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1、5.实际问题与一元二次方程学习目标1 .经历分析具体问题中的数量关系,建立方程模型解决问题的过程,认识方程模型的重要性,并总结运用方程解实际问题的重要性2通过列方程解应用题,进一步提高逻辑思维能力和分析问题,解决问题的能力.一习导引在一次数学检测中,赵亮对下道应用题的解答过程如下：试题:某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元？解:设每件衬衫应降价X元,则每件所获得的利润为(40-x)元,但每天可
2、多销出2x件,每天可卖(20+2x)件，根据题意可列方程：(40田(20+2刈=1200方程化简整理为N-30x+200=0解得:x】=20x2=10答:若商场每天要盈利1200元,每件应降价10元或20元.当试卷发下时,赵亮发现本题被扣去1分,他百思不得其解,为什么要扣去1分呢?你能帮赵亮同学找找原因吗?与同伴交流自己的想法.点拔当降价20元或10元时,每天都能盈利1200元,因要尽量减少库产,在获利一样条件下,降价愈多产售越快；实际问题的解,不仅要满足所列才能满足题目方程,还应符合题目中的每一个中的要尽量减少库存的要求,故应选择每件降价20元.因而列方程解应用题时应认真审题,不能漏掉任何一
3、个条件.知能互动L列一元二次方程解应用题的特点：一元二次方程的应用是一元一次方程应用的继续和发展,能用一元一次方程解的应用题,一般可用算术方程解.而用一元二次方程解的应用题,一般不能用算术方法求解.由于一元二次方程的次数为二次,所以其应用相当广泛,其中面积问题,两次增长的平均增率和储蓄问题，经营问题,数字问题中涉与到积的一些问题,都是代表类型.(1)数字问题:要能正确地表示诸如多位数,奇偶数,连续整数的形式.如:一个三位数abc可表示为连续两个偶数可表示为连续两个整数可表示为这类问题常常间接设未知数，相等关系由题目的关键语句“译”出.(2)平均增长率(增长率或降低常)问题;在此例问题中,一般有
4、变化前的基数(a),增长率(X)变化的次数(n),变化后的基数(b),这四者之间的关系可用公式表示.这类问题中等量关系通常由这个公式与由相关的词语”译”出(3)经营问题,这也是近年来中考中出现频率高的应用问题.在这类问题中有进价售价(b)利润(P)件数(n)等相关的量.这些量之间的关系可用公式表示,同时件数(n)又经常与售价(b)关联,在解答此类问题时,一定要准确地找到反映它们关系的代数式.(4)其它问题,在近年的中考中,常常出现一些贴进生活,生产的实际问题,如:规划、方案设计、测量统计、儿何应用,与物理与其它学科之间的渗透的问题等.解答这些问题时,等量关系一般从已知公式或题目中的关键词句”译
5、”出.(1.IOOa+10b+c2n2n+2nnl(2)a(l+x)n=b(3)p=(b-a)n)2 .列一元二次方程解应用题的一般步骤：和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的步骤可归纳为“审,设,列,解,答”.(1)审:认真审题,分析题意,弄清已知和未知,寻找相等关系；(2)设:就是设未知数,分直接设未知数和间接设未知数,所谓直接设未知数就是问什么设什么,反之就是间接设未知数.到底选择何种方式设未知数,要以有利于列出方程为准则.(3)列:就是根据题目中的已知量与未知量之间的相等关系列出方程.(旬解:就是列元二次方程解应用题时,一求出所列方I股会产生两个解,必须检验每个程的解.
6、答:就解是否符合题意,正确取舍.是书写答案,在答之前应对解得的方程的解进行检验,舍去不符合实际意义的解.3 .如何探求应用问题中的等量关系.列一元二次方程解应用题,关键是正确地找到等量关系.如何迅速地探求出相等关系列出方案呢？(1)要正确熟练地作语言与式子的互化.(2)充分运用题目中所给的条件.要善于发现利用间接的,潜在的等量关系(4)对一般应用题,可以从以下几个方面着手寻找相等关系.利用题目中的关键语句作为相等关系.利用公式、定理作为等量关系.从生活、生产实际经验中发现等量关系.名题探究例L已知一直角三角形三边长为三个连续偶数,试求这个直角三角形三边长与面积.命题意图本例考查列一元二次方程解
7、答有关的数字问题.解析I用含未知数的代数式表示出三个连续的偶数,再根据勾股定理列出方程求解.解:设直角三角形三边长分别为n,n+2,n+4,(n为偶数:n2+(n+2)2=(n+4)2化简,整理,得:d一4n-12=0解得：n1=6,n2=-2由于三角形的边长不能为负数,所以取n=6.n+2=8,n+4=10即,两直角边为6,8,斜边为10.三角形面积为!X68=24.答:直角三角形2三边长为6,8,10,面积为24.思路探究几何中的定理是我们列方程的等量关系的重要来源.例2.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为12万元,求该校这两年在实验器材投资上的平均增K率是多少？【
8、命题意图I本题主要考查平均增长率问题.解析本例属于平均增长率问题,若设平均增长率为X,则今年的投资额为2(x+l)万元，明年的投资额为2(x+IF万元,由今明两年的投资总额为12万元可列方程.解:设这两年在实验器材投资上的平均增长率为X,根据题意可列方程：2(l+x)+2(l+x)2=12化简整理得:x?+3x-4=0解这个方程得：X1=1,x2=-4(负值不合题意,应舍去)答:该校这两年在实验器材投资上的平均增长率为100%.思路探究在本例中,12万元是两年的投资总额,不是最后一年的投资额,不能错误地列出方程2(l+x)2=12;另外在解这个方程时,还可把(l+x)当作一个整体,用换元法解.
9、例3.如图所示AABC中,NB=90,点P从A点开始沿AB边向点B以2厘米/秒的速度移动,点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动.(1)如果P,Q分别从A,B同时出发,经几秒钟,使PDQ的面积等于8厘米2?(2)如果P,Q,分别从A,B同时出发,并且P到B点又继续在BC边上前进,Q点到达C点后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使aPCQ的面积等于12.6厘米2?命题意图本例主要考查一元二次方程知识与几何知识的综合运用,培养学生分析问题解决问题的能力.解析先用含未知数的代数式表示出三角形的底和高,再根据三角形的面积公式列方程.解如图所示,设经过X秒,使得aPBQ的面积为8厘米2,贝I
10、JPB的长度为(6-x)cm,BQ的长度为2xcm,根据题意可列方程得：g(6-x)2x=8,解之得:x】=2,X2=4经过2秒,点P到离B点4cm处,点Q到离B点的4cm处；经过4秒，点P距离B点2cm处,点Q到距离B点8cm处.即经过2秒或4秒QPBQ面积为8cm2.设经过y秒,点P移到BC上,且有CP=(14-y)cm,点Q移到CA上,且有CQ=(2y-8)cm,作PDlAC于D.(如图)AC=AB2+BC2=62+82=10由,口PDAB6CPDcCAB得=.PD=口.10根据题意可列方程：=12.6解这个方程得：l(2y_8).z2)210y=7,y2=H当y=7时，点P在BC上距C
11、点7cm处，点Q在CA上距离C点6cm处，使aPCQ面积为12.62当y=ll时，点P在BC上距离C点3cm处，点Q在CA上距离C点14Cm处，1410,点Q已不在CA,即此解不存在.y=7即经过7秒钟，APCQ的面积为12.6厘米2.思路探究象本例这一类动点问题一般要考查代数知识与几何知识的综合运用.解题的关键是要有动态观点,弄清点的运动特征.动态问题,作静态分析,分类讨论,列出方程.例4.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?这时
12、进这种玩具多少个？命题意图本例考查经营销售问题.解析1设每玩具涨价X元,则售价为(40-x)元,每一只玩具的利润为(40+x-30)元,销售的件数为(600IOx)件,根据总利润为12000元列出方程.思路探究I每一只玩具利润和销售总量均与上涨的价格有关,因而设上涨的价格为未知数较合适,用含未知数的代数式表示每一只玩具的利润和销售量.解:设每件玩具涨价X元，根据题意可列方程：(40+x-30)(60010x)=12000解之，得：Xi=20,x2=30检验知Xi=20,X2=30均符合题意所以，每只玩具售价应定为60元或70元，进货量应为400只或300只。中考例5.某农户1988年承包荒山若
13、干亩,投资7800元改造后种果树2000棵,其成活率为90%,在2010年夏季全部结果时,随意摘下10棵果树的水果，称得重量如下(单位:千克):8,9,12,13,8,9,10,1L12,8(1)根据样本平均数估计该农户2001年水果的总产量是多少?(2)此水果在市场出售每千克售1.3元,在果园每千克售Ll元,该农户用农用车将水果拉到市场出售，平均每天出售IOOO千克,需8人帮助,每人每天付工资25元,若两种出售方式都在一样的时间内售完全部水果,选择哪种出售方式合理?为什么？该农户加强果园管理,力争到2013年三年合计纯收入达57000元,求2012年,2013年平均每年增长率是多少？命题意图
14、本例考查平均数意义与应用,方案的选择,平均增长率等知识.解析中由样本平均数估计出总体平均数,进而估计出2001年水果的总产量,(2)通过计算,比较哪种销售方式所获收入多,(3)根据2001,2002,2003年纯收入的和为57000元，列方程求解.解=-(8+9+12+I3+8+9+I0+11+12+8)=-1=10(千克)2001年水果总产量为2000X90%Io=I8000(千克)在果园出售时收入为1.1X18000=19800元送到市场销售收入为23400元,用人工费为3600元,实际收入19800元,因市场销售还有运输费等费用,故在果园出售合理(3)设平均每年的增长率为X,根据题意可列
15、方程:(19800-7800)1+(1+x)+(1+x)2=57000解得:x=-3.5(不合题意,应舍去)X2=O5=5O%答2001年的水果总产量为18000千克.在果园销售合算(3)年平均增K率为50%.达标训练一、选择题：1.某商品两次价格下调后,单价从5元变为4.05元,则平均每次调价的百分率为A.9%B.10%C.ll%D.12%2 .容器里装满纯酒精,倒出一半后用水加满,再倒出L再4用水加满,此时容器内酒精浓度为A.15%B.12.5%C.37.5%D.25%3 .某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为X,则A.200+2002x=1000B.200(1+x)2=1000C.200+2003x=1000D.200l+(1+x)+(l+x)2=10004 .从正方形的铁片上,截去5cm宽的一个长方形铁皮,余下的面积为84c,则原来正方形面积最大可能为cm2.A.84B.109C.144D.4205 .一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对调下得到一个两位数,这两个数之积是2296,则这个两位数为A.28B.82C.28或82D.不确定6
