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1、微专题08函数解析式的求解策略【方法技巧与总结】函数解析式的求解策略有：(1)直接法：已知/*)的解析式，求/(g(x)的解析式类型，直接将g(幻整体代入f中的X；(2)待定系数法：即由已知函数类型设出函数解析式(通常是一次函数和二次函数类型)，再根据条件列方程(或方程组)，通过解方程(或方程组)求出待定系数，进而得出函数的解析式；(3)换元法(或者叫配凑法)：已知抽象函数/(g(x)的解析式求f(x)的解析式，这个方法可以看成代入法的逆向思维，即令g(x)=z,反解出X,然后代入/(g(x)中得到了，进而得到/(x)的解析式；(4)解方程组法：该方法是针对含有关于两个不同变量的函数，而这两种
2、变量存在某种特定的关系，在中学阶段这种关系通常是互为相反数或者互为倒数，然后“互换”两个变量建立一个新的关于这两个变量的关系，通过解方程组消去一个变量，从而得到只含一个/的解析式，最后可以得到/(幻的解析式；(5)赋值法：赋值法是很常用的处理抽象函数之间的一种方法，对涉及任意量词(含X,y)题目，要特别注意可以通过赋特殊的值，求出特殊的值对应函数值，进而求出函数的解析式.【题型归纳目录】题型一：已知函数类型求解析式题型二：已知/(g(x)求解析式题型三：求抽象函数的解析式题型四：求解析式中的参数值题型五：函数方程组法求解析式【典型例题】题型一：已知函数类型求解析式例1.已知/(X)是一次函数，
3、2/(2)-3/(1)=5,2/(0)-/(-1)=-1,则/3=()A.3x+2B.3x-2C.2x+3D.2x-3【答案】D2攵+与-戈攵+力=5【解析】依题意，设f(x)=云+42/0,则有二,二1，解得2=2消=一3,2b-(-+b)=-所以f(x)=2-3.故选：D例2.设为一次函数，且/(/(M=4x-1.若3)=-5,则/(x)的解析式为()A.f(x)=2x-ll或/(x)=-2x+lB.f(x)=-2x+C.f(x)=2x-ID.f(x)=2x+【答案】B【解析】设f(x)=履+方，其中女工0,则f(f(x)=R(H+b)+=Z2x+(炒+)=4工一1,所以，=4kb+b=-
4、，解得=1b=3当左二一2时，/(x)=-2x+l,此时3)=-5,合乎题意；当1=2时,/(x)=2x-,此时/=*不合乎题意.综上所述，W=-2+1.故选：B.例3.如图，一次函数y=依+匕(女工0)的图象与反比例函数y=吐网(m0且，7)的图象在第一象限交X于点A、B,且该一次函数的图象与轴正半轴交于点C,过A、B分别作丁轴的垂线，垂足分别为七、(1)求加的值和反比例函数的解析式；(2)若点M为一次函数图象上的动点，求O历长度的最小值.【解析】(1)由已知点A(4,l)为函数y=贮网上的点，X解得：/H=4或m=T,4所以反比例函数的解析式为J=;X(2)因为A(4,l),所以AE=4由
5、已知ACDECEA相似，CE=4CD,所以E4=4Q8,所以08=1,故点8的横坐标为1,4又点5在函数y=；的图象上，所以3的坐标为。,4),因为点A5都在函数y=H+。的图象上，所以&+h=4,4k+b=l,所以2=1,b=5,所以O/=5,OC=5,IiuCOF为直角三角形，设点O到直线C尸的距离为d,则dx5*V=5x5,故d=：立,2又当OM_1.CF时，OW的长度最小，所以OM长度的最小值为逑.2例4.在“x+l)=(x)+2x-1,/(x+l)=l-力，且/(0)=3,x)2恒成立，且/()=3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：己知二次函数f(x)的图像经过
6、点(1,2),(1)求/(力的解析式；求/(x)在T”)上的值域.【解析】(I)选条件.设f(jv)=02+bx+c(aO),则f(x+)=a(x+)1+b(x+i)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c.因为/(x+l)=/(x)+2-1,所以Or*+(2a+h)x+8+c=02+zx+c+2xI,(2a=2a=所以解得7.因为函数小)的图像经过点(1.2)，所以/(l)=+b+c=l-2+c=2,得c=3.故F(X)=X2-2x+3.选条件.设F(X)=*+bx+c(aO),则函数外力图像的对称轴为直线X=-9.2a-A=2a由题意可得(0)=c=3f()=a+b+c=2a=1,解得卜=
7、一2.故f()=f-2x+3c=3选条件设Fa)=OV?+加+Haw。)因为/(0)=3,所以c=3./=+8+3=2rfl=1因为x)2=/恒成立，所以h,解得/0,=1O=T2aI故Fa)=X2-2x+3.(2)由(1)可知/(x)=x2-2x+3=(x-l)2+2.因为x-l,所以(x-l)20,所以(A：-l)2+22.所以/(x)在To)上的值域为2,+oo).例5设/(x)是一次函数，且/f(x)=4x+3,求/(x)的解析式.【解析】设f(x)=0r+6(0),则ff(x)=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3i所以a2=4ah+h=3所以函数/(x)的
8、解析式为/(x)=2x+l或/(x)=-2x-3.例6.(1)已知/()是一次函数，且/V(x)=4x-1,求力；(2)已知/是二次函数，且满足f(O)=lJ(X+l)-f(x)=2x,求/*).【解析】(1)设f(析=+b(O),则f(fM)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b因为f(%)=4x-l,所以办+力=4K-I所以2=4ab+b=-a=-2b=所以/(x)=2x-g或/(x)=-2x+l(2)设f(x)=ax1+hx+c(a0)由F(O)=I,得C=I由f(x+1)-f(X)=2x得(x+l)2+b(x+)+-ax2-bx-=2x整理，得20x+%=2x(2a=2
9、a=所以/n所以1.a+Z2=Ob=-例7.若二次函数3满足f(O)=l,f(x+l)-f(x)=2xf求/3.【解析】因为二次函数f(x)满足/(0)=1；所以设/(x)=2+加+1,则：f(x+)=a(x+)2+b(x+)+l=ax2+bx+l+2ax+a+b；因为F(x+D-/(X)=2x,所以0r2Zzr+1+2ax+a+b-ax2-bx-=2x侬=22ax+a+b=2x,.*.,八：.*.a=1,Z=-l；+b=0.f(x)=x2-X+.故答案为：x2-x+l.例8.(1)已知/(x)是一次函数，且满足/(x+l)2f(x1)=2r+3,求/(x)的解析式.(2)若二次函数g(X)满
10、足g(I)=1,g(-1)=5,且图象过原点，求g(X)的解析式.【解析】(I)设/(x)=kx+b(k0)f则/(x+l)2f(.-1)=k-k+b-2k-2k-2b=-kx+3kb,即一匕+3左一力=2x+3不论X为何值都成立，fk=2伙=2,k.,a解得oV(X)=-2-9.3-b=3,b=-9,(2)设g(X)=Or2+bx+c(00),Yg(1)=1,g(-a+h+c=,=3,：。-6+。=5,解得b=-2,c=0,c=0,，g(X)=3/-2x.题型二：已知/(g(x)求解析式例9.(多选题)若函数2x)=!(XW0),则()A呜)=15B./(2)=-C./Wzl2l(x)D./
11、f-(XT)xj【答案】AD1-,1-e【解析】令1-2=/工1),则X=,所以/2(-1)=5,口图象过原点,34r2t-1(x011)1)14Hl=-1,则/*Y-i)-故C错误;f-1=fl-1/(j)=15,故A正确；/(2)=3,故B错误;(X-I)2(XWo且XW1),故D正确.故选：AD.例10.已知/（FIT+1,则/（力的值域为.【答案】（1,共）【解析】令四，则1.i+/,所以J.=”,XXX所以)=(ff+,故/(X)的解析式为/(x)=(xT)2+l(xxl),其值域为(1,)故答案为：(l,+).例I1.已知/(x-)=f+*,求/(X)的解析式.【解析】(X-BJ=
12、X2+9-2,因为/卜-J=X2+摄=一B+2所以F(X)=X2+2,故答案为：X2+2.例12.已知f(77+l)=x+2,则/*)的解析式为()A.f(x)=x2-B./(x)=2-1(x1)C./(x)=x2-l(xl)D./(x)=x2-l(x0)【答案】C【解析】因为/(7+1)=x+2=(6+1J-1令=7+l(fl),所以/(z)=(f)所以力=3T(X1)故选：C.例13.已知函数f（x+2）=Y+6+8,则函数“力的解析式为（）A. /(x)=x2+2xB. f(x)=x2+6x8C./(x)=x2+4xD./(x)=x2+8x+6【答案】A【解析】方法一(配凑法)(x+2)
13、=2+6+8=(x+2)2+2(x+2),.*./(x)=X2+2x.方法二(换元法)令2=X+2,则X=2,/(r)=(r-2)26(r-2)+8=r2r,：.f(x)=X2+2x.故选：A例14.若函数/1+|=/+，且/(间=4,则实数机的值为()A.6B.瓜或-瓜C.-6D.3【答案】B【解析】令x+1=(92或f-2),2+-1.=fx+lY-2=r2-2,.()=f2-2,/(zn)=w2-2=4,XXX)：.m=y.故选；B例15.(x)=2x+3,(x+2)=(x-l),则g()=()A.21x1B.2x-3C.2x1D2x+3【答案】B【解析】因为x)=2x+3,所以XT=2
14、(l)+3=2x+l又因为g(x+2)=(x-l),所以g(x+2)=2x+l,令x+2=f,则X=，一2,g(r)=22)+l=2T所以g(x)=27故选：B.题型三：求抽象函数的解析式例16.已知/(。)=1,对于任意实数工，上等式/-y)=()r(2r+),求/()的解析式.【解析】对于任意实数m”等式f(-y)=3-y(2-y+l)恒成立，不妨令X=O,则有/(-y)=(0)-y(-y+l)=l+y(y-l)=y2-yl再令-y=x,得函数解析式为：f()=2+l.例17.定义在实数集上的函数/(x)的图象是一条连绵不断的曲线，xR,/(x)3+x6=(x)2+x7(x),且力的最大值为1,最小值为0.求”1)与f(T)的值；(2)求/(x)的解析式.【解析】令X=1
