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1、专题05一元函数的导致及其应用(知识榄理)一、基本概念1、导数定义：函数y=f(r)在K=内处的瞬时变化率Iim半=Iim竺)二依)我们称它为函数y=f(x)moAx*or在X”处的导数.记作小)或门即八钎配好蚂Z纥铲地附注：导数即为函数y=M在X=%处的瞬时变化率：定义的变化形式:/=M包=随四匹3旦：rOAI5O/(X)=Iim生=IimZ)：f,()=Iim；tox,1与x-三o-v=.t-xn,当Atfo时，x1.fix=Iimcn-zc-*X-X1)求南救y=()在x=%处的导数步骤：“一差：二比：三极限2、基本初等函数的八个必记导致公式原函数守函数原函数导函数/(x)=C(C为常数
2、)JC(K)=Of(x)=x(neR),(x)=11Z-/(x)=sinX/(K)=OOSX/(M)=COSX八X)=-SinX/()=*(OJ1.f1.1.),(x)=xIna/()=1.og,1Ar(0且。WI)D=：1.og”/Ct)=f)e1.f(X)=InXf()=X3、导致四则运算法则(1.)(.v)S(X)/=.fx)g,(.r):(2(x)g(A)f=,(.t)(.v)+(.r)():(3)三r=毕二迎父(0.g(x)g(x)f特别提示：CJ(X)I=C/(X),叩常数与函数的枳的导致.等于常数乘函数的导致.4、复合函数的导数(1)发令函数定义：一般地对于两个函数=/(刈和“=
3、g(x).如果通过变笔“，),可以表示成X的函数，就称这个函数为y=(x)和“=g(x)的复合函数,记作y=/g(x)(2)更合函数求导法则：发台闲数y=K切的导数和函数y=x)、“=g(x)的导数的关系为兄=MM,即,对X的导致等于)，对的导数与“对X的导数的乘积.例1-1.求函数y=3在x=1.处的号数.分析：;Rf=v=(1.+A)-(1.)=6v+(Ar,再求包=6+Ar,再求IimV=6.Ar瓜MAr【解析】y,r.1.=Iim-力-=Iim-=Iim3(x+1)=6.IX-JIX-IXT例12求导,f(x)=c：/(x)=x:“)=./(x)=1./(x)=J.Xr1.1.-1zi
4、xv/(x+a)-(x)c-c.C,、1.y1.八八【解析】一=2=0,f(x)=Iim=Iim0=0：ArAVAK小田Ay,a-v.v+x-xI”,.r1.11s-=1，f(X)=Inn=Inn1=1：ZAKZfoAVt)=(X+)=Zt+Arf,(x)=Iim=Iim(1.r+zV)=2x：ATxvoAtr-M)IJ生=一+馍_=-!,ff()=)in-=Iim(；)=一一：ZAt*+-XZTI)ZUavoxx丁1.+-7xI.,.y1.1I-,=尸j(x)IimIim-=1.xx+Ar+x.nx2*x+x2x变式11.若物体的运动方程是Nr)=sinr,则物体在r=2时的瞬内速度为().
5、A、cos2+2sin2B.2sin2-cos2C、sin2+2cos2D、2cos-sii)2【答案】CftHf1.V(f)=f,sinr+r(sinO,=sin+cos,y(2)=sin2+2cos.故选C变式1-2.如果函数刈=/+,+5,W1./(1)=().XA、0B.1Cx5D,不存在【答案】B【解析】(x)=2x-p-.AD=I,故选B.例13.函数)=史的导数是.X答案M型、吧小rah-.rCOSX.(cos.r),x-COsx.v,-xsinx-cos.t【解物】F=()=；=；X尸x变式13.函数fix)=-r-!一的导数是.r+2.t+1._32-，答案J：一,(+2x+
6、1.)2tI(XJ+2.v+i),-3.r-2【解析】5谟HW诲K变式设则).-2xsin-(1-2)s.rsin2xB、-2,rsin.r+(1.-2)xsin2xC、-2xsin.v+(1.-x)D、-2XSinK-(I-TSinX【答案】A【解析】,(.v)=(1-),sin-(1.-A)(sin)-2xsinx-(1.-.r*)cos.vsin2.r.故选A.变式1-5.函数/(x)=(2x+1.)/的导函数为/(X),则/(0)=().A、0B、1C.2D、3【答案】D【解析】fx=2r,+(2x+1)=(2x+3)在x=0处的导致为【答案】a-b【解析】Vy=x3-(a+b)x+a
7、hiy=2x-(a+b),ytr=20),且门=5,则实数4的值为().C、2【答案】B【解析】/=(1-Or)2+XHI-Oo2y=(i-0x)2+x.(i-2ax+a2x2),(1.-0r)2+x(-2a+2aix)./Ir32=5,即3-2-1.=O,V0.=1.故选B.变式1-7.求号：(1=1.an.r:(2)y=(.t+1.)(x+2)-(.r+3).ruzz.,.,sin.t,(sinx),cos.v-sin.v(s.v)foosA+sin.r(解析】y=(tan.r)=()=i；i-;sXsXctwCKs*.v(2)Vy=(x+1.)-(.t-*-2)(x-*-3)=x5-*-
8、6.r+i1.v+6.：y=3x21.2x+H.能力提升:已知函数/仕）=i(x2+iXx1.)-,判断/(x)在x=1.处是否可导？Ct+1.)(1.)分析：分段函数在“分界点”处的分数，须根据定义来判断是否可机i(1.+r)+1.-1.(i2+1.)1.(i+t+1.)-+1.)【解析】Iim-x-Iim-2-=1.Iim=Iim2-toAxto-x*Arz-*rAt/（K）在X=I处不可导.注意：ZtOJ指小逐渐减小趋近于0：AYTO一，指Ax逐渐增大趋近于0.点评；函数在某一点的导数，是一个极限伯，即Iim四上839，rO.包括加TO与Ar（,因IO,此,在判定分段函数在“分界点”处的
9、导数是否存在时.要物证其左.右极限是否存在且相等.如果挥存在且相等，才能判定这点存在导致,否则不存在导数.讲解：函数在定义域内的导致可能没育意义，但是函数有电义：例如人工）=五，则r（K）=.X=O在函数有意义，在导函数无意义.导数是切线的斜率.如果区函数某点的切线垂直与X轴，则导致无意义.但是原函数值是存在的.例1-5.函数/(x)=(2+vV的导致为.【答案】,()=6+12.【懈析】/(X)=.?+4/+4,则J(x)=6k+I2/.变式I-8.己知y=(1.+cos2x)2,K1./=.【答案】-4sin2M1.+cos2x)解析设)=ui.11=1+cos2.则y=y,=乂=2m(1
10、+oos2x),=2w(-sin2x)(2x)=2y=/(7.r2+1.).(1.+x)cosx【解析】（I）F=(I-.t)(1.+x)oOSx-(I-)(1.+Kr)COSKr(1.+.t2)2cos2一(1+./)cos-(I-N)K1+/)oos+(I+Kr)(CoSx)(1.+x2rcos2x一(I+./)COS一(I-x)2x8x-U+r)SinK1.(1.+x1)s2-r(.d2x-I)CoSA,+(1-KXI+xsin(1.+x2)2coe2x(2)y=ui,w=r-Asin*r.n=sinr,n=tax,yt=(m/=3mm.u=(tx-6sir(av)/=-sixcosce
11、u=-Zxosin2HY=,(-v22x=f,(yx2+1),；7I2=(Jx，+1)：解法二：y=/(77T)r=,(7T)(7ir=,(7i)1.(+3(x2r=,(x2+1)I(.r2+1112.r=Nj一,(+1.).二、导致的几何意义1、切跳的斜率：函数/(X)在/处的牛数就是曲畿/在点f(M)处的切线的斜率，因此他戏f(x)在点P处的切就的斜率Ji=/1.。)，相应的切线方程为)/(%)=,(x0)-(x-.1).例2-1.曲线y=-22+1在点(0,1)的切线斜率是().A、-4B、0C.2D、不存在【答案】B【解析】点在曲线上A=r(0)=-4x,11.=0.故选B.变式2-1
12、.曲线)，=呆在点岭处切线的倾斜角为(A、-4B.0C*-4D、史4【答案】C【解析】点在曲线上K=(D=x=1.,故选C例2-2.曲线y=x(31.n+1.)在点(IJ)处的切线方程为.【答案】4.v-y-3=0【解析】y=31.nx+4,故y,=4,又点(1.1)在曲跳)，上，曲发在点(1.1)处的切i方程为)，-1=t-1.),化为一般式方程为4-y-3=0.总结：求的线切线方程关键点：利用导数的几何意义求解曲线上某点处切线斜车或曲筏上某点坐标或过某点的切线方程,求解这类问遨的关城就是抓住切点P(b,f(),2点坐标适合曲线方程：。点坐标适合切线方程：P点处切线斜率为A=(G变式2-2.已知/U)为供函数.当x0时，/(X)=*-
