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1、黄金冲刺大题Ol解三角形（精选30题）1. （2024江苏一模）记一48C的内角AK的对边分别为力,c,己知2cos8+l=.a（1）证明：B=2A;（2）若SinA=立/=JiZ,求J8C的周长.4【答案】（1）证明见解析（2）7+14【分析】（I）利用正弦定理边化角结合角范围可证；（2）利用倍角公式求得SinC,然后利用正弦定理可得【详解】（1）（2CoS3+1）SinA=SinC=Sin（A+8）=SinACoS3+CosAsinB=sinA=SinBcosA-CosBsinA=Sin（B-A）因为A8（）,兀B-A（-11,11）.A=8-A或A+(3-A)=11(舍)，.B=2A.(
2、2)由SinA=孝，结合(1)知A+3=3Ae(0,11),则Ae(O,5)，得cos4=Ji二而4=-DOAAO近A?近SinB=sn2A=2snAcosA=2X=，444213cosB=cos2A=1-2sinA=l-2-=,84sinC=sin(A+5nAC+cSASin人正X，巫X立二庭二也.,4444168由正弦定理得CIbc=a_V4_c=2sinAsinBsinCy2jl5垃IC=5VV.NABC的周长为+8+c=7+IZ2. （2024湖南常德三模）在.ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,J且sin2A+sin2B+sinAsinB=sin2C.(1)求角C;(2)若,
3、b,C成等差数列，且二ABC的面积为凶，求一48C的周长.4【答案】(Dg(2)15【分析】(1)先利用正弦定理角化边得出/+6+H=C2；再结合余弦定理得出CoSC=即可求解.(2先根据叫b,C成等差数列得出+c=3:再利用三角形的面积公式得出而=15；最后结合中的a2+b2+ab=c2求出b,C即可解答.【详解】（1）因为sin?A+sin?8+sinAsinB=Sin?C,由正弦定理-7=g=r7可得：a2+b2+ab=c2.sinAsinBsinC由余弦定理可得：C+Y=)又因为Ce(0,2,所以C=(2)由c成等差数列可得：a+c=2b.因为三角形ABC的面积为生叵，C=M，43.J
4、aAsinC,即而=15.24由知：/+/+他=/由解得：fl=3,b=5,c=7.+b+c=15,故三角形ABC的周长为15.3. （2024江苏一模）在“8C中，sin（-A）+2sinA=SinC.求5的大小；(2)延长BC至点M,使得23C=CM.若NC4M=f,求/BAC的大小.4【答案】(I)B=4NBAC=工或2.1212【分析】(1)由SinC=Sin(A+8),代入己知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得CoSB=乎，可得8的大小；(2)设BC=X,NBAC=8,在a。和AACM中，由正弦定理表示边角关系，化简求NBAe的大小.【详解】(1)在二A8C中，A+B+C=11,
5、所以SinC=Sin(A+8).因为sin(5-4)+V5sinA=sinC,所以sin(8-A)+sinA=sin(A+5),即sincos-cosBsin+V2sin=sinBcosA+cosBsinA化简得应SinA=2cosfisinA因为A(0,7t),所以SinA0,COSB=当.因为OvB11,所以8=工.4Df二AC在二ABe中，由正弦定理得0.得SinC=受，而C为：角形内角，C=f或与244(2)由IanA=Tan(8+C)=tanB+IanC得a+an。=tan8+tanC,)1-tanBtanC又tan8+tanC=0,.*.tantanC=2,故S,C(,),由(1)
6、得tanC=1故tanB=2,tanA=tanB+tanC=3而A为三角形内角，sinA=.102c1.acHnF=F一20乂17一.CHJ3772=c=,snASinC记SU=3又tan=2,而B为三角形内角，故sin8=g,.,1.10254223535. （2024浙江嘉兴二模）在.ABC中，内角A&C所对的边分别是,c,已知2cosA-3cos2A=3.求CoSA的值；若dBC为锐角三角形，3=3c,求SinC的值.【答案】（I）COS4=g或COSA=0；竽【分析】（I）根据题意，利用二倍角余弦公式化简求解;（2）解法一，由2b=3c,利用正弦定理边化角得2sinB=3sinC,结合
7、Sin（A+C）=sinB和cosA=；,化简运算并结合平方关系求得答案；2解法二，根据条件利用余弦定理可得c=1明再利用正弦定理边化角并结合条件求【详解】（1）由题可得2cosA-3（2cos2A-1）=3,即女cA-CosA=O，解得cosA=或cosA=0.（2）解法一：因为2Zj=3c,由正弦定理得2sin=3sinC,即2sin（A+C）=3sinC,即2sinAcosC+2sinCbos=3sinC,因为CoSA=!，所以SinA=3区；33所以4应COSC+2SinC=3sinC又sin?C+cos2C=1.33且为锐角三角形，解得SinC=逑.9解法二：由余弦定理得CoSA=+
8、C?-=1.因为给=3c,所以（+一21,即。2二2/,2bc3-2=-93c322所以c=-,所以SinC二二SinA,33又CoS=工，所以SinA=所以SinC=sinA.33396. （2023福建福州模拟预测）在/8C中，角4用C的对边分别是,c,且asinC=CSin3,C=争.求8；若1.ABC面积为也，求BC边上中线的长.【芸】(1)B=7O(2【分析】（I）由正弦定理边化角即可得到角8;（2）根据A=B,得。=匕，结合三角形面积公式即可得到=b=1.再由正弦定理得边C以及2AD=AB+AC即可得到答案.【详解】（1）sinC=CSinB,由正弦定理边化角得SiIIASinC=
9、SinCSin3,SinC0,1.sinA=Sin8,.A=B或A+8=11(舍),(2) ,B=-,C=tA=,.a=b,636-SABC=absmCf即空=_1./.正，解得a=b=52422由正弦定理一三=sinAsmC得C=姻=3,sinA设5。边的中点为。，连接A。，如下图:9+3+2J3冬IAD=ABAC即(2AO)2=(A4+AC)2,7. （2024山东淄博一模）如图，在AABC中，NBAC=，,NEAC的角平分线交3C于P点，AP=2.BPC(1)若3C=8,求ABC的面积;若CP=4,求8P的长.【答案】6+阿212f22B【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出
10、答案：（2）首先利用余弦定理求出AC=I+岳，再利用正弦定理求出SinC,再根据三角恒变换求出SinB,最后再根据正弦定理即可.【详解】（1）AABC中，设角A、B、C的对边分别为。、b、J在itABC中由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcosZCAB，即64=。2+力2+6cri.c_cch11+2c32bW222222整理得力c=M+2C解得bc=2+2相,所以S.C=1.bCSinNBAC=/inv22(2)因为AQ=2,CP=4,NPAC=方,所以在ZXAPC中由余弦定理可得CP2=A尸+AC?-2APACcosZCAP,所以16=4+AC2-2AC解得AC=I+il,AP
11、PC由正弦定理得等=.二二D,sinCsinZ.CAP2=4r即砧一再，解得SinC=9,42所以cosC=JI-Sin2C=,sinB=Sin(NBAC+C)=sinZ.BACcosC+cosZ.BACsinC=GacRr1+13BC-A8U由正弦定理得一二.，则-6一6，SinBsinZ.BAC-解得BC=生2叵.3所以PB=BC一PC二比心叵一4二汉亘338. (2024安徽模拟预测)如图，在平面四边形A4C。中，AB=AD=4,BC=6.(1)若A=与，C=y,求SinN5。C的值；若8=2,cos=3cosC,求四边形ABCo的面积.3【答案】=4J应+8?【分析】(1)zA8D中求
12、出60,在43CD中，由正弦定理求出SinNBDC的值;(2) ZVtBD和ABCD中，由余弦定理求出COSA和8sC,得SinA和SinC,进而可求四边形ABC。的面积.【详解】（I）在AABO中，AB=AD=4,A=?,则NAO8=$,3OBD=2ADcosZADB=24cos=43,O在48Cz)中，由正弦定理得BCBDsinZBDCsinCn1.6sinBCsmC33sinZ.BDC=f-=BD434(2)在和ABCQ中，由余弦定理得BD2=AB2+ADr-2ABADcosA=42+42-244cosA=32-32cosA,BDr=CB2+CD2-2CCDcosC=62+22-262cosC=4（）-24cosC,则SinA=芈si竽四边形ABCf）的面积S=SABD+S88=ABADsin+CBCDsinC1),221,C45160
