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1、概率论练习题与解析十、概率论与数理统计一、填空题1、设在一次试验中，事件A发生的概率为P。现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为1-(1-P);而事件A至多发生一次的概率为(10”十叩(1p)i。2、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球,第二个箱子中有3个黑球3个白球,第三个箱子有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于O已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为O解：用4代表“取第i只箱子”，尸1,2,3,用3代表“取出的球是白球”。由全概率公式P=P(A1)P(BlA1)+P(A2)P(BIA2)+尸(4)尸(31A3)11131
2、553=-,I,I一=353638120由贝叶斯公式P(4IB)=p(4)pgb4)P(B)1.2365320531203、设三次独立试验中，事件A出现的概率相等。若已知A至少出现一次的概率等于19/27,则事件A在一次试验中出现的概率为o解：设事件A在一次试验中出现的概率为1/1,3_19P(OP1),则有1(1P)=万，从而解得1P=34、已知随机事件A的概率P（八）=O.5,随机事件3的概率RB)=O6及条件概率P(BlA)=0.8,则和事件AUB的概率P(AU3)=oP(AB)=P（八）+P(B)-P(AB)=P（八）+P(B)-P（八）P(洌A=0.5+0.6-0.50.8=0.75
3、、甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5。现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为O用A代表事件“甲命中目标”，3代表事件“乙命中目标”，贝!bus代表事件“目标被命中“，且P(AUB)=P（八）+P(B)-P(AB)=P（八）+P(B)-P（八）P(B)=0.5+0.60.5X0.6=0.8所求概率为P(AlAUB)=P（八）P(AUB)0.608=0.756、设随机事件A,3及其和事件AUB的概率分别是040.3110.6o若8表示B的对立事件，那么积事件AB的概率P（A耳）=oF（AB）=尸（八）+尸（B）尸（AUE）因为A=A（JB+jB）=AB+AB,P(AB
4、)=P（八）-P(AB)=0.4-0.1=0.37、已知尸（八）=P(B)=P(C)=-9P(AB)=O9P(AC)=P(BC)=1.贝!416事件A.B.C全不发生的概概率为o由ABCUAB，P(AB)=O得P(ABC)=O，所求事件概率为P(ABC)=P(AUBUC)=I-P(AUBUC)=1-P（八）P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)_388、一批产品共有IO个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为O用A代表事件“第，次抽次品，1=1，2o则所求概率为-211021p(a2)=P（八）P(A)+A)(A)=
5、-+=1211IZ11o9、已知A、B两个事件满足条件P(AB)=P(AB),且P（八）=，则P(5)=o由P(AB)=P(AB)=P(AUB)=I-P(AUB)=1-P（八）+P(B)-P(AB)=1-P（八）-P(B)+P(AB)得P(B)=I-P（八）=I-P10、设工厂A和工厂B的次品率分别为1%和2%,现从由A和5的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是用A和B分别代表产品是工厂A和工厂B生产的，C代表产品是次品，则所求概率为601P(AIC)=P（八）P(ClA)=而而=3P（八）P(CI4)+P(B)P(CJB)601j402710
6、0TooToo10011、在区间(0,1)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于厂的概率为O用X和Y分别表示随机抽取的两个数，则ox,or.X,Y取值的所有可能结果(即样本点全体)对应的集合为以1为边长的正方形其面积为1，事件x+yT对应图中阴影部分A,A的面积为1-Y=1Z2k5j2512、随机地向半圆0”血下3为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与X轴的夹角小于？的概率为。半圆0y2=J2-Jm=-=0.814、已知连续随机变量X的概率密度函数为C/、1-+2x-1f()=F一,则X的数学期望为；X的方差为将F(X)改写为可见X服从正态分布N
7、(l,g),所以E(X)=1,D(X)=g15、设随机变量X服从均值为10,均方差为0.02的正态分布。已知rx1-CX)=JY百6(2.5)=0.9938,则X落在区间(995,1005)内的概率为P9.95X10.05=P9.95-10X-IO10.05-100.020.020.0210.05-10=I0.02-9.95-100.02=(2.5)-(-2.5)=(2.5)-1-(2.5)=2(2.5)-1=0.987616、已知随要变量X的概率密度函数/=为刑，ocs,则X的概率分布函数%)=-ex,x02i-e-x,x0217、已知离散型随机变量X服从参数为22ke2的泊松(POiSSo
8、n)分布，即=k!，X,1,2,，则随机变量Z=3X2的数学期望石(Z)=O(Z)=3(X)2=3*22=418、设随机变量X服从参数为1的指数分布,则数学期望X+e-2X=oCr+or+oo14EX+e-2x=Ixe-xdx+fe2xe-xdx=+-=-IJJoJo3319、设随机变量X服从(0,2)上的均匀分布，则随机变量1.x?在(0,4)内概率分布密度f(y)-。y=x290x2的反函数=6，OVy4f(y)=-=90yv44JyA(y)=(V7)(77)r=泰Ag=-*20、设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望成X2)=0X服从8(1
9、0,0.4)分布9E(X)=IoXo.4=4,O(X)=10x0.4x0.6=2.4,E(2)=(EX)2+D(X)=42+2.4=18.421、设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律，且X的分布律为：泮T则随机变量p22Z=maxX,)z的分布律为：opz=o=px=o,r=o=px=0Pr=0=93PZ=i=l-PZ=0=-422、设鼠和y为两个随机变量，且34pxo,yo=19pxo=pyo=-9贝|Pmax(X,K)O=o记A=XO,3=Y0贝!max(X,Y)0=AU3,X0,K0=AB,Pmax(X,K)0=P(AUB)=P（八）+P(B)-P(AB)从而=px+py-pxo
10、,yo_44_3_57+7-7723、设是两个相互独立且均服从正态分布“的随机变量，则随机变量区-司的数学期望E(-=o记Z、。则ZN(0,l)从而E-=EZ=jzedz=edz=-e=R1.Jo24、若随机变量X服从均值为2,方差为M的正态分布，且P2X4=0.3,则PXO)=o由于X的密度函数关于x=2为轴对称。故PX2)=0.5,P0X2=P2X4)=0.3f从而PXO=PX2-P0X2=PX2-P0X2)=O.5-O.3=O.2,25、袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是O令3=第一人取得黄球,贝!
11、h=第一人取得白球；A=第二人取得黄球.据全概率公式20193()202P（八）=P(5)P(AIB)+P(B)P(A|B)=+-=50495049526、设平面区域。由曲线及直线a,E,2X所围成，二维随机变量(Ky)在区域。上服从均匀分布，贝关于屋的边缘概率密度在=2处的值为O区域。的的面积为A=JW=(E=2,故(X,Y)JlX1的联合概率密度为/*,y)=ga”D(X,y)关于X的0,其它边缘概率密度为W=JV*,y)dy俏双1/=达1乙故0,其它。，其它，加2)127、假设P（八）=O4,P(AUB)=0.7,那么若A与3互不相容，则P(B)=；(2)若A与3相互独立，则P(B)=o
12、(1)P(B)=P(AU8)P（八）=O.70.4=0.3.(2)由P(AUB)=P（八）+P(B)-P(AB)=P（八）+P(B)-P（八）P(B)得P(B)=P(AB)-P（八）1-P（八）=0.7-0.4/1-0.4=0.5.28、一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为郎，则该射手的命中率o1为O设命中率为p(0pl),则至少命中一次概率为I-(I-P)SI-(I-P)4=整解得o1j29、设A,B为随机事件，P（八）=O.7,P(A-B)=0.3,贝(IP(A5)=o由P(A-B)=P(A-AB)=P（八）-P(AB)=0.39得P(AB)=P（八）-0.3=0.7
13、-0.3=0.4,故P(AB)=0.6.30、将C,C,E,E,I,N,S第七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词SCIENCE的概率为o31、设对于事件A,B,C有P（八）=P(B)=P(C)=-94尸(AB)=P(BC)=O9P(AC)=-9则A,B9C三个事件至少8出现一个的概率为O32、假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中随意取出一件，结果不是三等品,则取到的是一等品的概率为O记事件4“取出的产品为第i等品，i=l,2,3o则4,A2,4互不相容，所求概率为1,设P(AUA2)P(A1)+P(A2)0.6+0.3333、一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率P,=占G=1,2,3)，以X表示3个零件中合格品的个数,贝I)PX+2=o用4表示事件“第i个零件是合格品”，则P(Af)=7li,pw=1-71t=71t,所求概率PX+2=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=P(A1)P(AJP(A3)+PCAJP(A2)P(A3)+P(AJP(A2)PM3)123
