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1、线性代数2018年10月1.行列式中元素4的代数余子式等于-3145032-21A, -40B、-10Cx10D、40正确答案：B解析：元素4在行列式中位于1行3列，根据代数余子式得选B.2 .B、-2Cx1D、4正确答案：B解析：3 .下列矩阵中不是初等矩阵的是（）A,B,CxD、正确答案：A解折：初等矩阵的定义：由单位矩阵经过1次初等变换得到的矩阵为初等矩阵，3种变换形式：1.交换两行（列）；2.矩阵的某一行（列）乘以非零常数K;3.矩阵的某一行（列）的元索乘以非零常数K加到另一行（列）的对应元素上去.4.设分块矩阵4=（4,%）,其中生3）是3维列向量，12B=-1121-1002,则N
2、B的第3列是(3-1A、B、CxD、正确答案：C解析：5.设向量组线性无关，线性相关，则下列结论中错误的是()av%a3ava2,a4A、B、CxD、正确答案：D解析：无关组的部分组必无关，A对；部分相关则整体必相关，C对，D错；无关组增加一个向量变为相关组，则增加的向量用无关组线性表示，且表示法唯一，B对.6.O11行列式1O1=.1 1O正确答案：27.若行列式4外巾元素&的代数余子式&(ij=1.2)aia22则auAua21A2=.正确答案：O8.矩阵(4E)经过初等行变换化为(旦B),则B=I正确答案：9. 已知矩阵fon11l2A=,则#24+E=Uj正确答案：(2-2、1-22/
3、10. 设向量%=(1：1.I)Ia2=(14：)，4=。：，0)，尸=(123)1则由向量组%,4,03线性表出式为.正确答案：=3c1.一a1一Ct211.设2是5x6矩阵，r()=3,则齐次线性方程组=。的基础解系中包含解向量的个数为i正确答案：312.无解，则数Q=12已知线性方程组0200正确答案：-113 .设=(l,l,-2)r是3阶矩阵A属干特征值2=2的特征向量，则=.正确答案：(22可14 .设20=-2是阶矩阵4的一个特征值，则矩阵3E/必有一个特征值是.正确答案：515 .若实二次型正定,则数的取值范围为./（,x2s均）=#+4*+4x+2xlx2正确答案：-2216
4、 .计算行列式的值.a2abb22aajrb2b1 11正确答案：3”17.1O0、O,B=210b-21.42已知矩阵Z=22UO若矩阵X满足等式4=26+X,求X.正确答案：2、O18.设向量=(1.T2)T,尸=(1.3,2)l且T=Q必，求N和4.正确答案：2、-24J13i10=29-1-3J6并将其余向量由该极大线性无关组线性表出.%=1的一个极大线性无关组,正确答案：极大无关组为,a2,fi3=-a1-22.4=极大无关组不唯一）.20.设4为3x4矩阵，r（幺）=2,且已知非齐次线性方程组Nx=6的3个解为%=(1,T,0,2)%=(2,1,-1,4)T,仍=(4,5,-3,1
5、1)T,求（1）齐次线性方程组Ax=O的通解；（2）非齐次线性方程组Zx=6的通解。正确答案：（1）本题运用到线性方程组解的性质：%=%-%=（3,6：-3,9），%=小-小=（2,4,-2,7），是齐次线性方程组Nx=0的解。由于对应元素不是对应成比例，故,%是齐次线性方程组Ax=O的线性无关解。又由于ZX=O的基础解系中解向量的个数一，（幺）=4一2=2个，（用他任意实数）.所以是齐次线性方程组NX=O的通解。（答案不唯一）（2）由非齐次线性方程组ZX=6的解的结构定理知=f+rf=kcx+k2a2+rf取=x，则Zx=b的通解为=klal+k2a2+121.。（答案不唯一）4O、32-4
6、311-3;的全部特征值与特征向量，并指出4能否对角化。正确答案：A-I由特征多项式4E-4=OO-3-24-2T=MT)4=(A-I)2(2),2+3则特征值为.=/=1,4=-2.对于4=4=1.对应齐次线性方程组（E-4）x=O,得到基碳艇系%=。o）1,%=（o,-,）从而属干特征值%=%=1.的全部特征向量为k1%+总%,&A不全为零的常数）.对于4=-2,对应齐次线性方程组（-2E-Z）X=O,得到基蝴系=（3,1.-4）l,从而属于特征值4=-2,的全部特征向量为匕%（巴是不为零的常数）.由于矩阵A有3个线性无关的特征向蚤，所以矩阵彳可对角化。22.求正交变换x=P将二次型/（礼x2）=3+3x；+4x1x2化为标准形,并写出相应的标准形.正确答案：23.设向量组%,%.3线性无关,且=%+k2a2+k3a3.证明：若用工0,则向量组：%：%也线性无关.正确答案：证：设存在常数a：%,使得q/?+q0r3=O；由=kla+k2a2+k3a3代入上式，则tl(kya1+k2a2+fc3)+r2a2+t3a3=r1a1+(r1A2+r2)a2(r1+r3)a3=0姑=0向量组%；%,%线性无关，所以r由+=0,3r3=0又有用工0,则得出4=0：=0：4=。于是向量组；%；%也线性无关.
