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1、画落定理模型探究1.弦切角定理(I)弦切角：顶点在圆上,一边和即相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角.(2)弦切角定理：弦切加的度数等于它所央的如的留心角的度数的一半.如图所示，直线户/切IHoF点CIiC.AC为阴。的弦，则有NpCt=P8C(NPC八为弦切角.2、相交弦定理【结论1】如图,OO中，弦AB、CD相交于点P,半径为r,则APBP=CPDP,APBP=CPDP=H-OP23、切割检定理【结论2】如图，PBC是。O的一条割线，PA是OO的一条切线，切点为A,半径为r,RiJCDPA2=PBPC,PA?=PBPC=P02-r24、割线定理.【结论3】如图，PAB、PCD是。0的两条割线
2、，半径为一则PAPB=PCPDPAPB=PCPD=OP-r2团口诀；从两线交点处引出的共线线段的乘积相等例题精讲才点一:相交弦定理【例1.已知：如图弦AH经过0。的半径Oc的中点R旦AP=2.PB=3,则是0。的半径等于)A.2B.6C,22D.26解：延长C。交。于/).设。的半径是R.:弦AB经过。的半径OC的中点P.:.cp4-rop.,d-4-r+.22由相交弦定理得：APHP=CPUP.则2X3=%XWRM22解汨：R=22故选：C.A变式训练【变式1-1.如图.0。的弦A/?、Co相交于点E,若C：RE=2:3,WlAF：DE=2:3解：的弦八8、CV)相交于点.AEBE=CEDE
3、.,.AE:DE=CE:8=2：3.故答案为：2；3.【变式1-2.如图.在。的内接四边形A8CQ中,AClfiD.CA=CH.过点八作AC的垂纹交CO的延长线于点E,连结BE.若c。SNAC8=百,则典的值为义乳.5CE一5一解：设ACBD交.1，点F,过点8作8G1.EA.交EA的延长线干点G如图.VACD.cs八CS=年，,sZCB-=.BC5设=3.MiCB=Sk.y=c2.cp2=4.：CA-CO.,.AC=5Jt.,.F=C-CF=2k.JCFAF=DFBF,3，。尸=W忆2e：AC1.BD,AEUeDFAE.DFCF三?-AECA,CEAC2+AE2AC1.BD.AElAC.BG
4、1.EA,.pq边形AFAG为矩形.：.BG=AF-2k.AG-BF-Ak.MG=AE+八G=I,2t-BGG2=华.故答案为：隼.55才点二：弦切角定理【例2】.如图.割线小H过网心00。切。于/),C是丽上一点，P)A=20,则/C的度数是UO解：连接W)则/8/).4=90.VPD切Oo于点D,J.ZABD=PDA=20a.CA8=90-ZABD=90,-20*=70：XV四边形IXR是圆内接四边形.,.ZC=18()c-ZWAtf=1XO,-70IlOA变式训练【变式2-1.如图.已知NP=45角的一边与00相切于A点,另一边交00干从C两点.Oo的半耨：连接0B.作“O1.AC于/)
5、.CE1.APF.D.5,:OA-OH.：.Z0DZ0C.Dl)C2.：dVoa2-AD222.：PA切。FA,:CAE=ZB.。崎NAOcZCAE-ZAOD.；NAEC=NADO=90,.CEOD.CEAE=ACADODOA.210l,-410CtAc3VVZP=4So,PCS是等直角:角形，：.PE=CE=VPAAFyPE.耨:连接8。，如图.：DEDA.CAE=/吊ZP=ZP.MCPR4.AC:AH-PCiPA.22:AB=唔噜,33二48二6.故选：B.【变式2-2.如图，8/,是。的切次茏CC与过切点的口径A8交于点E,CC的延长观和切规交于点P,.8C=2,则线段CP的长为_生善_
6、.3ZA=ZDEA.：NDE=4BEGNDCB=NA.：.N8EC=NDCB.JJiE=RC=I.：ZDER=W-ZBEC.ZBCP=I8O,-ZBCE.ZDEH-ZHCP.H0足。的切线./.NBDE=NPBeS:BS&BCP.DEBC二BECP许工工2CP：.CP嘻J:3才点三：切割微定理【例3】.如图，Il线由过半圆的圆心。交半圆于A,8两点，PC切半照与点C,己知PC=3,PB=1.则该半圆的半径为解；PC切半10与点C1.PC2=DkPB,即例=9.则AB=9-I=8.则网的半径是4.故答案为4.A变式训练【变式3-1.如图，RtAA8C中，NC=90,。为AB上一点，以。为国心，O
7、A为步径作阴。与8C相切于点0,分别交AC、ABFE.F,若CO=2CE=4,则Oo的Il径为()解：连接0。，过。作AC的疝线，设乖足为G,D.12VZC=90v，二四边形X?G是矩形.是切线，CEA足割线.CVJ2=CfCA.VCD=2CE=4.,.AC=8.AE=6.GC=3.OD=CG=S,：.QO的百.径为10.故选:A.【变式3-2.如图.在四边形ABCQ中,以A8为直径的半网O经过点C./).AC与8。相交千点E.CD2=CE-CA.分别延长人从OC相交于点RPH=B().CO=22则8。的长足4.VCD2=CfCi.CDCACEDCCDCDE.ACAD=NCDE.：/.CAD-
8、ZCHD.：.NCf）B=ZCBD.C=DC:设。的半径为r.：CD=CB.*.CD=CB./BOC=NBAD,：.OC/AD.PC-9CD0Ar2.,C=2CD=42YNPCB=ZD.NCPB=ZAPD.：.APCBs&MD,.PCPB11,142PAPD3r62.r=4（负根己经舍弃）.：.OB=4.故答案为4.【变式3-3.如图.KRtAC.ZC=90.8E平分NA8C交AC于点,点。在A8上,UElEB.1求证：AC是ABDE的外接网的切线：若仙=2戈，AE=62,求8。的长.(1证明：连接。,VBE平分NABC交AC于点E,.Zl-ZEBC.VZI=Z2.：.N2=BE,J-ZAEO
9、=ZC=Wt,.AC是。的切线.：0。是CW)E的外接I乱AC是ABDE的外接收的切线S2解；Y八足即。的切线,八8是削的制线.根捌切割线定理：AEI二八XA8.AD=26,AE=62.226(26+wn话得：-46.：.BD的氐迂:46.才点四：制我定理【例4.如图，过点P作。的两条割战分别交。于点A、8和点C,D,己知网=3,A8=C=2,则耨：；用=3.=PC-2.：.PB=5.PA-PH=PCPD.PD-7.5.故选：n.A变式训域如果AP=4,【变式4-1.如图，P是01。外的一点，点B,。在Ifll上，PB、P。分别交&IOF点4、解：如图.：AP=4.Ali-2.PCCl).PB
10、=P+AB6.PC=WPD.2又pIPB=PCPD.46-Z2.2则PD=43故答案是，J5.【变式4-2.已知H角梯形ABe的四条边长分别为A8=2,C=CD=IO.AD=6,过与BA的延长规交于点E,与CB的延长线交于点尸.则BE-RF的值为一一.D两点作圆,设BE.)G的中点分别为点M.M则易知AM=/JM.8C=6=I(),由例线定理得，CH*CF=CDCG.YCB=CD.BF=tX.：.BE-HI-IiE-DG=I:S,WM=n1:b2=4:9.3 .如图，在八8C中，B=AC.ZC=72.QO过B两点且与BC切于B.与AC交于D.连接BD,若C-51则AC=2.解：-AB=AC.Z
11、C=72p.AC是0。的切线.CBD=NBAC=360,ZABD=36.：ZBDC=NBeD=I2。：.AD=BD=BC,又.AC是切线.BC2=CDC.BC2=C1i2C=v),则可汨到：J2=J(5-1)2解得；=2.n=5-3(JWVo不合题慰，舍去.AAC=2.4 .如图.O”的直径八8=8.符如伙,沿弦8C折登后与NA8C的角平分线相切,则入18。的面积为解：设孤8C沿花8C折黄后的阿孤的叩心为O,连接O8,如图,Y将如K沿弦8C折我后jA?C的角平分线楣切，：.OBltil).0BD=90；设/八80=,则NBCD=NABD=a,.ABC=2a.由折登的性植得：ZC=ZO,BC=2a.二NOBD=/OBC+NDBC=3a=90,.=30.：八8为。的比径.,.ZACB=W,BC=coaZABC=8cos60,=4,4C=4sinC=8-3ABC的Ihl枳ACBC=-443=83.故答案为：3.D5 .如图.。是aA8C的外接网.NZMC=45.AD1.BC于点D.延长A。交。于点若8。=4.CD=I,则CE的长是_送养解：illOB,OC,OA,过。点作Of1.frt-TF,作OG_1.AE于G,.)0是&48C的外接19,ZAC=45.二/88=90”.VD=4.CD=I.C=4+l=5.二。“。C=嘤.
