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1、专题跟踪检测(十六)离散型随机变量的分布列1.(2023孝感模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客当日消费金额达366元及以上的均可抽奖.每次抽奖都是从装有2个红球，8个白球的箱子中一次性取出2个小球，若取出2个红球，得200元本商场购物券；若取出1个红球和1个白球，得80元本商场购物券；若取出2个白球，得10元本商场购物券.(1)求顾客抽一次奖获得购物券金额的分布列；(2)为吸引更多的顾客，现在有两种改进方案，甲方案：在原方案上加一个红球和一个白球，其他不变.乙方案：在原方案的购物券上各加10元，其他不变；若你是顾客，你希望采用哪种方案.解：(1)设获得购物券的金额为X,则X可以取200,80,
2、10,P(X=200)=g=,P(X=80)=,P(X=IO)=普=鲁.X的分布列为X2008010P14516452845(2)方案甲，设获得购物券的金额为匕则y可以取200,80,10,C*1CClci9C56P(Y=20)=两=应，P(Y=80)=蜜=五，P(y=10)=,则E(r)=200X=+80x/+IoX肛泮方案乙，设获得购物券的金额为Z,E(Z)=210X*F90X票+20义翁=殍因为E(Z)E(F),所以顾客希望采用方案乙.2 .为深入学习党的二十大精神，某校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取rio。名，统计出他们竞赛成绩
3、分布如下:成绩(分)40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100人数242240284(1)求抽取的100名学生竞赛成绩的方差/(同一组中数据用该组区间的中点值为代表)；(2)以频率估计概率，发现该校参赛学生竞赛成绩X近似地服从正态分布N2),其中近似为样本平均分；，2近似为样本方差，若厂EXWR+2,参赛学生可获得“参赛纪念证书；若XM+2。，参赛学生可获得“参赛先锋证书”.若该校有3OoO名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数(结果保留整数)；试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”.附：若XNQh2),则PQ一XW+(7)-0
4、.6827,P(z_2Xju+2)0.9545,P(-3X+3)0.9973；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分工=75.解：(1)由题意，抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分；=75,24所以100名学生本次竞赛成绩方差s2=(45-75)2(55-75)2j+(65-224028475)2而+(7575)2而+(85-75)2通+(95-75)2而=IO0.(2)由于近似为样本成绩平均分77,/近似为样本成绩方差一,所以4=75,2=100,可知，=T=10,由于竞赛成绩X近似地服从正态分布N3，2),因此竞赛学生可获得“参赛纪念证书”的概率P(Xz2)=寸(一Xz)-2+2c时，即X9
5、5时，参赛学生可获得“参赛先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先锋证书”.3 .已知某排球特色学校的校排球队来自高一、高二、高三三个年级的学生人数分别为7人、6人、2人.(1)若从该校队随机抽取3人拍宣传海报,求抽取的3人中恰有1人来自高三年级的概率.(2)现该校的排球教练对“发球、垫球、扣球”这3个动作技术进行训练，且在训练阶段进行了多轮测试，规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在某一轮测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为多乙同学每个动作达到“优秀”的概率均为|,且每位同学的每个动作互不影响，甲、乙两人的测试结
6、果互不影响.记X为甲、乙二人在该轮测试结果为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望.解：(1)设事件A为“抽取的3人中恰有1人来自高三年级”，则有P（八）=号F=H(2)设甲同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Yt则有丫3,号；设乙同学在一轮测试中3个动作“优秀”的个数为Z,则有Z43,所以甲同学在一轮测试结果为优秀的概率p(y22)=p(y=2)+p(y=3)=cGx+CG)3乂&=今乙同学在一轮测试结果为优秀的概率P(Z2)=P(Z=2)+P(Z=3)=CQ)+(J)3。母由题意，得X可取0,1,2:则有RX=O)=(T)X(L患)=*；P(X=I)=；X(L翳)+(T)X翳=/P(X
7、=2)=X翳=居.所以X的分布列为X012P754121027因此X的数学期望E(X)=OX+M+2X畀吗.4 .(2023枣庄二模)某市正在创建全国文明城市，学校号召师生利用周末从事创城志愿活动.高三(1)班一组有男生4人，女生2人，现随机选取2人作为志愿者参加活动，志愿活动有交通协管员、创建宣传员、文明监督员三项可供选择.每名女生至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为土每名男生至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均叫.每人每参加1项活动可获得综合评价10分,选择参加几项活动彼此互不影响.(1)在有女生参加活动的条件下，求恰有一名女生的概率；(2)记随
8、机选取的两人得分之和为X,求X的期望.解：(1)设“有女生参加活动”为事件A,“恰有一名女生参加活动”为事件艮,1ClCl8Cid+Ci3则P(AB)=尸(B)=-=记，P（八）=-=58所以P(BIA)=谭罟君5(2)根据题意，一名女生参加活动可获得分数的期望为3乂10+；义20=15,一名男生参加活动可获得分数的期望为3x20+X30=25.设恰有丫名女生参加活动，则男生有2丫名参加活动，X=15r+25(2-F)=50-10匕alCi2Cid8则尸(丫=)=&=5,p(y=D=r=P(y=2)=g=所以y的分布列为Y012P258T5I152Q1O则有E(y)=Ol72jT=7,JAJ工
9、z2130所以E(X)=(50-10X)=50-105=-5.甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得。分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为呢乙获胜的概率为“，两人平局的概率为y(+A+=l,0,0,70),且每局比赛结果相互独立.(1)若=/S=g，=,求甲运动员恰好在笫4局比赛后赢得比赛的概率；(2)当y=0时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值.解：(1)用事件A,B,C分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，“平局”，则P（八）=;,P(B)=3,P
10、(C)=y=.记“进行4局比赛后甲运动员赢得比赛”为事件N,则事件N包括事件ABAA,BAAA,ACCAfCACAfCCAA共5种，所以P(IV)=P(ABAA)+P(BAAA)-P(ACCAHP(CACA)-P(CCAA)=2P(B)P（八）P（八）P（八）+3P(C)P(C)P（八）P(4)=2X；X(j)3+3QX(2)因为了=0,所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即+A=l.由题意得X的所有可能取值为2,4,5,则P(X=2)=P(AA)+P(BB)=2+y?2,P(X=4)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ABBB)+P(BABB)=(侬+的)/+(印+网科=Za队及+2)fP(X=5)=P(ABAB)+P(ABBA)+P(BABA)+P(BAAB)=a22-l-a22+a22+a22=4a22.所以X的分布列为X245Pa2+/?22磔(4+/)4a2/?2E(X)=2(2+于)+Sa(a2+歹)+2Q22=2(12a)8侬(1-2a)+20a22=4a22+4a+2.因为+4=122屈，所以qAW/当且仅当=A=T时，等号成立，所以侬(,所以E(X)=42+4W+2=(2S+1)2+1W(2X；+1+1=*故E(X)的最大值为号.
