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1、奥本海姆课后答案2版下册7章答案基本题7.1已知实值信号x(t),当采样频率e=10Oo0时，X能用它的样本值唯一确定。问X(i)在什么值下保证为零？解：因为为实函数，故X(iQ是偶函数。由题意及采样定理知./(，)的最大角频率0y=5000rads,即当囱5000万rad/s时，X(i)=0.72连续时间信号x(t)从一个截止频率为。C=IOOO的理想低通滤波器的输出得到，如果对x(t)完成冲激串采样，那么下列采样周期中的哪一些可能保证x(t)在利用一个合适的低通滤波器后能从它的样本中得到恢复？(a) T=0.510s(b) 7=2x10”(c) T=IO4解：因为X是某个截止频率.二100
2、0开的理想低通滤波器的输出信号，所以(t)的最大频率就为m=000,由采样定理知，若对其进行冲激采样且欲由其采样点恢复出x(t),需采样频率mN23e=200(rads,即采样时间间隔r右桨s=105S从而有(a)和(c)两种采样时间间隔均能ZlKJUJr保证x(t)由其采样点恢复，而(b)不能。73在采样定理中，采样频率必须要超过的那个频率称为奈奎斯特率。试确定下列各信号的奈奎斯特率：(a) x(r)=1+cos(2000r)+sin(4000O(b)x(f)14000()nt(c)E)=(则黑叫解(a)x(t)的频谱函数为X(j)=2n3()+4000故奈奎斯特频率为=2X4000=800
3、0rad/s(b) x()的频谱函数为XG3)=Qr卜400OTr)(34000r)由此可见X(i)=0!4000故奈奎斯特频率为w=24000=8000rad/s(c) x(t)的频谱函数为X(j)=J-u(*4000)a(4000)J*Cw(4000)w(-4000)一；3|十400008000=Z0,其他由此可见，3ll8000Bf,X(i=O,故奈奎斯特频率为8=28000=16000rad/so74设x(t)是一个奈奎斯特率为3o的信号，试确定下列各信号的奈奎斯特率:(a)x()x(-l)(b)*(c) Ja)(d) x(r)cosnf解：(a)因为S+l(lI)的傅里叶变换为X(j
4、)(I卜CA)可见x()的最大频率也是(f)+Ze1)的最大频率，故的奈奎斯特频率为3。(b)因为誓的傅里叶变换为isXGs),可见X的最大频率也是喑的最大频率.故誓的奈奎斯特频率仍为(O因为，(八的傅里叶变换为可见，(Q的最大频率是X的2倍。从而知2的奈奎斯特频率为23。(nl的傅里叶变换为十j3)-3x(jw修)，X的最大频率为甘，故T(QCOSWnt的最大频率为堂，从而可推知其奈奎斯特频率为75设X是一个奈奎斯特率为o的信号，同时设我。=Xa)Pa-1),其中P(I)=YS(f-nT)fT,CUo且3,一1)一辛6(A.)cR=CF63-h3)*0OwE乂因丁(，)=工3，1),故Y(j
5、)-XCj)*条ZrcoJJTCAm=e*X(jjZzM*).W、Wo注意。是x(t)的奈奎斯特频率，这意味着x(t)的最大频率为年，当以p(t-l)对x(t)进行采样时，频谱无混叠0T发生。由Y(j)的表达式可见，Y(js)是X(j)平移且复指数函数加权之后的叠加，且此采样使N而冲的每个X(iQ的复制项X(讪1心,)均有不同的相移(一如，若想输入y(t),而输出为x(t),滤波器的截止频率c应选择在与至。与之间。因当A=伊九四=做滤波器的幅度频谱只需设置为常数T,相位频谱为0即可，即滤波器的频率响应为H(W)=二：M,式中,等VwVs等必=纸10,其他L7.1 在如图7-1所示系统中，有两个
6、时间函数Xi(I)和X2(I)相乘，其乘积(l)由一冲激串采样，x(t)带限于1,X2(t)带限于0)2，即X(j)=0.2X2(j)=0,22试求最大的采样间隔T,以使通过某一理想低通滤波器能从p中恢复出来。Ps=(t-nT)图7-1解：因Wd)=为a)1.(1)从而有卬(而)=/|(讪)*x,又因X(j8X(j)=0g2ojW(jcu)=O.Ijs+s即(t)的最大角频率为助+g,于是由采样定理知，对采样的最小角频率为2(5+,)从而可求得最大采样时间间隔T=Lj_、=-242/272信号X(I)用采样周期T经过一个零阶保持的处理产生一个信号x0(t),设XKt)是在x(t)的样本上经过一
7、阶保持处理的结果，即Xla)=Zx(wT)(/-nT)tB-X其中h(l)是如图7-2所示的函数。试给出一个滤波器的频率响应，当输入为Xo时，该滤波器产生的输出为x(t)o()三-OlT7图7-2解：x0(网=Xe(MXI(M=X(网)8si(%)Jlii.乂(M乩(网“32/2sin(%)等XOOTy)H0(J)段2sin(o2)t76有一实值且为奇函数的周期信号x(t),它的傅里叶级数表示为Sind)X(I)=令()代表用采样周期T=02的周期冲激串对x(t)进行采样的结果。(a)混叠会发生吗？(b)若另(C)ffl过一个截止频率为T和通带增益为T的理想低通滤波器，求输出信号g的傅里叶级数
8、表示。解：(a)由题意知，x(t)的傅里叶级数为X=N();in(br),故X的频谱函数为X(Jg)=冬(十)jL(十) 一 5( )X(is)如图7-3所示，可见X的最大角频率=5%。图7-3当采样时间间隔T=O.2时，采样角频率co*=1Oir=2we造成.r(，的频谱函数X必如图74所示X(血)在I3=5妹处由于出现混叠，相互抵消，火(is)=0.=5收=012一.由图7-4可知，当T=0.2时，采样会造成频谱出现混叠。图7-4(b)若X通过一截止频率U=爷= 5n,通带增益为T=0.2的理想低通滤波器，由图74易知，输出信号g(l)的频谱函数为G(j)=(y)j壮水9+“)一6(3-从
9、而可知g(t)的傅里叶级数表达式为g(f)=mSin(E)A=(Az，7.7考虑信号(t)为W)=(当誓现想用采样频率她二150,对(t)进行采样，以得到一个信号g(t),其傅里叶变换为G(j)o为确保G(j)75X(j).MW01,阿5Q求0的最大值，其中x(j)为x(t)的傅里叶变换。“eqsin50/z,解：因为OTy)=100；F-同,陶-jkCA-co8即有GfJM=75Xx(j(-jk脸8显然，由于5=150靠服工200式频谱发生混叠，为了保证当局45时,G(j)=75X(讪)ftte最大只能等于.-tt,=150K-IOOir=50.78 判断下面每一种说法是否正确。(a)只要采
10、样周期T270,信号名(力Tn)的冲激串采样就不会有混叠,(b)只要采样周期傅里叶变换为X(js)=M/+恤)-(0-恤)的信号(t)的冲激串采样就不会有混叠。(C)只要采样周期/J的信号x(t)的冲激串采样就不会有答：(a)因为信号工W=N(f+To)-U(LTO)的频谱函数为X(WL27；、用山)jin(r),即工不M是带限信号，所以无论采样频率多高，采样的时间间隔多么小，采样必然会导致频谱的混叠。这个论断是错误的。(b)因为频谱函数为讪)=*s+o)(3曲)说明X(I)是带限的，且最高频率为C,那么根据采样定理知，只要采样频率皿23,，即采样时间间隔丁A就可以保证无混叠发生。这个论断是正
11、确的。(C)设对x(t)进行冲激串采样得到信号(，易知X(js)X(j-j3、)Al-4b现已知X(%)=(s)(S-5)如图7-5所示。若采样时间间隔/：红,那么心=加。此时火(血)OA如图7-6所示，可见并无混叠发生。那么，当r在时，就更不会出现混叠了。所以此论断是正确的。&X(jto)!Kqs图7-5图7-679 设乙)是一连续时间信号，它的傅里叶变换具有如下特点：Xj)=0.穿200OK某一离散时间信号经由iln=芭5(0,5X103)而得到。试对下列每一个有关的傅里叶变换为(L)所给限制，确定在L(W)上的相应限制：(a)XJL)为实函数(b)对所有,心(1)的最大值是1(c) XK
12、eW)=O,誓W3WWX,(*)=X(5)解：将连续时间信号进行离散化处理W=笆XG亨、(a)要让苞(L)为实函数，则工(讪)为实函数(b)对所有,Xf(.)的最大值是1Maxxd(叫=MaxXc(叫故MarA；(/&)I=ClXd(*)I=05103(OXc(j)Xd(ei又XK*)=0,字Wlsl士兀，故X,(jg)=OT1500;r2000此时应满足又由题目可知Xj)=0.3N2OOO江综上所述：Xc(j)=O1500%(d) (d)X#W)=XG)Xe(M=XC=XC (j( - 2000)7.10 有一离散时间信号4/,其傅里叶变换XJC)具有如下性质：(e)=0.34lol现该信号被转换为一连续时间信号为sina-nT)工=T2xn-frne-8其中T=IO-3。确定Xc(t)的傅里叶变换X(Jo)保证为零的值.解：由连续时间信号与离散时间处理知：连续时间信号。和离散时间信号频率3的关系为：=T,所以当连续时间信号为Q=3tl=3D/4,离散时间信号的频率为：c=d/=750o7.11 参照如图7-7所示的滤波方法，假定所用的采样周期为T,输入r(t)为带限，而有XC(J)=0,kyR7o若整个系统具有九(，)=欠(-27),试求图
