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1、二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如/+py,+qy=/(.v)(1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中/，、g均为实数，/(X)为已知的连续函数.假如/)=0,则方程式变成y*+py+qy=0(2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程.本节我们将探讨其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1 .解的直加性定理1假如函数/与心是式的两个解，则y=C1.y,+C2y2也是式的解,其中C1,C2是随意常数.证明因为n与力是方程(2)的解,所以有)；+“；+SVi=O),+P，+2=0将y=Cx+Gy2代入方程的左边,得(Gy
2、；+C2)，)+P(Gy,1.+C2y,2)+q(C1.y1.+C2y2)=c(,+py+q)+G(+py；+蛆)=。所以y=Gy1+Gv2是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有两个随意常数,但它不肯定此方程式(2)的通解.2 .线性相关、线性无关的概念设筋，刈，.人为定义在区间I内的n个函数,若存在不全为零的常数占,，使得当在该区间内有公凹+刈必+儿”=。，则称这n个函数在区间I内线性相关,否则称线性无关.例如1.COStr.sin，x在实数范围内是线性相关的，1.1.为I-cos2A,-sin=0又如X,N在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在
3、该区间内要使k+k2x+k3x:=0必需&=刈=k3-0.对两个函数的情形,若X=常数，则.n,力线性相关,%若也工常数，则另，乃线性无关.3 .二阶常系数齐次微分方程的解法定理2假如y与心是方程式的两个线性无关的特解，则y=C1,V1+G%（GC为随意常数）是方程式的通解.例如，+y=0是二阶齐次线性方程，y=sinx,%=CoSX是它的两个解，且*=IanXH常数,*即y”y?线性无关，所以y=Gx+Gr=csinx+Gcos（C1.a是随意常数）是方程y+），=0的通解.由于指数函数S=e（r为常数）和它的各阶导数都只差一个常数因子，依据指数函数的这个特点，我们用=厂来试着看能否选取适当
4、的常数，使门。”满意方程.将y求导，得y,=rvrj.y=r2en把乂W代入方程，得（r;+pr+q）e,=O因为*HO,所以只有ri+pr+q=O只要r满意方程式(3),y=”就是方程式的解.我们把方程式叫做方程式的特征方程,特征方程是一个代数方程，其中的系数与常数项恰好依次是方程(2)VW0的系数.特征方程的两个根为k;P士4q,因此方程式(2)的通解有F列三种不同的情形.当p-4g0时，r,r?是两个不相等的实根.P+P2_M-p-p*-4q2，-2y=e=e是方程的两个特解，并且21.、常数，即K与以线性无关.依据定理2,得方)2程的通解为V=C1.e,+Gei当二4”0时，as是两个
5、相等的实根.G=这时只能得到方程(2)的一个特解X=e*,还需求出另一个解.格且比工常数,设工=。)，即1=e%(x)2=e,1.*(u,+r1.u),),=e,(ur+2rtu,+r1.2).将%凫代入方程,得e,(m+2w,+im)+p(+4)+g“=O整理,得e,w*+(2+p)u+(rj+Pq+(/)u=O由于ejtH,所以u+(2r1.+p)u,+(r12+pr1.+q)u=0因为4是特征方程(3)的二重根，所以r1+prt+q=O,2rt+p=O从而有=O因为我们只需一个不为常数的解,不妨取“=x,可得到方程(2)的另一个解y2=W那么，方程(2)的通解为y=C1.et+Cixer
6、x即y=(C1+C,x)e,1当pJ4g0时,特征方程有一对共枕复根rt=a-i,r2-a-i(尸HO)于是y1.=eiai,y2=e,a-ifi,t利用欧拉公式e=cosx+isin把.n，y?改写为y1.=ea,fiu=emett=e,(cos+zsinx)y2=eia-,fiu=emefi=ev(cosx-i1+y2)=ewcosfv,I.=元(一力)=。60山为方程(2)的解具有叠加性,所以乂，为还是方程(2)的解，并且&=A4=1.a11A工常数，所以方程的通解eCOS自31为y=em(C1.cosx+C2sinx)综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下：(1)写出方程(2
7、)的特征方程/+pr+q=0(2)求特征方程的两个根八(3)依据,r2的不怜悯形，按下表写出方程的通解.特征方程/+pr+q=O的两个方程J+/，+/,=()的通解根小4两个不相等的实根rr2y=C1.e+C2e两个相等的实根;1=4y=(C1+C2x)e,*一对共转复根ri1.=aiy=e,(C1.cosx+C2sinx)例1求方程./+2.+5.、，=0的通解.解：所给方程的特征方程为r2+2r+5=0rt=-i+2i,r2=-1-2/所求通解为y=f*(C1.cos2.v+C2Sui2.v).例2求方程唱+2乎+S=O满意初始条件drdt解所给方程的特征方程为r2r+1.=01.G=T通
8、解为5=(C1.+Ckr将初始条件SIM=4代入,得G=4,于是S=(4+CRk,对其求导得S,=(C,-4-C)e,将初始条件SIi=-2代入上式,得Q=2所求特解为S=(4+2-例3求方程,=()的通解.解所给方程的特征方程为r+2.3=0其根为r1=-3.r2=1所以原方程的通解为y=Cte-3C2e,二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3设k是方程(1)的一个特解，丫是式(1)所对应的齐次方程式的通解，则)，=y+)，*是方程式的通解.证明把y=y+/代入方程(1)的左端：(Km+户)+KY,+.y*,)+O,+y).=(Yh+pY,+cY)+(y*,+py*+qy*)=0+
9、/(X)=/(x)y=Fy*使方程的两端恒等，所以y=Y+y*是方程的解.定理4设二阶非齐次线性方程(1)的右端/5)是几个函数之和，如y*+py+qy=1.()+f2().(4)而,v*与y分别是方程/+py+qy=/,与/+py,+y=,(.v)的特解，那么y；+；就是方程(4)的特解，非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2. X)=不匕型的解法f(x)=e,Pn(x),其中2为常数，匕(X)是关于X的一个m次多项式.方程(1)的右端/是多项式匕3与指数函数小乘积的导数仍为同一类型函数，因此方程(1)的特解可能为y*=0(x)1.,其中QX)是某个多项式函数.把产=Q(X
10、)eW=MQ(X)+Q(x)ey*=U2(x)+2Q(x)+Q,(x)ei,代入方程(1)并消去产，得QYJr)+(2+p)Qx)+(2+p+g)Q(x)=Q(x)以下分三种不同的情形，分别探讨函数C(X)的确定方法：(1)若4不是方程式的特征方程/+pr+4=0的根，即力+以+尸0,要使式的两端恒等,可令0幻为另一个川次多项式QKx)：Qm(x)=b0+b1.x+b2x+-+bmxm代入(5)式,并比较两端关于X同次耗的系数,就得到关于未知数久,A,的，”+1个方程.联立解方程组可以确定出(0.1.M.从而得到所求方程的特解为.v*=Qx)eAr(2)若Zi是特征方程/+pr+4=0的单根，
11、即2+p+q=O.2%+”0,要使式成立，则Q1.r)必需要是，次多项式函数,于是令Q(K)=.&*)用同样的方法来确定24x)的系数a=。.(3)若久是特征方程/+pr+g=O的重根，即A2+p+q=0,2+p=0.要使(5)式成立,则Q(x)必需是一个加次多项式，可用同样的方法来确定口的系数综上所述，若方程式(D中的/(x)=x)e,则式的特解为y*=dQu(x)e”其中0x)是与PM同次多项式，人按4不是特征方程的根，是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4求方程y+2)=3e的一个特解.解/(是AIu)J型，且匕(r)=3J=-2对应齐次方程的特征方程为/+2r=O,特
12、征根根为=0,A=-2.4=-2是特征方程的单根，令F*=xv-7代入原方程解得故所求特解为y=一次口.例5求方程y-2F=(-的通解.解先求对应齐次方程)，-2)，+)，=0的通解.特征方程为r2-2r+1.=0,A=G=I齐次方程的通解为r=(C1.+C2x)e.再求所给方程的特解=.Pm(x)=X-I由于=1是特征方程的二重根,所以y*=xax+b)e把它代入所给方程,并约去/得6ar+2Z=x-1.比较系数,得所给方程的通解为y=v+y,=(C1.+CVr-:/263. f(.V)=Acosgw+Bsin皿型的解法/5)=Acosu+/?SinftIt,其中A、B、0均为常数.此时,方
13、程式(D成为y+py+q=Acoscar+Asmoiv(7)这种类型的三角函数的导数，仍属同一类型，因此方程式的特解P也应属同一类型，可以证明式的特解形式为y*=X1(cosftM+sinfttv)其中为待定常数.人为一个整数.当爪不是特征方程/+q=。的根，&取0；当士ei不是特征方程/+pr+4=0的根，A取1；例6求方程./+2/-3y=4sin的一个特解.解=1,i=i不是特征方程为/+2r-3=0的根，A=O.因此原方程的特解形式为y=co$.r+sinx于是y,=-sinx+力COSX.v*=-cosx-bainx将y*,v*.y*代入原方程，得-4+2Z?=0=-：原方程的特解为：v=-cosx-inx例7求方程y,-2y,-3y=e*+sinx的通解.解先求对应的齐次方程的通解上对应的齐次方程的特征方程为ri-2r-3=0r1.=-1,=3Y=Ctet+C2ei,再求非齐次方程的一个特解”.由于/(x)=5cos2x+e,依据定理4,分别求出方程对应的右端项为5)=e*,力(x)=sin的特解y；、月，则/=)，；+)，；是原方程的一个特解.由于2=1,j=均不是特征方程的根，故特解为y*=y-+),=aet+(frcosx+CSinx)代入原方程,得-4iie-(4h+2c)cos.v+(21)-4)sinx=esinx比较系数,得-4z=14h
