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1、矩阵的秩的求法作者-陈露通化市靖宇中学摘要：本文通过矩阵的秩的定义及相关结论给出了矩阵的秩的几种求法.数值算例说明了所给方法的有效性.关键词：矩阵，矩阵的秩，行向量组，列向量组.矩阵论是高等代数的重要内容，矩阵是处理高等代数问题的主要工具.而矩阵的秩是十分抽象的概念，它在高等代数中起着重要作用.本文对矩阵的秩的求法进行了总结.一关于矩阵的秩的根本理论定义1向量组的极大无关组所含向量的个数，称为该向量组的秩.定义2矩阵的行向量组的秩称为行秩，矩阵的列向量组的秩称为列秩.我们知道，每一向量组都与它的极大线性无关组等价，由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大无关组也等价，所以等价的向量组必有相
2、同的秩，因此，我们有定理I矩阵的行秩与列秩相等.定义3矩阵A的行秩与列秩统称为矩阵的秩.定理2一个矩阵的秩是厂的充分必要条件是矩阵中有一个，级子式不为零，同时所有r+1级子式全为零.由这个定理我们可以得到矩阵的秩的另一个定义，即：定义4矩阵A中非零子式的最高阶数叫做矩阵A的秩，记作R（八）.定理3阶方阵A的特征值全不为零oR（八）=即方阵A为可逆矩阵).证明：设阶方阵A的特征值为4,4,那么有：44%=A.于是命题得证.事实上，设数4和非零向量X,使AX=/IX成立O齐次线性方程组(AI-A)X=O.有非零解0系数行列式/-4=0,由于/-4是关于/1的次多项式，不妨设fW=l-A=4+al,
3、-+an,l+atl(1)由题设知：比拟上述多项式同次嘉系数知：cn(l)rt2,r(2)又在(1)中假设令;1=0,那么/(0)=IAI=(-yA=an(3)比拟(3)可得：IAI=4故方阵A的特征值不为零=44=IA0oR（八）=证毕.二矩阵的秩的几种求法矩阵的秩，从定义上看，它就是一个数，可是这个数却是高等代数的根底，它的求法不止一种.在这里分别给出了定义法，初等变换法，特征值法.下面就对这几种方法分别举例说明.1.定义法由矩阵的秩的定义知，求出矩阵行秩或列秩即为矩阵的秩.,1131、02-14例1求矩阵A=0005的秩.k0000?解A的行向量组是a1=1,1,3,1),a2=0,2,
4、-14),%=(0,0,05),a4=(0,0,0,0),可以证明是向量组。1，。2，4，。4的一个极大线性无关组，事实上，由即1.(1,1,3,1)+原(0，2,-1,4)+h(O,0,0,5)=(kl9k+2-2,3人一，%+422+523)=(0,0,0,0)可得1.=&=%=0,这就证明了%,%，由线性无关，因为%是零向量，所以把%添进去就线性相关了，因此，向量组四,%，%，%的秩为3,也就是说，矩阵A的秩为3.2初等变换法(包括初等行变换和初等列变换)作为解线性方程组的一个方法，我们对矩阵作行的初等变换，把矩阵化成阶梯形，实际上，这也是计算矩阵的秩的一个常用方法.首先，矩阵的初等行变
5、换是把行向量组变成一个与之等价的向量组.我们知道，等价的向量组有相同的秩.因此，初等行变换不改变矩阵的秩.同样的，初等列变换也不改变矩阵的秩其次，阶梯形矩阵的秩就等于其中非零的行的数目，为了证明这个结论，只要证明在阶梯形矩阵中那些非零的行线性无关就行了.设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r,因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当变换列的顺序，不妨设其中小w,i=l,2,显然，4的左上角的r级子式因此，4的秩为，.上面的讨论说明，为了计算一个矩阵的秩只要用初等变换把它变成阶梯形，这个阶梯形矩阵中非零的行的个数就是原来矩阵的秩.易知，矩阵的秩就是3.例2求线性方程组的系数矩阵的秩.解对系数矩阵4作
6、初等行变换：那么R（八）=2.711P1671.1例3求矩阵的秩，设A=,求R（八）.J11%解：由于IA=(tz-l)n1(+n-l),故(1)当。工1,1一时，R（八）=；(2)当a=l时，由初等变换可知R（八）=1；(3)当a=l-时，IAI=0,在AI时，它有一1阶子式3特征值法假设所求矩阵的特征值全不为零，那么矩阵的秩为.例4矩阵322、A=212,其中-1是A的二重特征根，求4的秩.1222,解易知A的迹为3,于是几=3-2x(-l)=5是A的特征值，即A的特征值均不为零，故4的秩等于3.在二次型/(外=X4X中，把二次型所对应的对应矩阵A的秩定义为该二次型的秩，这时R（八）所刻划的那么是二次型的标准形中所含平方项的个数.虽然，任意一个实二次型总能通过不同的变换将其化为不同的标准型，但是其任何一个标准型中所含平方项的个数都是相同的，这个不变的个数恰好就是R（八）.二结语本文基于矩阵的秩的根本理论，对矩阵的秩的求法进行了总结，在具体求解过程中，要灵活运用上述方法.参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数北京：高等教育出版社20012J戴红霞关于矩阵的秩的例题教学江苏南京：南京审计学院学报2005引罗雪梅孟艳双郑艳琳浅析矩阵的秩济南：高等数学研究2003
