有1个零点0;当=一4时，x(-1,0)时，设g(x)=Y+cos券+攵，XIiN3则短(X)=Q.+)2_斗岩V_3一冬in(0)=4+2=0.所以於)在(一1,0)上单调递增，x(0,2)时，f(x)=Hf+COS春+k4+A,f(x)=-rcos-40,f,(2)=
4、0,所以存在m(0,2),使得f(xo)=O,TM在(0,xo)上单调递增，在(血2)上单调递减，所以7Uo)MO)=O,2)=31n3+2,要使危)有两个零点，则2)=31n3+2K0=k，所以存在x(-0),使得/(x)=0.所以加)在(T,为)上单调递增，在(Mo)上单调递减.所以危D次O)=0.x(-l,0)时，J(x)=31n(x+1)inx+Ax3In(x+)kt所以1+e0.所以/)在(一1+e上，X)上有1个零点，此时段)有两个零点.综上，攵的取值范围为(一8,4)U(4,一去n3).Y3 .(2023扬州模拟)已知函数/(X)=五;，(x)=-In-rm.(1)若/U)的最值
5、和g(x)的最值相等，求m的值；(2)证明：若函数尸(x)=Kt)-g(x)有两个零点即，也，则InX+lnM0.解：(1)由题意得f=r,令/(x)X),可得x0,可得Q1,所以函数g()在(0)单调递减，在(1,+8)单调递增，则g()min=g(l)=l+M.由题意可知*=l+m,相=*1,所以小的值为一1.(2)证明：若尸(X)有两个零点沏，x2f不妨设OM1)，则X2=,/CXCV2人2I1/Int欲证InXl+InX2,即证xX21,即证(岩)Vl，只需证Inrl)(*).设力(X)=InX其r；),x,(X)=(瞟D,在(1,),(x)0,MX)单调递减,所以/G)C(l)=0,
6、所以InAr一共LO0(Q1),令x=i即得(*)成立，从而命题得证.4.己知函数人V)=X2SinX.(1)求7U)在(0,TC)的极值；(2)证明：函数g(x)=ln-yu)在(0,TC)上有且只有两个零点.解：由y(x)=-2SinX,得f(X)=I2CoSX,x(0,).令(x)=Ot得X=参当。0寸时，/(X)o,此时函数负力单调递增，所以函数J(x)的极小值为店)=13,无极大值.(2)证明：(x)=lnX/(x)=ln%x2sinx,x(0,),则g(x)=-1+2cosx.令(x)=2cosx-l,则“(X)=2sinx.当x(0,兀)时，(X)=一己一2sinx0,8e)=1g侪0又痣)=琮Tr11X一1+1,令(X)=InXx+1,其中0x0,所以函数力(x)在(0,1)上单调递增，则力(x)力=0.所以/?6)=琮一5+10,由函数零点存在定理可知，函数g(x)在(0,)上有两个零点.
