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1、课题相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题教学内容学生：科目：数学教师:知识框架一、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法1 .横向定型法欲证竺=变，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB和8C,三个字母A,5,C恰为BEBFABC的顶点、;分母的两条线段是BE和BF,三个字母8,E,尸恰为ZBEF的三个顶点.因此只需证AABCSEBF.2 .纵向定型法欲证空=变，纵向观察，比例式左边的比AB和Be中的三个字母A,B,C恰为ZVWC的顶点；BCEF右边的比两条线段是Z)E和比中的三个字母O,E,尸恰为ZXDEF的三个顶点.因此
2、只需证ABCSMEF.3 .中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形.这种方法就是等量代换法.在证明比例式时，常用到中间比.比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解.倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1,另一边化为几个比值和的形式，然后比照值进行等量代换，进而证明之.复合式的证明比拟复杂.通常需要进行等线代换对线段进行等量代换，等比代换，等积代换，将复合式转化为根本的比例式或等积式，然后进行证
3、明.二、函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个顶点时，先要分析三角形的边和州的特点，进而得出三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中边与三角形的可能对应边分类讨论。或利用三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。假设两个三角形的各边均未给出，那么应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。【例题精讲】“三点定型”法一类：直接利用“左看、右看、上看、下看”加“三点定型”例1,：ZACB=9Oo,CDABo求证：AC2=AD-ABAAR分析：要证AC2=ADAB,可先证二，这时看等号的左边
4、A、C、D三点可确定一个三角形，ADAC而等号右边A、C、B三点也可确定一个三角形，即证ACDsZABC都看上面的分子为A、B、C及都看下面的分母为A、C、D也可确定去i!EACDABCo例2,：等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。求证:BP-PC=BM-CN二类：当不能直接用“左看、右看、上看、下看”加“三点定形”时，如果有相等的线段时，可用相等的线段去替换。例1,；AD平分NBAC,EF垂直平分AD与BC的延长线交于F。求证：DF?:BFCF分析：由可得DF=AF,直接证DF2=BF-CF找不出相似三角形，可改证AF?=BFCF,即证=BFAF这
5、时用“左看、右看”或“上看、下看”定出AABFsZiCAF例2,；在RtZABC中，NA=90,四边形DEFG为正方形。求证：EF2=BE-FC三类：既不能直接用“三点定形”，又没有相等的线段可以替换时，可以找中间比或中间量来转化搭桥,充分表达了转化的思想在数学中的应用。OC2=OA.OE分析：要证OC2=OA.OE,都发现O,C,A,E在同一这时，我们可以利用转定出AOBCsZODC,然例1,：梯形ABCD中，ADBC,AC与BD相交于O点，作BECD,交CA的延长线于点E.求证:这时我们不管是“左看、右看”还是“上看、下看”直线上，并且没有相等的线段可以替换，怎么办呢？化的数学思想，先证二
6、二竺，用上看、下看”OAOD后再证”=匹，用同样的方法确定证AOBEsaODOCODC相似即可。GD的延长线与BA的延长线交于Ho求证:例2,：BD、CE是AABC的两个高，DG_1.BC,与CE交于F,GD2=GF-GH一、等积式、比例式的证明：章中常见题型。因为这种问题变如果我们掌握了解决这类问题的（一）遇到等积式（或比例等积式、比例式的证明是相似形一化很多，同学们常常感到困难。但是，根本规律，就能找到解题的思路。式）时，先看是否能找到相似三角形。等积式可根据比例的根本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重好的字母，就可找出相似三角形。例1、：如图，ABC中，NACB=90
7、%AB的垂直平分线交AB于D,交BC延长线于F。求证:CD?=DE-DFo（二）假设由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，那么需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。例2.如图，ZXABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，CF7BA,BF交AD于P点，交AC于E点。求证：BP2=PEPFe例3.如图，：在aABC中，ZBAC=900,ADBC,E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。空匕求证：4。AF。函数中因动点产生的相似三角形问题例题如图1,抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点。，与X轴的另一个交点为Bc求抛物线的解析式用项
8、,卓式求得抛物线的解析式为y=-#+)假设点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以0、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；连接OA、AB,如图2,在X轴下方的抛物线上是否存在点P,使得aOBP与aOAB相似？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，说明理由。分析：1.当给形的两个顶以两个项总为四边形的出四边点时应的连缱理和亚角线来考虑问题以0、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况2.函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径求相似三角形的第三个顶点时，先要分析三角形的小和曲的特点，进而得出三角形是否为特殊三角形。根据未知三
9、角形中边与三角形的可能对应边分类讨论。或利用三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。假设两个三角形的各边均未给出，那么应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度,之后利用相似来列方程求解。练习1、抛物线y=r2+笈+C经过P(Q3),七(岁，及原点0(0,0).(1)求抛物线的解析式.(由二舷药得抛物线的解析式为了=-|/+手工)(2)过尸点作平行于X轴的直线PC交y轴于。点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点。，过点。作直线QA平行于y轴交X轴于A点，交直线PC于8点，直线。A与直线PC及两坐标轴围成矩形OWC.是否
10、存在点0,使得AQPC与APQB相似？假设存在，求出。点的坐标；假设不存在，说明理由.X(3)如果符合(2)中的。点在X轴的上方，连结。，矩形。钻。内的四个三角形AOQA之间存在怎样的关系？为什么？练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点在X轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。折叠CE=56，且tan/EOA=3。4(1)判断AOCD与AADE1是否相似？请说明理由;(2)求直线CE与X轴交点P的坐标;(3)是否存在过点D的直线/,使直线/、直线CE与X轴所围成的三角形和直线/、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并
11、画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。练习3、在平面直角坐标系XOy中，二次函数y=r2+b+c(w)的图象与X轴交于AB两点、(点A在点B的左边)，与y轴交于点C,其顶点的横坐标为1,且过点(2,3)和(3,-12).(1)求此二次函数的表达式；由二黑与得抛物线的解析式为y=-X2+2x+3)(2)假设直线/:y=质(ZWO)与线段BC交于点。(不与点BC重合)，那么是否存在这样的直线I,使得以BO,。为顶点的三角形与ABAC相似？假设存在，求出该直线的函数表达式及点。的坐标；假设不存在，请说明理由；A(-1,O),8(3,0),C(0,3)(3)假设点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不
12、与顶点重合的任意一点，试比拟锐角NPCO与NACo的大小(不必证明)，并写出此时点P的横坐标XP的取值范围.以，练习3图练习4(2008广东湛江市D如下(2)过点4作V(3)在X轴上加点的三角形豆XP练习5、：如图，在立面；抛物线y=-l与X轴交于A8两点，与y魄B变抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.呼戈/:是否并在一点M，过M作MG_1.X轴于点G,设存在，请求出例点的坐标；否那么，请说明理由.角坐标系中，ZVlBC是直角三角形，NACB=90,点用C的坐标分别入x=lAT），Ca冷三三c439(1)求过点A8的直线的函数表达式；点A(-3,0),C(1.O),B(1,3),y=-x+-
13、44(2)在X轴上找一点。，连接08,使得AADB与4A5C相似(不包括全等)，并求点。的坐标;(3)在(2)的条件下，如P,。分别是A3和AO上的动点，连接PQ,设AP=OQ=，问是否存在这样的根使得AAPQ与AADB相似，如存在，请求出团的值；如不存在，请说明理由.如图，抛物线=(彳一2丁+1的图像与X轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.(1)试判断aAOC与aCOB是否相似；(2)假设点D是抛物线的顶点，DH垂直于X轴，垂足为H,试判断直角三角形DHA与直角三角形COB是否相似？说明理由.变式1:假设点M在抛物线上且在X轴上方，过点M作MG垂直于X轴，垂足为点G,是否存在
14、M,使得AMG与aAOC相似.变式2：假设点D是抛物线的顶点，点M在抛物线上且在X轴上方，过点M做X轴的垂线，垂足为点G,是否存在M,使得aAMG与ADCB相似.:如图,抛物线y=-/+陵+c与X轴、y轴分别相交于点A(-1,0)、B(0,3)两点，其顶点为D.(1)求该抛物线的解析式；(2)假设该抛物线与X轴的另一个交点为E.求四边形ABDE的面积；(3让AOB与ABDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.(注：抛物线y=a2+bx+c(a和)的顶点坐标为J.任二二)2aAa)课后练习：1.抛物线y=02+C的顶点坐标为(4,T),与y轴交于点C(0,3),0是原点.(1
15、)求这条抛物线的解析式；(2)设此抛物线与X轴的交点为A,B(A在B的左边)，问在y轴上是否存在点P,使以0,B,P为顶点的三角形与AAOC相似？假设存在，请求出点P的坐标：假设不存在，请说明理由.2.如图，抛物线的顶点为A(2,1),且经过原点O,与X轴的另一交点为B.(1)求抛物线的解析式；(2)假设点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以0、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；建立平面(3)连接OA、AB,如图，在X轴下方的抛物线上是否存在点P,使得aOBP与AOAB相似？假设存在，求出P点的坐标；假设不存在，说明理由.A；中考链接1. (10四川)如图,4ABC中，NACB?好甲R所在锣为X轴，夕直角坐标系.此时，A点坐标为(-1,MB*坐&Nro)/试求点C的坐标假设抛物线y=O?+法+c过AABb白舐t顶点，求抛物线的解析战.(3)点D(1,m)在抛物线上
