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1、7.2.1复数加减法及其几何意义(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第七章)深圳市第二高级中学闰瑞习一、教学目标1.掌握复数加、减法的运算法则及其运算律.2 .掌握复数加、减法运算的几何意义.3 .发展学生逻辑推理、数学运算、数学建模数学学科素养二、教学重难点1.复数加、减法的运算法则及其运算律2.复数加、减法运算的几何意义三、教学过程1 .复数的加法运算1.l情境导入，引发思考问题1：你是否学习过某些复数的加减运算？能否用复数形式表达?若能，从复数的概念角度如何解释？【预设答案】实数2与3的和有2+3=5,写成复数形式为Zl=2+0i,z2=3+Oi,显然，此时式子Z+z2=(2+3)+(
2、0+0)i=5.或者类似的回答.【设计意图】从已知到未知符合学生的认知规律.数域的扩充需满足不改变原数域的结构和基本性质，包括运算性质，可通过观察比较熟悉的实数运算所对应的复数代数形式的运算，以观察其结构.问题2：复数还有其它特殊情形吗？是什么？对这类复数的加法，你有什么想法？举例说明【预设答案】纯虚数2i与3i的和是多少呢？即ZFO+2i,z2=0+3i,猜想z1+z2=(0+0)+(2+3)i=0+5i=5i.1.2 归纳整理，学习规则教师教授：我们规定，复数的加法法则如下：设Z=+i,Z2=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数，那么它们的和(a+/?i)+(c+$)=(+c)+S+
3、d)i点评：(1)复数的加法运算法则是一种规定.当b=O,d=O时与实数加法法则保持一致.(2)两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.【活动预设】通过老师的讲授感知复数加法的法则及其定义的合理性.【设计意图】在这里，运算法则是一种定义，教师的完整详细的介绍有助于丰富学生对规则的认识.1.3 推演复数加法运算律问题3：复数的加法满足交换律，结合律吗？【活动预设】教师引导学生尝试写出复数所满足的交换律与结合律，即：对任意的4,Z2,Z3C,zl+z2=Z2+zl,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)要求学生对其进行证明，并对证明给出合理的评价.【设计意图】规
4、则的建立需要一个认同的过程，只有经过严密的推理记忆才能更加长久.1.4 类比推理，学习减法法则问题4：类比复数的加法法则,你认为复数有减法吗?复数的减法法则如何呢？【活动预设】学生可根据实数中加法是减法的逆运算，尝试给出复数减法的运算法则.教师讲授：我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+M)+(x+yi)=+bi的复数x+yi(x,yR)叫做复数+bi(0,bR)减去复数c+ch(c+dR)的差，记作(+6i)-(c+di).根据复数相等的定义可知(+历)-(c+%)=(-u)+S-d)i点评：根据复数相等的定义，我们可以得出复数的减法法则，且知两个复数的差是唯一确定的复数。小结：
5、两个复数复数的加、减法，类似与两个多项式的加、减.【设计意图】通过类比实数的减法运算，推演复数减法的运算法则，通过与多项式类比，加强对复数加、减法运算法则的理解与记忆，发展学生的逻辑推理等数学素养。1.5 典型例题运用法则请同学根据刚给出的复数加、减法的运算和运算律完成例1.例1、计算(2-3i)+(-8-3i)-(3-4i)【活动预设】根据复数加、减法的运算法则，可得原式二(283)+(-33+4)i=92i.【设计意图】运用法则解决简单的复数的加、减运算问题，可以检验学生对法则的掌握程度，培养学生从特殊到一般的推理能力，发展逻辑推理教学素养.2,复数加、减法的几何意义2.1 复数加法的几何
6、意义问题5：复数加法运算有什么几何意义呢？【活动预设】我们知道复数中的点与以原点为起点的向量一一对应，你能几何向量的加法讨论复数加法的几何意义吗？设OZlQZ；分别与复数+Ai,c+%对应，则OZl=(力)，0Z2=(c,J),由向量加法的平行四边形法则，得0Z+0Z?=(+c+d).这说明(+%)与复数(+c)+S+d)i对应，即复数的加法可以按照对应向量的加法进行，这就是复数加法的几何意义【设计意图】从数与形两个角度理解复数的加法.多角度认知一个事物会让认知更加立体、丰富.此设计为学生处理复数加法提供了更多的方法与手段，发展了学生的直观想象数学素养.2.2 复数减法的几何意义问题6：你能类
7、比复数加法运算的几何意义，得到复数减法的几何意义吗？【活动预设】设QZlQZ2分别与复数+Ai,c+5对应，则。Z=(,8),OZ2=(c,J),OZ2-OZ1=(a-c,b-d).这说明(OZ2-OZJ与复数(a-c)+(b-d)i对应，即复数的加法可以按照对应向量的减法法进行，这就是复数减法的几何意义.【设计意图】通过类比复数加法的几何意义，得到复数减法的几何意义，体会类比在获取新知中的应用，发展学生的逻辑推理素养.2.3 复数加、减法的几何意义的应用【活动预设】例2.根据复数及其运算的几何意义求复平面内的两点Z(,y),Z2(x21y2)之间的距离解：因为复平面内的点Z(,yJ,Z2(,
8、%)对应的复数分别为Zl=Xl+yi,z2=x2+y2,所以点4，N2之间的距离为Z1Z2=Z1Z2=z2-z1=(x2+y2i)-(x1y1i)=KW-X)+(y+必)i=J(X2-9+(%+%)2【设计意图】(1)利用复数减法的几何意义解决问题，加深理解；(2)从这个例题中推导复平面内两点的距离公式.【活动预设】例3.利用复数减法的几何意义，思考在复平面内所有满足z-l=l的Z组成的图形是什么？解：Z满足z-l=l,则复平面中与Z对应的点到点A(1.O)的距离为1.所有这样的Z组成的图形为以A为圆心，1为半径的圆.【设计意图】在解题中加深对复数加减运算的理解，形成解题的基本思路：复数与点、向量之间一一对应，利用其几何意义思考问题的解，再反馈给原问题。3.归纳小结，沉淀成长思考：本节课我们学习了复数的加、减法及其几何意义，它们分别是什么呢？【设计意图】梳理本节课对于复数加、减法运算及其几何意义的认知.四、课外作业1 .教材第77页练习题1-4.2 .根据今日所学，命制一道能利用复数加、减法运算及其几何意义的题目，并给出答案.
