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1、编号本科毕业论文课题名称：行列式的应用学生姓名：学号：专业：数学与应用数学班级：指导教师：行列式的应用摘要行列式是高等代数课程里基本而重要的内容，在数学中有着广泛的应用，本文先归纳了行列式的定义，举例论证了行列式的性质，重点探讨了行列式的应用，在线性方程组中的应用，包括行列式的分解因式和证明不等式以及恒等式.在解析几何中的应用，包括用行列式表示面积，在平面几何中的应用.在解析几何中的应用，行列式是研究数学的重要工具之一，本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用.关键词行列式的定义行列式的性质行列式的应用克拉默法则TheApp1.icationsofDetermi
2、nantAbstractThedeterminantisoneofthefundamenta1.andimportantcontentsinadvanceda1.gebra.1.thasawiderangeofapp1.icationsinmathematics.First1.ywesummarizedthedefinitionofdeterminantinthispaper,anddemonstratedthecharacterofdeterminant,andtheapp1.icationsofdeterminantanditsapp1.icationsto1.inearequations
3、,inc1.udingbrokendownbytypeandproofofdeterminantinequa1.itiesandidentities.Intheapp1.icationofana1.yticgeometry,inc1.udingthedeterminantofthatarea,inp1.anegeometry.Intheapp1.icationofana1.yticgeometry,oneoftheimportantdeterminantisthestudyofmathematica1.too1.s,thispaperfurtherstudyonthedeterminantof
4、1.inearequations,e1.ementarya1.gebra,ana1.yticgeometryofthreeapp1.ication.KeywordsThedefinitionofdeterminantthecharacterofdeterminanttheapp1.icationofdeterminantCramerru1.e目录引言11 .行列式的相关知识11.1 行列式的定义11.2行列式的性质22.行列式的几种应用41 .1行列式在线性方程组中的一个应用42 .2行列式在初等代数中的几个应用52.2.1用行列式分解因式52.2.2用行列式证明不等式和恒等式72.3行列式在
5、解析几何中的几个应用92. 3.1用行列式表示公式93. 3.2行列式在平面几何中的应用124. 3.3行列式在高中几何中的应用14结束语17参考文献18致谢词19引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。1545年，卡当在著作大术(ArsMagna)中给出了一种解两个一次方程组的方法。他把这种方法称为“母法”(regu
6、1.ademodo)0这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念。1683年，日本数学家关孝和在其著作解伏题之法中首次引进了行列式的概念。书中出现了、乃至的行列式，行列式被用来求解高次方程组。如：范德蒙、拉普拉斯在行列式的研究中也做了许多工作。行列式的解法是一个基本且重要的内容，它在解线性方程组、求逆矩阵中占有不可替代的位置。但行列式的解法也有很麻烦的问题.如n阶行列式有n!项.计算就需要做n!(n-1.)个乘法。本文先归纳了行列式的定义，举例论证了行列式的性质，重点探讨了行列式的应用，在线性方程组中的应用，包括行列式的分解因式和证明不等式以及恒等式.在解析几何中的应
7、用，包括用行列式表示面积，在平面几何和空间中的应用.在解析几何中的应用，行列式是研究数学的重要工具之一，本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何三个方面的应用。1 .行列式的相关知识1.1 行列式的定义设有J个数，排成加行“列的表：知24a2a22%”%4,2ann作出表中位于不同行列的加个数的乘积，并冠以符号(-1)得到！个形如D刍勺,的项，其中/人山为自然数1.2r的一个排列，f为这个排列的逆序数.所有这！项的代数和其3JiyH-4称为A阶行列式,记作母必刍=WTS/%刍/.ht4其中X表示对所有的”级排列工人一力求和.行列式有时也简记为det(因)，这里数ihU,称为行
8、列式的元素，保称为行列式的一般项.1.2 行列式的性质性质1行列互换，行列式不变这里所说的行列式中行与列的地位是对称的，以下只讨论行的，可将其结论推广到列上。性质2行列式某一行（列）的所有元素都乘以数3等于数A乘以此行列式，即第I行（或歹U）乘以J记为九2（或CjXz）.或者说，以一数乘行列式的一行（列）就相当于用这个数乘此行列式推论行列式中某一行（列）为零，则列式为行零.性质3若行列式某一行（列）的所有元素都是两个数的和，则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）的元素与原行列式相同.即证由行列式定义=Z（THPi%/如%j（tHP
9、2Zp九2”性质4如果行列式中有两行相同，即对应位置的元素相等，则行列式为零。证明记该行列式为d,将两相同的行互换后，行列式反号，但由于互换后行列式并无实质改变，从而有d=-d故必有故0。性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。证明对成比例的两行中取一行提取某个倍数k,则行列式的两行相同，从而行列式的为0。性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变。性质7对换行列式中两行的位置，行列式反号证明不妨设i心则左端二(T)EYTkT)旬jij2jn=一Z(T严3出,jj2jn行列式的七条基本性质是计算行列式必须掌握的重要理论，其难点就是如何灵活运用行列式的六七基本性质，巧妙而简捷地计算出行列式的
10、值，掌握运算的技巧可以提高运算的速度和准确率，从而达到事半功倍的效果2.行列式的几种应用2.1 行列式在线性方程组中的一个应用行列式的一个主要应用是解线性方程组。当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。对一个有个方程和个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。克拉默（Cramer）法则如果线性方程组6r11x1+12x2+.xn=a21.xi+a22x2+a21.txn=b2V1+2+=的系数行列式f1.I1.a2an那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表示为D1.D、DnFR2=亍方其
11、中2是将D中的第j列换成方程组中的常数项4,4,么所构成的行列式,即4川a2j+Sn(j=1.,2tM例2. 1. 1用克拉默法则求解线性方程组:2x1.+3x2+5x3=2x1+2x2=53x253=45()5=225 = 20,Q二=60,=-20.。3=84由克拉默法则,吟=3,内吟=7一般来说,用克拉默法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的.对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解.克拉默法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克拉默法则更具有重大的理论价值当方程组的常数项全为零时，即f1.2-ri+a22x2+2=0+2+=则
12、此方程组只有零解例2.1.2问/1为何值时，齐次线性方程组(1.-2)-2y=0-3x+(2-)y=0只有零解解当DWO时，方程组只有零解，由=(1.-2)(2-)-6即得储一3;1.-4w0,所以；1.-1.1.4时，方程组只有零解2.2 行列式在初等代数中的几个应用2.2.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键，是把所有的多项式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则，下面举几个例子来说明一下Xyz例2.2.1用行列式分解下列因式dy?z2yzzx3j解列Ixx,列2xy,歹J3xz,然后用行3型，行列式的值不变，为X2y2z2X3yiz3111列1-列2,提取出(xy),歹J2-歹
13、J3,提取(yz)得x+yy+z.r-+xy+yy+yz+z再用列1-列2,提取(x-z)得1y+zx+y+zy2+yz+z2展开得D+yz+zr将所有提取的因子乘起来得原行列式=(Ay+yz+zx)(x-y)(y-z)(x-z)例2.2.2已知xzyyXz=x3+y3+z3-3xyz,zyX求证X3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-xz-yz)y+y+zzx+y+zXx+y+zy1Z=(X+y+z)1X1故有分解因式1=(X+y+z)OOZyx-zZ-yy-zx-y=(x+z)(x2+y2+z2-xy-xz-yz)x3+y3+z3-3xyz=(x+y+z)(x2
14、+y2+z2-xy-xz-yz)例2.2.3对多项式/(X)=5d+24T3-i5d-U8x+24进行因式分解-1OOX-1OOX-1OOX-1OOX-1OOX-1-118-155x2424-1185x2+24x-15OX解f(X)=24X-1OX 5x-1. 5O -1= (5-1)O X124 -118 5x2+24x-15242x + 5X=-(5x-1.)24-1-X25x15=3(5x-1.)i(+5x-2)X=3(5x-2) 8x+3(x+3)(x+2)=(j+3)(5x-1)：Ox+2=(x+3)(5x1.)(x+4)(X2)2.2.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式值不变,如果行列式中有一行（列）的元素全部是零，
