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1、相似三角形易出、易错题一.解答题(共30小题)1 .如图，在AABC中，DEIIBC,EFlIAB,求证：ADE-EFC.2 .如图，梯形ABCD中，ABIlCD,点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证：ACDJBGF；(2)当点F是BC的中点时，过F作EFllCD交AD于点E,假设AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3 .如图，点D,E在BC上，KFDIIAB,FElIAC.求证：ABCSFDE.4 .如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF_1.AE于F,试说明：ABF-EAD.5 .：如图所示，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,且点
2、B,A,D在一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证：BE=CD:AAMN是等腰三角形；(2)在图的根底上，将AADE绕点A按顺时针方向旋转180。，其他条件不变，得到图所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立；(3)在(2)的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点P.求证：ZiPBDsAAMN.6 .如图，在4x3的正方形方格中，4ABC和ADEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空：ZABC=。，BC=:(2)判断ABC与DEC是否相似，并证明你的结论.7 .如图，矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发
3、沿AB方向以ICmzS的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cms的速度向A点匀速运动，问：(1)经过多少时间，AAMN的面积等于矩形ABCD面积的工？9(2)是否存在时刻3使以A,M,N为顶点的三角形与AACD相似？假设存在，求t的值；假设不存在，请说明理由.8 .如图，在AABC中，AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长；(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明)；(3) M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论.9 .：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3P
4、C,M是CD的中点，试说明：ADM-MCP.10 .如图，梯形ABCD中，ADIIBC,AD=2,AB=BC=8,CD=IO.(1)求梯形ABCD的面积S；(2)动点P从点B出发，以ICmzS的速度，沿B=A=D=C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以ICmzS的速度，沿C=D=A方向，向点A运动，过点Q作QE_1.BC于点E.假设P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒.问：当点P在B=A上运动时，是否存在这样的3使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假设存在，请求出t的值；假设不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的3使得以P、A、D为顶点的三
5、角形与ACQE相似？假设存在，请求出所有符合条件的t的值；假设不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的3使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？假设存在，请求出所有符合条件的t的值；假设不存在，请说明理由.11 .矩形ABCD,长BOI2cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.假设P自点A出发，以ICmzS的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cms的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与ABDC相似？12 .如图，在乙ABC中，AB=IOcm,Bo20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cms的速度移动，点Q从点B
6、开始沿BC边向点C以4cms的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，ZkPBQ与AABC相似.13 .如图，ZACB=ZADC=90o,AC=6,AD=2.问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似.14 .如图在ABC中，ZC=90,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发，沿BC方向以2cms的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以IemzS的速度移动.假设Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与ACBA相似？15 .如下图，梯形ABCD中，ADIIBC,ZA=90,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置，使得以P,A
7、,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.16 .如图，在矩形ABCD中，AB=15cm,BC=IoCm,点P沿AB边从点A开始向B以2cms的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以ICmZS的速度移动.如果P、Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与AABC相似.17 .如图，路灯(P点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(0点)20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？18 .阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达，顶部不易到达)
8、，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是：；(2)请在下列图中画出测量示意图；(3)设树高AB的长度为X,请用所测数据(用小写字母表示)求出X.19 .问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1,测得根直立于平地，长为80Cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156Cm.
9、任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；(2)如图3,设太阳光线NH与。O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径.(友情提示：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=26()2)20 .阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区(如下图)，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.21 .如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用Si,S2,S3表示，那么不难证明S1=S2+S3(1)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面
10、积分别用Si,S2,S3表示，那么Si,S2,S3之间有什么关系；(不必证明)(2)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用ShS2、S3表示，请你确定Si,S2,S3之间的关系并加以证明；(3)假设分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用Si,S2,S3表示，为使Si,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；(4)类比(1),(2),(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.22 .：如图，AABOAADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.23 .：如图RtABCSRtBDC,假设AB=3
11、,AC=4.(1)求BD、CD的长；(2)过B作BEJ_DC于E,求BE的长.24 .(1)工二二，且3x+4z-2y=40,求x,y,Z的值；235(2)：两相似三角形对应高的比为3：10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.参考答案与试题解析一.解答题（共30小题）1 .解证明：DEIIBC,答：DEIIFC,ZAED=ZC.又.EFIIAB,.EFIIAD,/.ZA=ZFEC./.ADESAEFC.2 .解（1）证明：梯形ABCD,ABIICD,答：/.ZCDF=ZFGB,ZDCF=ZGBF,（2分）.ACDFSBGF.（3分）（2）解：由（1）CDF-BGF,又F是BC的
12、中点，BF=FC,.CDFABGF,.DF=GF,CD=BG,（6分）ABIIDCIIEF,F为BC中点，.E为AD中点，.EF是ADAG的中位线，.2EF=AG=AB+BG.BG=2EF-AB=24-6=2,/.CD=BG=2cm.（8分）3 .解证明：FDIIAB,FEIIAC,答：.ZB=ZFDE,ZC=ZFED,.ABCSFDE.4 .解证明：矩形ABCD中，ABIICD,ZD=90o,（2分）答：.ZBAF=ZAED.（4分）BFAE,.ZAFB=90.ZAFB=ZD.（5分.ABFSEAD.（6分）5 .解证明：NBAC=NDAE,NBAE=NCAD,答：/AB=AC,AD=AE,
13、 ABEACD,/.BE=CD.由AB的ACD,得ZABE=ZACD,BE=CD,.M、N分别是BE,CD的中点，/.BM=CN.又AB=AC, ABM合ACN.AM=AN,即AAMN为等腰三角形.（2）解：（1）中的两个结论仍然成立.（3）证明：在图中正确画出线段PD,由（1）同理可证ABM合ACN,.ZCAN=ZBAM/.ZBAC=ZMAN.又ZBAC=ZDAE,/.ZMAN=ZDAE=ZBAC.AMN,ADE和4ABC都是顶角相等的等腰三角形. PBD和AMN都为顶角相等的等腰三角形，.NPBD=ZAMN,ZPDB=ZANM, PBDSAMN.6 .如图，在4x3的正方形方格中，ABC和
14、DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.（1）填空：/ABC=I35,BC=22;（2）判断ABC与DEC是否相似，并证明你的结论.解答：解：ZABC=135,BC=22;（2）相似;22+2iz22,EC=J1+1=.AB2rBC22r,CEW2通F域，.ABBC.cezde,又NABC=ZCED=I35。，ABCSDEC.解：（1）设经过X秒后，AAMN的面积等于矩形ABCD面积的工，9那么有：-i（6-2x）x=-lx36,即x?-3x+2=0,（2分）29解方程，得Xi=I,X2=2,（3分）经检验，可知Xl=l,X2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，AAMN的面积等于矩形ABC
15、D面积的工.（4分）9（2）假设经过t秒时，以A,M,N为顶点的三角形与AACD相似,由矩形ABCD,可得NCDA=ZMAN=90o,因此有细口或细口（5分）ANDAANDC即1.-6-2t,或一6-2t（6分）解，得t二旦解，得匚型（7分）25经检验，t二卫或七工2都符合题意，所以动点M,N同时出发后，经过乜秒或整秒时，以A,M,N为顶点的三角形与AACD相似.（88.解答：25解：（1）.ABIIMP,QMIIAC,四边形APMQ是平行四边形，ZB=ZPMC,ZC=ZQMB.AB=AC,/.ZB=ZC,.ZPMC=ZQMB.BQ=QM,PM=PC./.四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.PMIIAB,PCMSACB,QMIIAC,/.ABMQSBCA;13）当点M中BC的
