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1、专题30单变量恒成立之同构或放缩后参变分离【方法总结】单变量恒成立之参变分离法参变分离法是将不等式变形成一个一端是式公，另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若儿/)沟在X上恒成立，则y()%(l)ma;若/马。)在XW。上恒成立，则()min特别地，经常将不等式变形成一个一端是参数小另一端是变量表达式g(x)的不等式后，若沟(X)在XWo上恒成立，则。幺(成皿；若。与在XD上恒成立，则0(x)min利用分离参数法来确定不等式y(%,)0(xZ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为力(。)。)或方3)9(x)的形式.(2)求力在x三D时的最大值或最小值.(3
2、)解不等式/()(X)max或力()(x)min,得到。的取值范围.【例题选讲】例1(2020新高考I)已知函数段)=正厂|lar+ln”.(1)当=e时，求曲线y=(x)在点(1,式1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若氏r)l,求。的取值范围.解析当=e时，y=er-lnx+l,.V()=e-p(l)=e-1.AD=e+l,切点坐标为(1,le),曲线y=(x)在点(1,-I)处的切线方程为y-e-l=(e-l)(x1),即y=(el)x+2,切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0,2),(言，0),I22所求三角形面积为不2x=y.2e-Je-1(2)解法一(同构后参变分离)fi
3、x)=aexl-nx+na=e,nfl+x,-lnx+ln1等价于小。+1+3+工一以四+工;净叶山，令g(x)=er+x,上述不等式等价于g(ln+-l)g(lnx),显然g(x)为单调递增函数，又等价于ln+xlhu,即Inaln-x+1,11JQ令()=111x-+1,则h,(x)=-1=在(0,1)上十(x)X),力(力单调递增;在(1,+)hf(x)0.设g(x)=),则g(x)=e1.+70,g(x)在(O,+8)上单调递增，即/(X)在(0,+8)上单调递增,当。=1时，/(1)=0,则於)在(0,1)上单调递减，在(1,+oo)上单调递增，jWmin=yU)=1,成立；当a时，
4、1,ea1%(l)=(e丁一l)(-l)O,使得/(xo)=eVi-；=0,且当x(0,XO)时/(x)0,aexo1;，lna+xo-1=-1o,由已知可得，rd)=-h川)+8=2,(2)g)=)o+l-7-=-flln-ra+lX.g3=-fa+l)-(+l)(QO),因此/(x)min=(xo)=e七一|一liuo+ln。=-+ln+沏-1+lnfl211167-1+2pxo=2na+11,RoyXo.,.(x)恒成立；当OVa1时，川)=+lnal,(l)不恒成立.综上所述，。的取值范围是1,+).例2已知函数y(x)=-4lnx.(1)若曲线y=(x)+仇小bR)在X=I处的切线方
5、程为x+y-3=0,求,b的值;(2)求函数g(x)=/)+皆%?WR)的极值点；IY(3)设?(X)=x)+eA-&+lna(0),若当xa时，不等式k(x)O恒成立，求a的最小值.解析(I)由火X)=XHnx,得y=-0lnx+b,=(x)=1p167=1,；=2,h1.1+8=2,当+l0,即-1时，g(x)O,g(x)在(0,+8)上为增函数，无极值点.当+l0,即公一1时，则有，当0x+l时，g(x)+l时，g(x)O,g(x)在(0,。+1)上为减函数，在(+l,+oo)上为增函数，.=+l是g(%)的极小值点，无极大值点.综上可知，当后一1时，函数g(x)无极值点，当a一1时，函
6、数g(x)的极小值点是。+1,无极大值点.(3)(同构后参变分离)1X力(X)=”x)+ae+lna=aex-nx+ln(0),由题意知，当x时，ex-Inx+ln色O恒成立，又不等式ev-lnx+lnO等价于ej吟，即eg尾，即Xe与唠.VYY式等价于XeAweIn,由xO知，1,11令(x)=XeX(QO),则原不等式即为3(x)e(ln,V又0(x)=XeVa0)在(0,+8)上为增函数，原不等式等价于应In，又式等价于e，W，即龙永Qa0)，ClVY1X设Fa)=G(Q0),则F(x)=,尸(%)在(0,1)上为增函数，在(1,+8)上为减函数，又QaX),当OSVl时，尸(X)在(，
7、1)上为增函数，在(1,+8)上为减函数.F(x)F(l)=p要使原不等式恒成立，须使,I,当l时，尸(X)在(a,+oo)上为减函数，F(x)0恒成立，所以函数人外在(0,+8)上单调递增；当。乂)时，令/(x)=0,解得X=!，所以当(0,5)时，/(x)0,函数段)单调递增；当(：，+)时，/(x)0,所以W.!_或-+1恒成立等价于XlnXNayJX+1恒成立.设A(x)=ln-(-Ji则h,(x)=-=,所以函数以X)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，所以力(x)min=力(I)=0即InX1一所以xlnxZ(l-，=X1恒成立，问题等价于X-I-OR0恒成立，分离参
8、数得a芍苗恒成立.设r=Nx+l(l,+),函数g()=匚7则g)=l+O,所以函数g()在(1,+8)上单调递增，所以g()g(i)=-1,所以无一1,故实数。的取值范围为(一8,-1.【对点精练】1.已知函数J(X)=eax-.(1)若曲线y=7U)在点(0,汽0)处切线的斜率为1,求兀O的单调区间；(2)若不等式y(x)e0rn-r2对x(0,e恒成立，求”的取值范围.1.解析()f(x)=aeax-1,则/(O)=-l=l,即=2.=2e2t-1,令/(x)=0,得X=一竽.当XV一与2时，/(x)#2时，(X)0.故兀Y)的单调递减区间为(一8,一野)，单调递增区间为(一竽，+oo)
9、.OX1111X1(2)(同构后参变分离)由於)NexIn-ox2,即ox2xNe(ln-1),有52-，即可.,._lnear-1In-1故仅需一次1.Wr业ln-lrJnertx-IIn-1/A设函数g(x)=-,则一声一一等价于g(e)g(x).gQ)=，当X(0,e时，g()O,则g(x)在(0,e上单调递增，当XW(O,e时，g(ettr)(x)等价于eav,即七恒成立.设函数/G)=乎，x(0,el,则/=上芳K),即Aa)在(O,e上单调递增,，(.1)皿=桃)=：,则悬即可，。的取值范围为:，+VV1.DZ2 .已知函数RX)=1+eAlru.当=1时,讨论函数Ar)的单调性；
10、(2)若不等式y(x)ex(y,x)(i70),对(1,+8)恒成立，求实数。的取值范围.3 .解析(Iyu)的定义域为(O,+oo),当。=1时，/(x)=e(lnx+O，令g(x)=lnx+:,则g%)=!-p=*,当X(O,D时,g()0,g()单调递增,当X=I时，g(x)取得极小值即最小值g(l)=l,/。)0在(0,+8)上恒成立，危)在(0,+8)上单调递增.(2)(同构后参变分离)不等式yWex(d-)oer+xd-Hnxexne,-ln犬,设比)=1.lnf,即Mer)W1.),(*)1t1V,(r)=l-=-,当fW(0,1)时，k)0,&在(1,+8)上单调递增，Vx(l
11、,+),0exe,l,当0时，Ob1),贝”=而铲，当x(l,e)时，Ia)0,Mx)单调递增,*(x)mi11=(e)=e,则一0e,.*.e,又a0,的取值范围是e,0).3.已知函数Ar)=e，一，g()=ln(x+n)x+1.(1)当。二一1时，求函数Ar)的最小值；(2)若对任意的X(-?，+8),恒有y(x)g(%)成立，求实数，的取值范围.3.解析(1)当。=1时，於)=e-*+x,则/(x)=+1.令/(x)=0,得X=0.V当XVo时，/(x)0时，/(x)0,函数兀0在区间(-00,0)上单调递减，在区间(0,+8)上单调递增.，当X=O时，函数y(x)取得最小值，最小值为(0)=.(2)由(1)得CAx+1恒成立.氏x)(x)=ev+x111(xw?)ax1QeANln(X+?)+1.故x+1Nln(X+M+1,即nex-X在(一/%,+s)上恒成立.当?0时，在(一?，+s)上，ex-xl,得OV区1；当?0时，在(一?，+),ex-I,nex-X恒成立.于是l.实数机的取值范围为(-8,I.
