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1、6.3.5平面向量数量积的坐标表示新课程标准解读核心素养1 .能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角数学运算2 .能用坐标表示平面向量垂直的条件逻辑推理知识梳理读教材口基础落实高效学习Ib情境导入一通过前面的学习，我们知道，已知G=(X1,),b=(X2,X),我们可以求出。十力，。一以及加o)的坐标.问题那么如何用。与方的坐标来表示。功呢？/新知初探.知识点平面向量数量积的坐标表示若=(x,y),b=(%2，/2)，。与6的夹角为。.则(1) ab=xx2+y.V2即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和；(2) IaI2=+资，或Ial=J*+资：(3) a_boXjX
2、z+”=O(,6是非零向量)；(4)若“,都是非零向量，则cos:彳=XlX2+：小笛想一想向量垂直与向量平行的坐标表示有什么区别？提示：向量垂直与向量平行的条件容易混淆，注意以下特点：坐标表示记忆口诀垂直Jo.w2+y1y2=O对应相乘和为O平行。*=汨一Xzyi=O交叉相乘差为O自做一做1.若=(2,-3),b=(x,2x),且3b=4,则X=()A.3B.-3C.-D.-33解析：C由34b=4,得(6,9)(x,2x)=-12x=4,x=2 .已知G=(3,4),b=(5,12),则。与b夹角的余弦值为()A.B.65C.D.13655解析：A=5,IbI=52+122=13.。力=3
3、X5+4X12=63.设a与的夹角为仇所以COSe=U=?.513653 .已知向量a=(1,)，b=(1,),若2a-b与b垂直，则I0I=()A.lB.2C.2D.4解析：CI(2a-b)b=2ab-IbI2=2(1r)一(ln2)=/?23=0,2=3,.Ial=Jl2+n2=2.4 .已知点A(0,1),B(1,一2).向量通=(4,-1),则而而二,IBCI解析：宿=(1,-3),.,.ABAC=l4-(-3)X(-1)=7,BC=AC-AB=(4,-1)-(1,-3)=(3,2),：,BC=J32+22=13.技法归纳活学活用答案：713题型突破析典例题型一平面向量数量积的运算例1
4、(1)已知=(2,-1),b=(1,-1),则(+2b)(-3Z)=()A.10B.-10C.3D.-3(2)已知=(1,1),b=(2,5),C=(3,x),若(8。一b)c=30,则X=()A.6B.5C.4D.3解析(1)a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(6+2b)(。-36)=4(-1)(-3)2=-10.(2)由题意可得，Sa-b=(6,3),又(8。-b)c=30,C=(3,x),所以18+3X=30,解得X=4.答案(I)B(2)C通性通法数量积坐标运算的方法进行平面向量的数量积的坐标运算的前提是牢记相关的运算法则和运算性质，通常有两种解题方法：一是先将各向量
5、用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知进行计算.提醒如果题目中的图形是等腰三角彩、矩形、正方形等特殊图形时，一般选择坐标法求平面向量的数量积.M跟踪训练已知正方形A5C。的边长为2,E为CO的中点，点?在AD上，AF=IFDi则屁存解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2),E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0),因为而=2而，所以F($2).所以证=(2,1),CF=02)-(2,0)=(-1,2),所以而赤=(2,1)(-,2)=2(冶)12=.题型二平面向量的模【例2】(1)已知A,B,C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1
6、,2),B(4,1),C(0,-1),则ZkABC的形状为()A.宜角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.以上均不正确(2)已知向量=(x,y)=(-1,2),且+b=(1,3),则Ia-2bI=.解析22Iz2(1) lAB=y(4-1)+(1-2)=T,IACI=y(0-1)(-l-2)=2210.XI而I=J(0-4)+(-1-1)=20,：.AB=ACf且I而I2+I冠I2=I近I2,因此A48C为等腰直角三角形.(2) .+b=(-l,y+2)=(1,3),则x=2,且y=l.,=(2,1),贝一2b=(4,-3),故Ia2bI=y42-h(-3)2=5.答案(1)C(2)5通
7、性通法求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用IaI2=a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题；(2)坐标表示下的运算：若=(x,y),则as=，=IaI2=w+y,于是有IQl=Jx2+y2.口跟踪训练已知=(1,-2),b=(x,2),且ab,贝JI5I=()A.25B.5C.10D.5解析：B因为=(1,-2),h=(x,2),且。瓦所以2x+2=0,解得工二一1,所以b二(1,2),则lbl=J(-1)222=5.题尹向量的短8金宣【例3】已知点A(2,1),8(3,2),O(-1,4).(1)求证：AB1.AD；(2)要使四边形A6C0为矩形，求点C的坐标以及
8、矩形488两对角线所夹锐角的余弦值.解(1)证明：因为A(2,1),8(3,2),0(1,4),所以荏=(1,1),AD=(-3,3),所以亚荷=IX(-3)+l3=0,所以而_1.而.(2)因为荏_1.而，四边形48Co为矩形，所以标=反，设点C的坐标为(x,y),则由亚=(1,1),DC=(x+l,y-4),y-4=1,x=0,.y=5,所以点C的坐标为(0,5),从而前=(-2,4),BD=(-4,2),设炉与前的夹角为仇MCOS=-=(-2)(-4)42=4所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为:通性通法解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)求解方法：由COSe=*l*2+%y2直接求出
9、COS(2)注意事项：利用三角函数值CoSO求。的值时，应注意角。的取值范围是Owe180.利用cos。=Y下判断夕的值时，要注意cos。VO时，有两种情况：一是J是钝角，二是。为180;cos0B,也有两种情况：一是。是锐角，二是为0.0跟踪训练1.(2022新甯考卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若=Vb,cf则f=()B.-5A.-6解析：C由题意，得c=+rb=(3+f,4),所以0c=3X(3r)+4X4=25+31,bc=1(3)+0X4=3+f.因为V,c=,所以CoSV,c=cosVb,C,即白彳=T冷，即至誓=3+r,解得r=5,故选C.IacIIbc
10、I52.已知向量G=(1,3),b=(3,4),若Ca-b)_1.b,贝U；I=.解析：法一a-b=(1-32,3-42),=(a-b)_1.b,.,.(劝)力=0,即(1一3九3-4)(3,4)=0,3-9A+12-162=0,解得2=F法二由(。一动)_1.b可知，(a劝)心=0,即ab一劝2=o,从而A=粤=上与丁畀二Dz3+4N15_3255,因随堂检r.a=(4,3),b=(5,6),则3II4b=()A.23B.57C.63D.83解析：D3I4I2-4=3(-4)2+32-4(-45+36)=83.故选D.2 .已知向量”=(2,1),b=(1,-2),则。与b的夹角为()A.0
11、oB.45oC.60oD.90o解析：Dab=2-2=0i所以a_1.b,所以。与方的夹角为90.故选D.3 .设平面向量0=(1,2),b=(-2,y),若方，则I3a+bI=()A.5B.6C.17D.26解析：A*ab,.*.IXy-2(2)=0,解得y=-4,从而3+b=(1,2),I3+bI=5.4 .已知向量=(1,2),b=(m,1).若向量。+b与。垂直，则m=.解析：Va=(1,2),b=(帆，1),.ajrb=(1w,21)=(.m-1,3).又+b与。垂直，(+)a=0,即(m-l)X(-1)+3X2=0,解得加=7.答案：75 .已知向量a=(2,1),b=(1,k),且。与b的夹角为锐角，则实数Z的取值范围是.解析：当Q与力共线时，2Ar-l=0,k=此时”,b方向相同，夹角为0,要使。与。的夹角为锐角，则有“b0且,力不同向.由。0=2+心0,且女工与得心一2,且攵吟即实数Z的取值范围是(一2,U(1,+8).答案：(一2,i)U(i,+8)
