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1、专题跟踪检测（十）空间动态问题的题型研究1.（2023S关一模）设正方体ABCD-ABCD的棱长为LP为底面正方形ABCD内的一动点，若三角形APG的面积S=/则动点尸的轨迹是（）A.圆的一部分B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分D.椭圆的一部分解析：选D设d是三角形APG边AG的高，SAPC=AC-d=d=,所以d=一坐，即点P到直线4G的距离为定值芋.所以点尸在以直线AG为轴，以一手为底面半径的圆柱侧面上，直线4G与平面月BCQ既不平行也不垂直，所以点P的轨迹是平面ABCQ上的一个椭圆，其中只有一部分在正方形ABCQ内.故选D.2.如图，在棱长为1的正方体A8CD48IG。中，M为棱AB的
2、中点，p,动点尸在侧面BCGBi及其边界上运动，总有APj_OlM,则动点尸的轨迹云CYz的长度为（）H少+-JcA逆BUB2D0解析：选A如图，分别取3C,B8的中点E,F,连接AE,AFfEF,M,DM,AF.因为M为AB的中点，E为BC的中点，四边形48CQ为正方形，所以。M_LAE.又。ML平ABCD,所以DID工AE.而DMCDlD=D,所以AE_L平面。QM.n*C1所以。MLAE.同理可得QMJ4F,又AEA尸=A,所以。MJ平面1Jg.1AEE因为APU平面AE尸，所以APLQM,因为动点P在侧面BCGBl及其I边界上运动，所以动点尸的轨迹是线段EE而EF=半，所以动点尸的轨迹
3、b的长度为一坐.故选A.3 .己知点A,B,。在半径为5的球面上，且AB=AC=214,BC=27,P为球面上的动点，则三棱锥PA8C体积的最大值为（）a67r527A33C.493D.解析：选A如图，M是AABC的外心，O是球心，OM_L平面A8C,当P是Mo的延长线与球面交点时，P到平面A8C距离最大，由AB=AC=214,BC=2币，得CoSNACB=-=乎,则SinNACB=2142AM=sJ;c8=2E=8,AM=4,OM=yjA2AM2=52-42=3,PM=3+5=8,114又5C=ACBCsinACB=2H2市XT=77,所以最大的V-4C=7巾X8=563.故选A.4 .（2
4、023临汾一模）在棱长为2的正方体ABCDAiSCi。中，平面aBD,则以平面截正方体所得的截面面积最大时的截面为底面，以Bi为顶点的锥体的外接球的表面积为（）A.12B.警c20n,C.-yD.6解析：选B如图，由正方体的对称性，可知当截面为正六边形EFGHKI时，截面面积最大，此时正六边形的边长为2,设交截面EFGHK/于My则M为BID的中点，所以BiM=BlD=1设正六棱锥外接球的球心为。，外接球半径为R,当球心在棱锥内部时，有R2=（啦）2+（小一r）2,解得R=赤,外接球表面积为4x（品）=弩；当球心在极锥外部时，有R2=（巾）2丑R一小）2,解得R=俞V5（舍去）.所以以Bl为顶
5、点的锥体的外接球的表面积为等.故选B.5.（多选）在梯形48Co中，AB=2AD=2DC=2CB,将aBDC沿8。折起，使C到C的位置（C与C不重合），E,尸分别为线段A8,AC的中点，”在直线。C上，那么在翻折的过程中（）A.DC,与平面A8。所成角的最大值为专B.尸在以E为圆心的一个定圆上C.若B”_L平面AOC,则用=3C，1D.当AO_L平面BQC时，四面体C-ABO的体积取得最大值解析：选ACD如图，在梯形ABCD中，因为A3CO,AB=IAD=20C=2C8,E是AB的中点，所以8BE,Cf=BE所以四边形BCDE是菱形.所以BC=DE.由于AD=DE=AE,所以三角形Az)E是等
6、边三角形.所以。E=58,故Ao_LBO,/8。=/。8。弋.在将48。沿8。翻折至48。的过程中，NBDC,NoBC的大小保持不变，由线面角的定义可知，DCr与平面ABe)所成角的最大值为专故A正确：因为NOBC大小不变，所以在翻折的过程中，C的轨迹在以8。为轴的一个圆锥的底面圆周上.而EF是AABC的中位线，所以点F的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，但此圆的圆心不是点E,故B不正确；当BJ平面Az)U时，BHLDH.国为NHCB=Jt所以DC=BC,=2C,H.所3守力,故C正确：在翻折的过程中，ABCO的面积不变，所以当4OL平面BQC时，四面体C一48。的体积取得最大值，故D正确.故选A、
7、C、D.6 .在棱长为2的正方体A8C。-48GQ中，M，N两点在线段AICl上运动，且MN=1,给出下列结论：在M,N两点的运动过程中，B/)J_平面8MN；在平面CDDlCI上存在一点P,使得Pe平面BMN；三棱锥BLMNB的体积为定值坐以点D为球心作半径为2啦的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为3.其中正确结论的序号是()A.B.C. D.解析：选D以。为坐标原点，OA所在直线为X轴，QC所在直线为)，轴，。所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系，如图1,对于，当点N移动到点G时，此时8(2,2,0),O(0,0,0),C(0,2,2),则N=(2,2,0),BC=(-2,0,2)
8、,因为言菖=(2,2,0)(一2,0,2)=-40,所以BD与BN不垂直，所以错误；对于，平面BMN与平面84G为同一个平面，而CDIBAi,所以当点P在Cd上时，总有尸C平面BAlG,从而有PC平面BMM所以正确;如图2,连接自四，BiM,BN,交AIG于点0,则8QLAG,故BQ为ABMN的高,且BIo=TB。尸啦，所以SZBMN=3wV8O=g12=,又BBiJ平面AIBGO1,故VBl-MNB=VB-BIMN=*BMNBB=gx*X2=坐,所以正确；如图3,连接。4,DB,DCt则OAl=OB=Z）G=25,以点。为球心作半径为2啦的球面，球面被正方体表面所截得的弧是以Bl为圆心，33
9、个半径为2的W圆弧，弧长和为aX2cX2=3,所以正确，故选D.7 .（多选）如图，正方体ABCo-ASGol的棱长为1,E,F,G,H分别是所在棱上的动点，且满足DH=BGAE=CR则以下四个结论正确的是（）A.E,G,F,四点共面8 .若四边形EGF”为矩形，贝IjQH=CF图2C.若四边形成才H为菱形，则户一定为所在棱的中点D.若四边形EGF”为菱形，则四边形EG用周长的取值范围为4,24解析：选AD对于A,连接BD,HG,交于点0,如图1所示.根据题意，可得DlH=BG,丈DHBG,故ABGO父ADH0,故点。为直线”G,OIB的中点，同理可得AAEO义ACiFO,故点O也为直线EFt
10、AC1的中点，则四边形EGFH的对角线互相平分，故四边形EGFH为平行四边形，则H,G,E,尸四点共面，A正确；对于B,因为AE。/7,故当AE时，四边形E4。”为平行四边形，JEH/AD,又AoJ平面AB8,石GU平面A488,故AOLEG,则EHA.EG,又四边形EGF”为平行四边形，故四边形EGFH为矩形；同理，当。”=C尸时，也有四边形EGF”为矩形，综上所述，当DH=AE或DH=CF时，四边形EG尸H为矩形，故B错误：对于C,若H,G为所在棱的中点时，易知HG/BD1又80JLAC,BD-AAtACAA=A,AC,A4U平面AAIGC,故3。_L平面AAIGG又ErU平面AAlGC故
11、BDLEF,则HG上EF,又四边形EG尸H为平行四边形，故四边形EGFH为菱形,即当”，G为所在棱中点时，四边形EGFH为菱形:同理，当E,尸分别为所在棱的中点时，四边形EG五也为菱形，故C错误；对于D,根据选项C中所证，不妨取Et尸分别为所在棱的中点，此时四边形EGF”为菱形满足题意，取8B,DDl的中点分别为M1N,画出正方体的部分侧面展开图如图2所示.由图可知，当G,H分别与M,N重合时，四边形EG/77的周长最小，最小值为4;当G,H分别与B,D重合时，四边彩EGFH的周长最大,最大值为28。尸2小；故四边形EGFH周长的取值范围为4,2小,D正确.故选A、D.8.（多选）已知正方体A
12、BCD-ABCD的棱长为2,M为DDl的中点,N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A.若MN=2,则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为兀B.若MN与平面ABCD所成的角为孝则N的轨迹为圆C.若N到直线3囱与直线OC的距离相等，则N的轨迹为抛物线D.若DlN与48所成的角为多则N的轨迹为双曲线解析：选BCD对于A,设MN的中点为H,OM的中点为Q,连接Q,则HQON,且HQ=；OM如图，若MN=2,则0町=知w2。加2=41=3,ON=5,则HQ=坐，所以点H的轨迹是以Q为圆心，半径为W的圆，面积S=r=,故A错误；对于B,tanZMND=y,NMNO=1,则DN=喙,Ia
13、nl所以N的轨迹是以。为圆心，半径为坐的圆，故B正确；对于C,点N到直线8囱的距离为BN,所以点N到定点8和直线OC的距离相等，且8点不在直线。C上，由抛物线定义可知，N的轨迹是抛物线，故C正确：化简得3）2对于D,如图，以。A,DCtDDl所在直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立空间直角坐标系，设NG,ytQ)tDi(0,0,2),A(2,0,0),BQ,2,0),所以DIN=8,yt一2), AB =(0,2,0),JloINA8I|2y|_-，Vz4-3即csIWVI2r+422,=l,所以N的轨迹为双曲线，故D正确.故选B、C、D.9 .如图，长方体ABCOAlBICId中，AB=BC=,
14、AAl=2,点M为Q7c线段A4的中点，点N为棱CG上的动点（包括端点），平面8MN截长方“FB体的截面为a,贝）JZl廿二zA.截面可能为六边形B.存在点N,使得BN_L截面C.若截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为小D.当N与。重合时，截面将长方体分成体积比为2：3的两部分解析：选C对于A,微面可能为四边形或五边形，不能是六边形，A错误；对于B,若存在点N,使得BNJ-截面,则BNLBiN,则N为CCl中点，此时BN与BlM不垂直，,不存在点N,使得8NL截面,B错误；对于C,当截面为平行四边形时，在平面GB山C内过点N作SG的平行线，交BBl于过点P作囱M的垂线，垂足为。，连接NQ,则NP_L平面AABB,斜线NQ在平面AAIS8的射影为PQt则NQ工BM设BlP=X(OWXW1),VPBAB,；截面面积为S=，当X=I时，Smax=22=3,C正确;对于D,当N,C重合时，截面为梯膨.取AO中点及连接CE,ME,延长办用，BA,CE交于点产，VSaew=1=,SBBC=21=1,I.棱台AME-BBC的体积V=+l1=p,又长方体体积V=717211=2,剩余部分的体积L=V一弘=2一五=五，V1：V2=J：17,D错误.10.（多选）在四棱锥P-ABCO中，底面A8C。为菱形，NABC=?出_L平面A8C
