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1、7.2.2复数的乘、除运算新课程标准解读核心素养1 .掌握复数代数形式的乘法和除法运算数学抽象2 .理解复数乘法的运算律数学运算G知识梳理读教材D-基础落实高效学习Ib情境导入一我们知道，两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即出b,CWR时，有(+)c=ac+bc,而且，实数的正整数次簇满足V=7(11)n=amnfCab)n=a,b,t其中加，均为正整数.问题复数的运算满足上述的运算律吗？啦新知初探-知识点一复数的乘法1 .复数的乘法法则设z=+6i,Z2=c+di(a,b,cftR),则ZIZ2=(+6i)(c+di)=(acbd)+(d+Z?C)i.2 .复数乘法的运算律对于任意Z,Z2
2、，Z3C,有交换律Z1Z2=Z2Z1结合律(Z1Z2)Z3=Zi(Z2Z3)分配律Zl(Z2Z3)=Z1Z2+Z1Z3你想一想1.复数的乘法与多项式乘法有何不同？提示：复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把12换成一1,再把实部、虚部分别合并.2.多项式乘法的运算律在复数乘法中能否成立？提示：仍然成立，乘法公式也适用.知识点二复数的除法复数代数形式的除法法则(叶加)E)=需acjrbdbc-adc2+d2c2d2(a,b,c,6三R,且c+JiWO).提醒对复数除法的两点说明：实数化，分子、分母同乘以分母的共艇复数cM,化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这
3、与根式除法的分母“有理化”类似；代数式，注意最后结果要将实部、虚部分开.口做一做1 .已知i为虚数单位，复数Z=(3-i)(2i),则Z的虚部为()A.iB.1C.7iD.7解析：BVz=(3-i)(2+i)=7+i,z的虚部为1.故选B.2 .复数z=-i在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：C因为Z=UT=:T=ZT=TT，所以Z在复平面内对应Z+1(2+l)(2-1)555的点为(一:一，位于第三象限.故选C.3 .设复数Z满足(l+i)z=2-2i(i为虚数单位)，则IZl=.解析：由已知可得z=4匕=-2i,因此，IzI=Z1+1(l+)(l
4、-1)答案：2技法归纳活学活用0-题型突破析典例I-题型一复数代数形式的乘法运算【例1】计算下列各题：(1) (l-i)(l+i)(-li)；(2) (2-i)(-l+5i)(3-4i)+2i.解(1)(l-i)(li)(-li)=1-i2-l+i=li.(2)(2-i)(-l5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+lli)(3-4i)+2i=(9-12i33i-44i2)2i=53+21i+2i=53+23i.通性通法复数的乘法运算法则的应用(I)复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i?化为一1,进行最后结果的化简：(2)对于
5、能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.口跟踪训练1 .已知复数z=i(1i),则其共加复数5=()A.-1-iB.-l+iC.l-iD.l+i解析：Cz=i(1i)=ii2=l+i,所以5=1i.故选C.2 .若复数Zi,Z2满足Zl=I2i,Z2=3+4i(i是虚数单位)，则zZ2的虚部为.解析：由题意知，zZ2=(12i)(34i)=112i,所以Z1z2的虚部为-2.答案：一2题型二复数代数形式的除法运算【例2】(1)已知Z=普，i为虚数单位，则Izl=()A.-B.-22C.乎D穹22(2)若复数Z满足zi=-l+i(i为虚数单位)，则
6、Z=()A.-1-iB.-l+iC.l-iD.l+i解析_3+4i_(3+4i)(l-i)_7+i_711.-1+i(l+i)(l-i)222IZI=M=噤故选C(2)因为复数Z满足zi=-1+i(i为虚数单位)，所以z=t=2平也=l+i,故选D.答案(1)C(2)D通性通法.两个复数代数形式的除法运算的步骤(1)首先将除式写为分式：(2)再将分子、分母同乘以分母的共艇复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式.2.常用公式(1)=-i:(2)=i;(3)=一1i1il+0.跟踪训练1 .设复数Z=Ii(i是虚数单位)，则复数三+z2=()ZA.l-iB.liC.
7、2+iD.2-i解析：A-+z2=(l-i)2=:七二-2i=l+i-2i=-i.故选A.ZI-I(1)(l+)2 .复数z=+2i,aR,若j+13i为实数，贝!1=.解析：乙+l3i=但+13i=+l3i=3(a3)i,V+l-3iR,：.a111(-1)13=0,即。=一3.答案：一3题型=i幕值的周期性及应用【例3】(1)复数z=i2023的模是()A.iB.-1C.0D.1(2)计算：l+i+i2+i3+产(i为虚数单位)的结果是.解析(1)因为i2=-l,i4=l,所以z=i2O23=i4X5O5+3=j3=-i,所以复数Z的模是1.故选D.(2)由复数的运算法则可知：l+i+i2
8、+i3+产=1+(i+i2+i3i4)+(i97+i98i99+i00)=1+()+0=1答案(1)D(2)1通性通法利用i幕值的周期，性解题的技巧(1)熟记i的赛值的4个结果，当赛指数除以4所得的余数是0,1,2,3时，相应的寐值分别为1,i,I,i;(2)对于N,有i+ru+i+2+i+3=o.口跟踪训练解1+i(l+D(l+i)-2i畔.1一_(l-i)(l+i)_一21+-2i,而i4=(i)4=1,(三户+(缶广守侬+(-i)2023=i2020i2(-i)2020(-i)3=-li.题型四I在复数范围内解方程【例4】在复数范围内解下列方程：(1) x25=0;(2) x24x6=0
9、.解(1)因为x2+5=0,所以x2=-5,又因为(5i)2=(VSi)2=-5,所以尤=士5i,所以方程*+5=0的根为x=5i.(2)法一因为x2+4x+6=0,所以(x+2)2=-2,因为(i)2=(一)2=-2,所以x2=V2i或x+2=-2i,即X=-2+2i或X=-2-2i,所以方程x2+4x+6=0的根为X=-22i.法二由x2+4r+6=0知/=4?4X6=-8V0,所以方程x2+4r+6=0无实数根.在复数范围内，设方程f+4x+6=0的根为x=+历(，OeR且匕0),则(a+6i)2+4(。+历)+6=0,所以2+2bi-+4+4力i+6=0,整理得(/一层+4+6)+(2
10、ah+4b)i=(),.rs,(a2b2+4q+6=0,所以(.2ab+4b=0,rE、？_xl(a2b2+4+6=0,又因为b0,所以(2+4=0,解得=-2,力=士.所以=-2Vi,即方程24x6=0的根为x=2y2i.通性通法在复数范围内，实系数一元二次方程4W+bx+c=O。关0)的求解方法(1)求根公式法：-bb2-4ac当/20时，X=-；2a-b-(b2-4ac)i当/V0时，X=.2a(2)利用复数相等的定义求解：设方程的根为X=根+i(?,heR),代入方程OX2+t+c=0QW0),化简后利用复数相等的定义求解；(3)一元二次方程根与系数的关系仍成立，即内+及=一*X1X2
11、=Zftl踪训练1 .已知2i-3是关于X的方程f+6x+g=0(R)的一个根，则该方程的另一个根为()A.2i+3B.-2i-3C.2i-3D.-2i+3解析：B根据题意，方程的另一个根为一6(2i3)=-32i.故选B.2 .已知关于X的方程X2+1+2i)x+2+0=0有实根，求这个实根及实数攵的值.解：设X=即是方程的实根，代入方程并整理得(幡+Ho+2)+(2即+A)i=0.由复数相等的条件得诏+ho+2=2xo+A=O,解得x0=2,Jx0=-2,k=-2y2k=22,方程的实根为x=或一,相应的的值为一2或2.园随堂检测.1 .已知zWR,i为虚数单位，若(z+i)(23i)=5
12、i,贝Jz=()A.lB.-1C.2D.-2解析：A由(w+i)(23i)=(2zz3)+(2-3n)i=5-i,得产5解(2-3n=-l,得m=.2 .复数Z满足：Z(2i)=5G是虚数单位)，则复数Z的虚部为()A.-2B.2C.iD.-1解析：DZ=W=2-i,二虚部为一1.故选D.2+1(2+)(2-)3 .已知复数z=i+2i2+3i3+4i(其中i为虚数单位)，则IzI=()A.2B,22C.4D.10解析：B依题意，z=i2(-1)+3(-i)4=2-2i,所以IZl=J22(-2)Z=2故选B.4 .已知复数Z满足Z(li)=2i(fR),若IZl=22,求r的值.解：由Z(l
13、+i)=2ri(rR),得Z=空T=卫(1i)=ri,因为IZI1+1(1+1)(1-1)=22,所以H+/2=(22)2,解得r=2或，=2.欧拉公门三维微虑式及应用欧拉公式eh=cosx+isinx(xR,i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.【例】（1）欧拉公式/=COSe+isine把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数Z满足（*+i）z=i,则Z的虚部为（）A.-B.-C.1D.-122（2）（多选）欧拉公式eA
14、i=CoSX+isinx（其中i为虚数单位，xR）,依据欧拉公式,下列选项正确的是（）A.复数e对应的点位于第三象限B.e家为纯虚数c.复数关的模等于;3+2D.温的共扼复数为T一争解析（1）由欧拉公式知：e,11=cos11+isin11=1,.,.（e,11i）z=（li）z=i,z=-1.=T一成，；z的虚部为一g,故选B.（2）由题知e=cos2+isin2,而cos2VO,sin20,则复数e?1对应的点位于第二象限，故A错误；e21=cos+isin=i,则e5i为纯虚数，故B正确；T=CoSTISlnXNN3Ilv3+l(cosx+isinx)(r3i)3cosxsinx(3+i)(-i)3sin-COSX.则云的模为5cos%+sinx)2(sin-cos%
