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1、直线的方程，直线的交点坐标与距离公式A知识梳理：一、直线的方程点斜式：y-y()=A(X-XO)直线斜率匕且过点(Xo,九)注意：当直线的斜率为o时，k=o,直线的方程是片必。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因/上每一点的横坐标都等于选,所以它的方程是A=A6。斜截式：y=kx+bf直线斜率为k直线在y轴上的截距为。两点式：-=(1,y1y,)直线两点(西,%)，(x2,j2)为一%看一斗截矩式：-+=1ab其中直线/与X轴交于点(,0),与y轴交于点(0乃)，即/与X轴、)，轴的截距分别为力。一般式：Ax+By+C=Q3,不全为0)注意：各式的适用范围特殊
2、的方程如：平行于*轴的直线：y=b为常数)；平行于y轴的直线：x=a(。为常数)；中点坐标公式：经过两点/?(&%),鸟(,打)的线段中点坐标公式(f,当&)两直线平行与垂直：当/:y=ZX+0,4：V=42%+)2时，1/H2Arl=Ar2,Z?1b2；-1.l2kk2=-1注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。二、两条直线的交点1 .假设r1x+B,y+C1=0I2A2x+B2y+C2=0相交交点坐标即方程组A+4y+G=的一组解。A2x+B2y+C2=0方程组无解=lxHl2；方程组有无数解o/与，2重合2 .与直线/:小+5)，+C=O平行的直线，可设所求方程为A
3、r+6，+C=0:与直线Ax+B)，+C=O垂直的直线，可设所求方程为R-Ay+G=O3 .直线44的方程分别是：AX+gy+G=O(4，用不同时为0),2:A2x+2y+c2=0不同时为0),那么两条直线的位置关系可以如下判别：(1)I11.12AiA2+B1B1=0；(2)1/2A1-A2B1=OyAiC2-A2Bl0:(3)4与4重合OAB2-&4=。，4。2-44=0；4与4相交。4名一&8产0.如果A2与GwO时，那么4/401.=G;1-2fi-;&B?C4B?C?4与/2相交O0kg1.A2B2三、两点间距离公式：设平面内两点Ra,y),(x2,y2)那么两点间的距离为：JT=J
4、-%)2+(y-%)2.特别地，当/E所在直线与X轴平行时，I66I=芭-I；当斗6所在直线与y轴平行时，IR2=ly-必1；四、点到直线距离公式：点尸(x,y)到直线：Ar+3y+C=0的距离d=kgl-Ja2+b2五、两平行直线距离公式:两条平行直线4：Ar+C1=0,I2:Ar+冷+C=O之间的距离公式d二下一。/4VA例题选讲：例1、三角形的三个顶点A(5,0),B(3,3),C(0,2),求BC边所在直线的方程，以及该边中线所在直线的方程。解：过B(3,-3),C(0,2)的两点式方程为上2二二2,整理得5x+3y-6=0,这就是BC边所在直线的-3-23-0方程。BC边上的中线是顶
5、点A与BC边中点M所连线段，由中点坐标公式可得点M的坐标为过A(5,0),M(3,-1)的直线的方程为=炉整理得1.+Uy+3=0,即+3y+5=0,22-1-03+522222这就是BC边中线所在直线的方程例2、求经过点(-2,2),且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线方程。解法一：由题设，设所求直线方程为+上=1,由可得二+2=,-ab=fabab2l111解得=-1,b=-2,或a=2yb=:.2x+y+2=0或x+2y-2=0解法二：设直线为y-2=A(x+2),交X轴于点(二一2,0),交y轴于点(0,2%+2),得2r+3女+2=0,或222+5Z+2=0解得Z=_2_,或k=
6、22.x+2y-2=0,或2x+y+2=0为所求Il例3、点P(-4,2),直线/：3x-2y7=0,求:(1)过点P且与/平行的直线的方程；(2)过点P且与/垂直的直线的方程。解析：(1)与直线I：3x-2y-7=0平行的直线可设为3x-2y+m=0由直线过点P(-4,2),那么m=16，过点P且与I平行的直线的方程3x-2y+16=0(2)与I垂直的直线可设为2x+3yn=0由直线过点P(-4,2),那么n=2过点P且与I垂直的直线的方程2x+3y+2=0例4、设4、8为X轴上两点，点P的横坐标为2,且照=P8,假设直线出的方程为-y+l=0,那么直线PB的方程为()A.2xy-7=0B.
7、2-y-=0C.X2y4=0D.x+y5=0解析：.的方程为X-y+l=0,P(2,3);又:A点在X轴上，A(-1,O);而IRIl=IP阴，且8点在X轴上，B(5,0):直线P8的方程为：-+y-5=0,应选D.爱VA稳固练习：一、选择题：1、直线X=I的倾斜角和斜率分别是()A.45,1B.1350,-1C.90,不存在D.180,不存在1.CX=I垂直于X轴，倾斜角为90,而斜率不存在2、过点P（-l,3）且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为（）A.2x+y-1=0B.2x+y-5=0C.x+2y-5=OD.x-2y+7=02.A设2x+y+c=0,又过点尸（一1,3）,那么一2+
8、3+c=O,C=-I,即2x+y-l=03、过点A（-2,和3（肛4）的直线与直线2x+y-1=0平行，那么，的值为（A.OB.-8C.2D.10.4-mCCn23.Bk=2,ZH=-84、abO,bcO,-Obbbb5、设直线Or+by+c=O的倾斜角为,且Sina+cos=0,那么力满足（）A.ab=B.a-b=1C.a+b=OD.a-b=O5 .DIana=-I,Z=-I,0=-1,=0,。一人二06、点A(l,2),8(3,l),那么线段AB的垂直平分线的方程是()A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=5336.B线段A8的中点为(2,耳),垂直平分线的无=
9、2,y-=2(x-2),4x-2y-5=07、过两点(TJ)和(3,9)的直线在X轴上的截距是（八）32八2CBC-D22358、直线/与过点M(一i,2),N(,一石)的直线垂直，那么直线/的倾斜角是().故直线/的倾斜角是马.9、过两直线h-3y+4=0和/2：2x+y+5=0的交点和原点的直线方程为0.9.DA.19-9y=0B.9x+19y=0C.19-3j=0D.3x+19y=010、直线/的斜率是直线x+2y+3=0的斜率的2倍，且过点(1,2),那么直线/的方程为()D、y=-4x-4A、y=-4x+6B、y=-4x+4C、y=-x31解答：解：直线x+2y+3=0的斜率为-2，
10、直线1的斜率是-1，又直线1过点(1，2),由点斜式得y-2=-1(x-1),即y=-x+3,应选C.11、直线/过点-1),且在X,y轴上的截距相等，那么直线/的方程为()A、x+y+2=0B、y=xC、x+y+2=0或x-y-1=0D、y=x或x+y+2=0解答：解：当直线/在X轴和y轴上的截距相等且不为0时，设直线/的方程的截距式方程为：x+y=,把-1)代入到直线1的方程中，得到二-2,所以直线1的方程为：x+y=-2即x+y+2=0;当直线/与X轴和y轴的截距相等都为。时，设y=kx,把-1)代入求得k=l,所以直线/的方程为：y=x.所以直线/的方程为：y=x或x+y+2=0.应选
11、D12、直线(a-)x+y=l过定点A,直线x+(b-1)y=l过定点B,那么直线AB的方程为()A、X-y=lB、x+y=lC、x-y=a+bD、x+y=a+b解答：解：因为直线1)x+y=l过定点A,所以令x=0,得y=l,所以A(0,1)；直线x+(b-1)y=l过定点B,所以令y=0,得x=l,所以B1,0).所以直线AB的解析式为：y-0=(x-1)化简得：x+y=l应选B解答：解：由题意知，函数的解析式即y=-gx-J,Vac0,bcOac-万0,故直线的斜率小于0,在y轴上的截距大于0,应选C14、直线A：(k-3)x+(5-k)y+l=0与/2：2(k-3)-2y+3=O垂直，
12、那么k的值是()A、1或3B、1或5C、1或4D、1或2解答：解：由题意得2(k-3)2-2(5-k)=0,整理得k2-5k+4=0,解得k=l或k=4.应选C.二、填空题15、以点(1,3)和(5,T)为端点的线段的中垂线的方程是。15、x-y-2=016、过点(3,4)且与直线3%-丁+2=0平行的直线的方程是。16、3x-y-5=017、直线3x-2y+6=0在x、y轴上的截距分别为。17、-2和318、设直线/的方程为x+2y-2=0,将直线/】绕原点按逆时针方向旋转90。得到直线/2,那么/2的方程是2x-+2=0.解答：解：直线/1的方程为x+2y-2=0,将直线Zi绕原点按逆时针
13、方向旋转90。得到直线l.Ii的斜率为：2,直线/1上的0)绕原点按逆时针方向旋转90。得到直线/2的点(0,2),所以/2的方程是2x-y2=0故答案为：2x-y+2=0三.解答题19、求经过直线h3x+4y-5=0,/2x-3y+8=0的交点M,且满足以下条件的直线方程：(I)经过原点;(11)与直线2x+y+5=0平行;(In)与直线2x+y+5=0垂直.19、解：(l)2x+y=0(II)2x+y=0(III)x-2y-5=020、三角形ABC的顶点坐标为A(-1,5)、B(-2,-1)、C(4,3),M是BC边上的中点。(1)求AB边所在的直线方程；(2)求中线AM的长(3)求AB边
14、的高所在直线方程。21、在直线3-y+l=0上求一点P,使点P到两点(1,-1)和(2,0)的距离相等。分析：(1)设P(x,y),那么有y=3x+l,故点P的坐标为(x,3x+l),由距离公式得X的方程，解得x=0o(2)设P(x,y),求出两点(1,-1),(2,0)的中垂线方程为x+y1=0,再解方程组得P(0,1)。解法1:设P(x,y),那么有y=3x+l故点P的坐标为(x,3xl)解之得：x=0.所求的点为P(0,1)解法2,设P(x,y),两点(1,-1),(2,0)所连线段的中垂线方程为：解由1、2组成的方程组得：P(0,1)22、求经过点P(l,2)的直线，且使A(2,3),8(0,-5)到它的距离相等的直线方程。1.解：X=I显然符合条件；当42,3),8(0,5)在所求直线同侧时，kAB=44x-y-2=01或x=l
