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1、专题07解直角三角形的应用模块中档大题过关20题（解析版）专题简介：本份资料包含解直角三角形的应用这一模块在初三各次期中、期末考试中常考的主流中档大题，具体包含的题型有解直角三角形的应用之用算术方法解直角三角形、解直角三角形的应用之用方程方法解直角三角形、解直角三角形的应用之含非特殊角的直角三角形这三类题型，适合培训机构辅导老师给学生做专题复习时使用或者学生考前刷题使用。题型一：解直角三角形的应用之用算术方法解直角三角形1.（2022黑龙江大庆）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度43.飞机上的测量人员在C处测得A,B两点的俯角分别为45。和30。.若飞机离地面的高度CO为10
2、0om,且点O,A,4在同一水平直线上，试求这条江的宽度A3（结果精确到1m,参考数据：21.4142,31.7321）在R1.ACo中，VZCAD=45,，AD=8=1000米，在即ZXQCB中，ttanZCBD=-tBDRD=CD_1-0-1000QtanCBDV（米），A=BD-AD=10003-1000=l（3-l）732（米）T答：这条江的宽度AB约为732米.2. （2022江苏宿迁）如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔8底部的俯角为30。，信号塔顶部的仰角为45。.已知教学楼AB的高度为20加，求信号塔的高度（计算结果保冒根号）.【详解】解：过点A作AE_1.e。于点E,
3、由题意可知，NB=NBDE=NAED=90,二四边形ABQE是矩形，DE=AB=20m,在放AADE中，ZAED=90o,ZDAE=30o,DE=20m,rye20VlanZDAE=-,AE=-=203m,在mZkACE中，ZAEC=90o,NCAE=45。,AEtanZDAEtan30,ACE是等腰直角三角形，CE=AE=2/m,：,CD=CE+DE=（20320）m,信号塔的高度为（20J+20）m.3. （2022四川凉山）去年，我国南方某地处山坡上座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行
4、处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45。，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30。，A、8两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）.【详解】解：如图，过点3作8。_1.AC于点由题意得：A8=16米，ZCBD=45o,ZE=30o,ACEF,.BDEF,.ZABD=ZE=30,在RIZABO中，AO=；AB=8米，BO=ABcOSNABD=86米，在RlBCD中，CD=8OtanNC8O=8J米，BC=-=8卡米,cosNCBD则AO+8+8C=8+8b+8#（米），答：压折前该输电铁塔的高度为（8+85+8G）米.4. （2022重庆）如图，三角形花园A5C紧邻湖泊，四边
5、形48DE是沿湖泊修建的人行步道.经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米.点E在点A的正北方向.点、B,。在点C的正北方向，%=100米.点4在点A的北偏东30。，点。在点E的北偏东45。.求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点0处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点8到达点。，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：21.414,31.732）【详解】（I）解：过E作5C的垂线，垂足为“,ZCAE=ZC=ZCHE=90o,，四边形ACHE是矩形，,E”=AC=2（X）米，根据题意得：ND=45。,。七”为等腰直角三角形，。”=：”=200米，0七
6、=应后”=200底。283（米）;（2）解：根据题意得：NABC=N84E=30,在R1.ABC中，AB=2AC=400米，经过点B到达点。，总路程为48+8Z）=500米，/.BC=JAB2-BC2=2OO3（米），AE=C7=BC+BD-D=2003+100-200=2003-100（米），经过点E到达点。，总路程为2+2-100529500,经过点B到达点O较近.5. （2021广西钦州）如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD,小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60。.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45。，已知山坡AB的坡度i=l：3,AB=IO米，AE=15米.
7、（i=l：5是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度.1.34T（测角器的高度忽略不计，结果精确到0l米.参考数据：21.414,31.732）【详解】解：（1）过B作BG_1.DE于G,在RSABF中，i=tanZBAH=ZBAH=30oBH=AB=5（米）.答：点B距水平面AE的高度BH为5米.（2）由（1）得：BH=5,AH=5Q,/.BG=AH+AE=53+15.aRtBGC,ZCBG=45o,CG=BG=5J+15.在RIADE中，ZDAE=60o,AE=15,/.DE=3AE=153.CD=CG+GE-DE=53+15+
8、5-153=20-1032.7（米）.答：宣传牌CD高约2.7米.6. （2020广西）如图，一艘渔船位于小岛8的北偏东30方向，距离小岛40mm7e的点A处，它沿着点A的南偏东15的方向航行.（1）渔船航行多远距离小岛3最近（结果保留根号）？（2）渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行20倔加淞到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少（结果保留根号）？【详解】解：（1）过B点作AC的垂线3。交AC于点Y垂线段最短，AC上的。点距离3点最近，AD即为所求，由题意可知：NBAF=30。，ZCAF=15o,
9、BAD=45o,AD=BD=ABS加45。=40与=2042（mile）,渔船航行25Iinmiie时，距离小岛8最近.（2）在RjBDC中，tanZ1.C=,/.ZC=30o,ZDBC=60o,/.BC=4042（nmile）DC2063*30。7VZABD=45o,ZABE=90o-30o=60o,：.NDBE=5。,.,AEBC=ZDBC-ZDBE=45.答：从8处沿南偏东45出发，最短行程405/如WM7e.7. （长郡）如图,已知斜坡AB长为80米,坡角（即NBAe）为30。，BC_1.AC,现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜
10、坡BE.（1）若修建的斜坡BE的坡角为45。,求平台DE的长;（结果保留根号）（2）一座建筑物GH距离A处36米远（即AG为36米）,小明在D处测得建筑物顶部H的仰角（即NHDM）为30o点B.C.A.G、H在同一个平面内,点C.A.G在同一条直线上,且HG_1.CG求建筑物GH的高度.（结果保留根号）【解答】解：(1);修建的斜坡BE的坡角为45。，NBE尸=45。，VZDC=ZBDF=30o,AD=BD=40,IBF=EF=1BD=20,DF=203：-DE=DF-EF=2O3-20,二平台OE的长为(20-20)米；(2)过点。作OPJ_AC,垂足为P.在RI4中，DP=XaD=40=2
11、0,PA=ADcos30o=203,在矩形DPGM中，MG=DP=20,D=PG=+AG=203+36.在RtDMH中，HM=DMtan300=(20336)X返=20+12,则G=HM+MG=20+12+20=40+12.3答：建筑物G”高为(40+123)米.题型二：解直角三角形的应用之用方程方法解直角三角形8. （2022湖南怀化）某地修建了一座以“讲好隆平故事，厚植种子情怀”为主题的半径为800米的圆形纪念园.如图，纪念园中心点A位于C村西南方向和8村南偏东60。方向上，。村在B村的正东方向且两村相距2.4千米.有关部门计划在8、C两村之间修条笔直的公路来连接两村.问该公路是否穿过纪念
12、园？试通过计算加以说明.（参考数据：31.73,1.41）北【详解】不穿过，理由如下：过点A作ADJ_8C,交BC于点D,根据题意可知/ACQ=45。，ZABD=30o.设S=彳，WJBD=2A-x,在MZiACO中，NAC=45。，ZCAD=450,：,AD=CD=X.在R3A8O中，tan30。=丝，即一=且，BD2A-X3解得40.88,可知AD=0.88千米=880米，因为880米800米，所以公路不穿过纪念园.9. （2022辽宁朝阳）某数学兴趣小组准备测量校园内旅杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）.该小组在C处安置测角仪C。，测得旗杆顶端A的仰角为30。，前进8m到达E处，安置测
13、角仪ER测得旗杆顶端A的仰角为45（点8,E1C在同一直线上），测角仪支架高CD=E尸=1.2m,求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度.（结果精确到1m.参考数据：31.7）1.2m,ZAGF=90,设AG=Xm,在RIAA尸G中，NA产G=45,A：FG=x(m),.DG=DF+FG=(x+8)m,在Rt4OG中，NAQG=30,tan45otan3O。=9=上=3，x=434,经检验：=4G+4是原方程的根,DGx+83AB=AG+BG2（m）,，旗杆顶端A到地面的距离即A8的长度约为12m.10. （2022重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援.位于湖面8点处的快艇和湖岸A
14、处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援.计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上.己知C在A的北偏东30。方向上，B在A的北偏东60。方向上，且8在C的正南方向900米处.求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：J=1.732）:（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由.（接送游客上下船的时间忽略不计）【详解】（1）解：过点A作CA垂线，交CB延长线于点。，如图所示，由题意可得：ZB=60o,NMAC=30。，C8=900米，则NCAo=60。，ZB
15、AP=30CD设3D=x,则AB=2x,AD=&,CD=900+x,在MACD中，tanZCAD=,AD.*.=j=,解得X=450,在RjAce）中，sinZCAD=,3xACAC=9003=9001.732=1558.81559、工,山JTr,SrtB（米），湖岸A与码头C的距离为1559米；T（2）解：设快艇将游客送上救援船时间为f分钟，由题意可得：150/+400/=900+1559,4.475,，在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船.11. （2021.四川内江）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度.如图所示，测得斜坡3E的坡度i=l：4,坡底AE的长为8米，在8处测得树。）顶
