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1、运筹学Il练习题1试判定下述非线性规划是否为凸规划：firt/(X)=x12+8x12-x2O-x_%2+2=0x1,x2OMin/(X)=2x12+x22+x32-x1X2x12+x2245+=10X1,x2,x30max/(X)=x1+x2s,t.Mzh(X)=xi2x22+84。)=内2_/02(X)=-xi-x22+2=0X1,x20/(X),g(X),g2(X)的海赛矩阵的行列式:IhI=x2x打仆)x12，8(x)x2xlO(X)xix2ae%(x)xx1%(x)%200gz(X)IIix：1.I(X)x2xlMX)x.xOO72=og2(X)O-2x22知/()为严格凸函数，g(
2、x),为凸函数，g2(x)为凹函数，所以不是一个凸规划问题。Min/(X)=2xl2+x22+X32-xlX2g；(X)=X2+疗41(X)=-(x12+x22)+40g2(X)=5x12+x3=10x1,2,x30同上有/(x),&(x)&(x)的海赛矩阵的行列式4网=-10-1200Igb-2-2010,是凹函数，g2=是凸函数，不是凸规划问题。(3)min(-f(X)=-x-x2g(X)=IT202(X)=x10g3(X)=x20HT(X)=WpX)二0,Hy(X)=Hr(X)=t2”20说明/(X)是凸函数，gI(X)、g2(X)、g3(X)是凹函数。因此，本模型是一个凸规划。2试用斐
3、波那契法求函数/(x)=x2-3x+2在区间。10上的极小点，要求缩短后的区间长度不大于原区间长度的8沆(1.5)产lb=12.5,=6;0=0,b0=10;F5t=b()(。040)=3.846;F6r=-(Z?0-0)=6.154;F6/(11)=5.254;/()=21.409;/(rl)fS”H=O;bl=6.1542=3.846;F4t2=b-(bi-a)=2.308;f(t2)=0.403;/(r2)/(z2,)=5.254;/a2=0/2=3.846/3=2.308;t3=h2-S2-a2)=1.538;F4f(t3)=-0.248/(r4,)=-0.248;-,a4=0.769
4、;M=2.30815=1.538;/5=+(M-/4)=1.538F23用分数法求/二/一f+2在区间-1,3上的近似极小点，要求缩短后的区向长度不大于原区间长的8%。(0.538)4试用最速下降法求函数/(X)=-(-2)2-2石的极大点，先以X()=(o,o)/为初始点进行计算，求出极大点；再以X=(0,1)7为初始点进行两次迭代。最后比较从上述两个不同初始点出发的寻优过程。(2,0)解求X)=-&-2)2-2石的极大点，即求g(X)=-2)2+2君的极小点。(1)取初始点X=(0,0)，取精度=0.1Vg(X)=2(xl-2)94x29Vg(0)=(4,0)TRg(X叫=(J(4+()j
5、=16/J26H(XHoj)Vg(x)/(0)Vg(0)(40一/20Y-4(4(j(,_162322XJ,Fg(X叫啕-犷用V(x)=2(2-2),47=(0,0)r即X即为极小点。/.1为/(X)的极大点。(2)取初始点()=(0,l)7取精度=0.1,同上方法进行两次迭代有：两次步长4斗4.两次迭代结果比较：对于目标函数的等值线为椭圆的问题来说，椭圆的圆心即为最小值，负梯度方向指向圆心，但初值点与圆心在同一水平直线上时，收敛很快，即尽量使搜索路径呈现较少的直角锯齿状。3IT+-205求/(X)=+万尺玉工22%的极小点，取Xo=24o(1,1)X2V,(X)=3xi-x2-2x2-x,t
6、Vf(X0)=-126=-Vf(X0)=12-6A)=-12-6一不可(Xo)1.-1263-1X1=X0+=-24+Ai2V(X1)=,1217121717126-6,=17121726173817.17.-126二W(X)TYX)_为一守(XJ守(乙)一126P1=-Vf(Xi)+0P0=-61277+12-6=28990210289289由于可(妈)=0o,故羽二口1即极小点，计算经两步终止。6试用牛顿法求解(0,0)Maxf(X)=取初始点X=(4,0),解求MarX)=的极大点，即求g(X)=H+2的极小点。1/2O01/2X=1/20所以极大点为20g(X)=2玉2x2Vg(X)=
7、8(Hm=V(X,)=00x=(o,o)/(x*)=gf(X)=-XAX的极小点，此处“x)=JXzX=(x12+2xix2+E)=xl+x2,x1+2x27现从()=(l,l)7开始可(X)=(2,3)，M)=T/(X(。)=(-2,_3),V/(X(0)yPA)=(P(O)AP。唱1334于是v()A.-lT=R,-43342k34343434J(3434JP,二Jf(XYT(X)_4341.W-.0守甲W(X)(2,3)f21342M)=-守(X)+Z)v(x)rP(PJAP(1-AY.li更丫34,34jl342,342Jrp1K11I342,342Jkl2)342,342J-3104
8、-265二34，二34-39(-104)+266513344故104X=X+4尸=P_,_2+但姿=P)(3434J1365(0_34r_故得到极小值点X(2)=(0,0)78考虑下面的非线性规划：maxf(X)=ln(xl+l)+x22x1+x23s.一x1,x20验证它为凸规划，并用K-T条件求解。(0.3)解原问题可写为min/(X)=-ln(xl+l)-x2s.t.gl(X)=3-2x1-220g2(X)=x103(X)=x2O计算目标和约束函数的海赛阵7o0oHf(X)=(x1D220,%(X)=(X)=(X)=oo0ooj1.故此问题是凸规划。W(X)=热T(X)=-2-,v2(X
9、)=o,V3(X)=oK-T条件表达式为1C-=-21+2 i1 =-13 l(3-2x1-x2)=0r2=/,2W32若%=0,则无解，于是差工0,有3-2%一马二0令玉=o,%=o,则有l-21+2=0 1%=03-x2=0解得内=0,X2=3,%=力=1.%=O，显然03是可行点，从而是极小点。9试写出下述非线性规则的Kuhn-Tucker条件并进行求解：Mr(x)=(x-3)21 x5清华版，7章例110求解二次规划minf(X)=(2xjz+2xj)-8x1-1Ox263x.2x,20x10,x220见天大版例3-1611试解二次规划Min/(X)=2x12-4xix2+-6x1-3
10、x2xl+x234x1+x29x1,x20解将上述二次规划改写为Min/(X)=g(4%：一8x1x2+-6xl-3x23NX?No9-4x1-x20x1,x2O可知目标函数为严格凸函数，此外ci=-6,C2=-3,4=4,c22=2c2=c2i=_4,b=3,au=-1,a2=-1b2=9,a2=-4,=-1由于q和C2小于零，故引入的人工变量Zl和Z2前面取负号，这样得到线性规划问题如下ming(z)=z1+z2-%一4以+必一4王+4%一4=-6一%-+y2+4x1-4x2-z2=-3一王一%-%3+3=0-4xl-x2-x4+9=Ox1,x2,x3,x4,ypy2,y3,y4,z1,z
11、20解此线性规划问题得,202120,x；=0,E=320z；=O,z；=0,.21=O/(XA唱2-442-6-321_4412020202012试用SUMT外点法求解(1,2)MaX/(X)=X1(x2-2)(xi-1)30(x1-1)3-(x2-2)0xi,x2O解原问题转化为min/(X)=-x1-(x2-2)-(x,-1)30-(xi-1)3+(x2-2)0xiOx2O构造惩罚函数P(x,M)=-x1+Mmin+minmin(0,-(x1-1)3+(x2-2)j+min(0,x1)+min(0,x2)1=-l+2Mmixl+2Mmin仪,(x1-1)3-(x2-2)j(3(x1-I)
12、2)+2Mmin(O,x1)P=2Mminx2-(0,(x2-2)+(xi-1)j+2f(min0,-(x1-1)3+(x2-2)jj+2Mmin(0,x2)解得最优解为X*=(1,2)713一工人管2台机器，每台机器发生故障前的运转时间为具有均值为1/2小时的负指数分布，修理时间也属负指数分布，均值为1/3小时。(1)画出转速图。(2)列出平衡方程式求出状态概率P。，P1,P2。(3) 求故障机器数的均值1.o(4) 一台机器每次停机时间均值W5o3P二2台/小时,=3台/小时4248Pl=-Po,P2=一-Po=Po333948Po+Pl+P2=PoTPoPo=1p。=39C12Pl=298P2=22%（台）=09666029=28（分钟）26（
