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1、第十八章平行四边形及特殊的平行四边形第一节平行四边形的有关概念及性质方法:利用平行四边形的性质进行计算的方法平行四边形的性质是我们研究平行四边形的角或边的重要依据。利用平行四边形的性质，可以求角的度数、线段的长度。例题如图,四边形ABCD是平行四边形，B=10cm,AD=8cm,AC1.BC,求BC,CD,AC,OA的长以及QAB8的面积.解析：.四边形ABCD是平行四边形,/.BC=AD=，CD=/VJ=1.(w.VAC1.UCrZACf1.=90.又OA=OC9.,.OA=AC=3(cm).2方法:平行线间距离的应用方法“等面积法”是数学中重要的解题方法，在三角形和四边形中，以不同的边为底
2、，其高也不相同，但面积是定值，从而可以得到不同底上的高的关系。假设以相同的边为底，其高都为平行线间的距离，面枳仍是定值。例题正方形ABCD与正方形CEFG的位置如下图，点G在线段CD或CD的延长线上，分别连接BD、BF、FD、得到(1)在图-中，假设正方形CEFG的边长分别为1、3、4,且正方形ABCD的边长均为3,请通过计算填写卜.表：(2)假设正方形CEFG的边长为a,正方形ABC1.)的边长为I),猜测SW的大小，并结合图证明你的猜测.8FD的面积222解析：:1.（2）猜测：S2证明：如图，连接CF,由正方形性质可知/用（：=（而=45。，二8/）/0，/.MFD与SBCD在RD边上的
3、高相等，方法:平行四边形的判定方法根据平行四边形的性质可知，利用平行四边形的性质是证明边角相等的有效途径之一，因此，解题时往往先判定一个四边形是平行四边形,然后再利用性质解决问题，至于使用哪种判定方法应依题目条件灵活确定。例题：如下图，点M、N分别在ABCD的边BC、AD上,且BM=DN.MEBD,NFBD,垂足分别为E、F.试说明MN与EF互相平分.解析：连接EN,MF,如图四边形ABeD是平行四边形，：.HCHADt/1=/2.MEBDtNF1.BD,.ME/NbtZMEB=Z.NFD=900.在BM:和DNF中，Zfi=ZNFDZ1=Z2BM=DN：.ME=NF,二ME/INF且ME=N
4、F,.四边形EMFN是平行四边形，,MN与7互相平分.方法:平行四边形与全等相结合在解题中的应用方法利用平行四边形的性质，我们可以证明线段平行或线段相等，所以在中考题目中常与全等三角形或等腰三角形的知识相结合。例题如图，A8C是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB,N=60,DC=EF.(1)求证：四边形EFCD是平行四边形；(2)假设BF=EF,求证：AE=AD.证明.根伙是等边三角形，/8=60.EFB=6(),.-.=ZEFBtEF/DC.又fX：=EF,四边形EFCD是平行四边形.(2)证法一：如图，连接BE.BE=EFtNEFB=W.,EF8是等边三角形.EB=EF,NEBF=9
5、。DC=EFt:.EB=DC.8C是等边三角形，.Z4C8=603AB=AC.：.ZEBF=AACB.,aeb=adc.AE=AD证法二：如图，8C是等边三角形，.ZAC=ZAC=60o,AB=AC过点D做/)(；八8,交AC于点G,AGDC是等边三角形.DC=EF,HF=Eb-DG=EFtBF=CG.:.AF=AG.NEFB=/DGC=600,/.ZAFE=ZAGD.AFE=AGDt.,.AE=AD方法：利用平行四边形的性质证明角相等如下图，在qA3C。中，AB=2BC,E为。C的中点，AK与BC的延长线相交于点E证明：NF=NFAB.n证明tY在QABCo中，BCD,AB=CDADBC,A
6、D=BC,/.NF=NDAF,：AB=2BCE为。C的中点ED=AD,AZ1)AE=Z1)EA,VZDEA=ZFEC,ZEEC=ZFAE,ZF=/.FAB.方法：与平行四边形的判定有关的动态问题如图在梯形ABCD中,ADBC,AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以1.cms的速度运动，到点D即停止，点Q自点向以2cms的速度运动，到点B停止，直线PQ截梯形为两个四边形，问当P,Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形。解：设同时出发t秒四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，由得AP=t,PD=24-t,CQ=2t,BQ=3O-2t,(1)假设四边形PDCQ是平行四边形,那么
7、PD=CQ,24-t=2t,解得t=8,，8秒后四边形PDCQ是平行四边形(2)假设四边形APQB是平行四边形,那么AP=BQ,t=30-tt=10,.10秒后四边形APQB是平行四边形出发8秒或10秒后其中一个四边形是平行四边形。第二节矩形方法:矩形有关性质的应用方法矩形的性质是求角度，线段的长度等问题常用的知识，可以用来验证两条线段是否相等、两条直线是否平行、两角是否相等。例题如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q.求证：OP=OQ.ADZ,BC,ZPDO=ZQBO,TO为BD中点,OB=OD,ViPDOIQBO中PDOBQO(ASA),AOP
8、=OQ.方法：矩形的判定方法矩形判定方法的使用：在平行四边形的根底上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件即为矩形：在四边形的根底上，有三个角是直角(第四个角必是直角)那么可判定为矩形。题型：如图，在AABC中，AB=AC,AD1.BC,垂足为点D,AN是AABC外角NCAM的平分线，CEAN,垂足为点E,求证：四边形ADCE为矩形。.N答案：/证明：在AABC中，AB=AC,AD1.BC,-ZBAD=ZDAc,VAN是AABC外角NCAM的平分线，/.ZMAE=ZCAe,/.DE=Z/MC+CE=-180o=90,2乂TAD1.BC,CE1.AN,ZADC=ZCEA=90o,.四边形A
9、DCE为矩形.方法：关于矩形中的折叠问题如图：将矩形舐片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，求证:EF=DE证明：YAABC和aAEC关于折痕AC对称，/.ABC5AEC.AE=AB,ZB=ZE.在矩形ABCD中，AB=CD,NB=NBCD=90AE=CD,ZE=ZD=90oVZ1=Z2AEFACDF(AAS)EF=DF.第三节菱形方法：菱形有关性质的应用方法题型:如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边CD、DA,且CE=AF.求证：BE=BF.解析：四边形ABCD是菱形,AB=BC,ZA=ZC,在AABF和aCBE中，ZkABF/CBE(SAS),BF=BE.方法：菱形面
10、积的计算方法题型如图：菱形ABCD的周长=24,一条对角线AC的长=8,求菱形的面积，解：V菱形的周长=24,.AB=6,乂,AC=8,OA=4,VAC1.BDAOB2=AB2-OA2=20,OB=25：,BD=45；菱形ABCD的面积JAC.BD=1662方法:菱形的判定方法题型：j如图,在平行四边形ABCD中,AE_1.Be于E,/7AF_1.CD于F,BD与AE、AF分别相交于G、)iQH.假设AG=AH,求证：四边形ABCD是菱形.答案：解析：VE1BC,AFA.CD,ZABC=ZADF：.NBAG=/DAHVAG=AH：.ZAHG=ZAGW：.ZAHG+NHAG=ZAGH+AHAG/
11、.AGB=ZAHDXVAG=AHABG5ADHAAB=AD方法：运用菱形的对称性解决问题如图：在菱形ABCD中，NDAB=60,点E为AB的中点，点F是AC上一个动点，假设AB=6,试求EF+BF的最小值。解：连接DE交AC于M,连接BDQEBM,Y四边形ABCD是菱形，.BDAC互相平分，BD关于AC轴对称，DF=BEEFBF=EF+DFDE,；点F运动到点M时,EF+BF为最小值。又.NDAB=6(T,AB=AD=6,AE=3,.*.DE=jAy-AE2=62-32=33.,.EF+BF的最小班第四节正方形方法:正方形性质的应用方法在正方形问题中，一般可以通过证三角形全等来证两条线段相等,
12、也可以利用正方形的角是直角来构造直角三角形，利用勾股定理解题。在正方形中，也常用对角线互相垂直平分证明线段相等。题型如图，正方形A8C。的边长为1,连接AC、3D,分ZACD交8。于点E,求DE的长度。答案：2-解析：过E作EF_1.DC于FY四边形ABCD是正方形ACBDCE平分NACD/.EO=EF正方形ABCD的边长为：.AC=2：.CF=CO=-AC=-220：.EF=DF=DC-CF=X-2JT：,DE=DF=2(1-)=2-1.2方法:利用正方形的对称性进行解题的方法求线段和最小值问题的方法：确定其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，即可得到线段和的最小值。例题如图，正方形
13、OABC的边长为6,点A、C分别在X轴，y轴的正半轴上，点D(2,0)在OA上，P是OB上一动点，那么PA+PD的最小值为().2ioB.ioC.4D.6答案A方法:正方形的判定方法在判定正方形时，要弄清是在“四边形”还是在“平行四边形”的根底之上来求证的，要熟悉各判定定理的联系和区别。解答此类问题时要认真审题，通过对条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法是解决这类问题的关键。Bi题型ry如图，四边形A灰:。是矩形，E是BD上点,/BAE=NBCE,ZAED=NCED,点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点E求证：四边形ABC。是正方形；解：证明：Y四边形ABCD是矩形：NBAD
14、=/BCD=90PNBAE=NBCENBAD-/BAE=/BCD-/BCE即：ZEAD=NECD：ZAED=ZCED,ED=ED：.AED,CED（AAS）.*.AD=CD.矩形ABCD是正方形.方法:正方形的性质在探索开放性问题中的应用方法例题如图，正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上,连接AE,GC（1）试猜测AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图，连接AE和CG,你认;、为（1）中的结论是否还成立？假/设成立，给出证明：假设不成立，/请说明理由，解AEGC证叽延长GC交AE于点H如图在正方形ABCD与正方形DEFG中,AD=DC.ZADE=ZCDG=9(r,DE=DGADE5CDG,ZI=Z2VZ2+Z3=90o,Z1+Z3=9OZAHG=18()-(Z1.+Z3)=180o-90oAEGC成立证明：延长AE,GC交于点H,如图，在正方形ABCD和正方形DEFG中AD=D
