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1、立体几何中的折叠与最值问题-：折&申的垂直与距S?问题【例1】如图.AC和MBC都是直角三角形,B=BC,ACAD30把三角形八8C沿AC边折起,使AASC所在的平面与aACO所在的平面垂直.若A8=#求证：平面八8。_1.平面Ba）；2求C点到平面A8。的距离【拓1】设Af、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEJ.八8于E（如图）.现将八。沿DE折起,使二面角-DE-B）45此时点在平面8。E内的射影恰为点B,求W、N的连线与八E所成角的值.【拓2】如图,在4A8C中.AD1BC.0=24,过作FG/BC.且将AAfG沿FG折起,使ZA,ED=CMo,求证：41平面A,BCa拓3如图.在平行
2、四边形八8C。中.八8=AC=I,ZCD9（,将它沿对角线AC折起，使八8与CO成6（尸角,求8,。之间的距离。二:折叠中的角度问即【例2：在长方形AA38中，=2M,=4.C.G分别是A8,八四的中点(如图1).将此长方形沿CC对折,使二面角A-CG-8为直二面角，。.分别是A4,CG的中点(如图2).*求证：G。平面ABE；(2：求直线8G与平面八声所成角的正弦值高为&的等禊梯形.将它沿对称OO.C【拓1】如图.巳知A8C/)是上.下底边长分别为2和6.轴Q折成直二面角证明：CBO1；(2)求二面角O-AC-Q的正弦值【拓2】在正ZUSC中,E、F、户分别是AB、AG8C边上的点.涧足A:
3、E8=CF:8=CT:P8=I:2.将AAEF沿EF折起到尸的位置,使二面角A-EF-H成直二面角，连结八昆A1P.(1)求证：A，平面8P；(2)求直线AE与平面AB尸所成向的大小；(3)求二面角B-AP-F的余弦值大小,三:立体几何中的体积最值问题【例3】设四梭锥-A8C/）中,底面A8C/）是边长为1的正方形,且PAI面A8C?）求证PCkBD；A过8。且垂直于直线PC的平面交PC于点,如果三核锥-8Cf）的体积取到最大值.求此时四极锥户-ABC。的高【括及】如图已知在aABC中./C=90lPAl平面ABC.AKlPH交P8于E,AF1.PC于尸，已知AP=A8=2.ZAEF=,当J变
4、化时，求三棱锥尸-川沪体积的最大值四：立体几何中的角度最值问题洌4:如图.已知四棱锥P-八及”底面ASCD为菱形.平面八8C，ZAfiC=60.，分别是8。，尸（7的中点.证明AElPD；卜门若为尸。上的动点.E”与平面小。所成品大角的正切值为/当.求二面角E-AF-C的余弦值/【拓】已知正三棱柱ABC-A的底面边长为1,高为3),点M在侧棱88,上移动,到底面八次?的距羯为X,且A”与仰面8CC圈所成的角为a；(1)若在区间上变化.求X的变化范围，若为丁.求AM与BC所成角的余弦伯.6【练习1】已知如图1.正三角形C的边长为24,CD是AS边上的高，、F分别是AC和HC边上的点,且满足含=篇,现将AABC沿CD翻折成直二面角4-/X-H.如图2.(1)试判断翻折后直线A8与平面。尸的位置关系,并说明理由：(2)求二面角8-AC-。的平面角的正切值.(练习2】如图所示，等腰八8C的底边八8=6二高CC=3.点F是线段小)上异于点B,。的动点,点尸在8C边上，S.EFl.AB,现沿EF将EF折起到/)下的位置,使P!八E.记BE=.jMX)表示四棱钳0-八CEF的体积，求V(X)的表达式；(2)当x=6时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值C
