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1、函数的奇偶性、单调性、最值综合探究新泰一中闫辉学问梳理1 .函数的奇偶性：1)奇函数：假如对于函数y()的定义域内随意个X,都有/(-X)=-(x)(SJc(x)+f(-)=0),则称/CO为奇函数“(2)偶函数：假如对于函数/(x)的定义域内随意一个X.都有f(-.v)=-)(f1.Jt(x)-/(-X)=0).则称f(x)为偶函数.(3)奇、偶函数的性质具有奇偶性的函数，其定义城关丁原点时称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于S轴对称.若奇函数的定义域包含数0,则/(O)=S奇函数的反函数也为奇函数.奇偶函数的运算性
2、质：设y=f(xKxD)为奇函数，y=g(x)(x6)为偶函数，O=A2,则在D上有：奇士奇=奇(函数)偶士偶=偶(函数)奇X奇=偶(函数)偶X偶=偶(函数)奇X偶=奇(函数)2 .函数的单调性：(!)增函数、减函数的定义般地，对于给定区间上的函数尸/(x),假如对于属于这个区间的KS意两个自变量的值用、4，当箱X2时，都有/(不)(或都有/(用)0(k0)在D内是增(减)函数。奇偶函数在对称区间上的单调性奇函数在(a,b)和(-b,-a)(a(2)求函数最值的常用方法有：(1)配方法：将函数解析式化成含有臼变批的平方式与常数的和，然后依据变量的取值范围确定函数的最值：(2)换元法：通过变员代
3、换达到化繁为简、化难为易的目的。(3)数形结合法：利用函数图象求出函数的最值.(4)函数的单调性法.一、函数奇偶性的判定问迤。【例1】推断下列函数的奇偶性：(1.)(x)=x+1.-k-1.;(2) f(x)=(-1)；(3)/()+2-2：(4)/()Jx(I-X)1x(1+x)CrO).剖析：依据函数奇偶性的定义进行推断.解：(1)函数的定义域KW(8,+8),对称于原点.f(-X)=-+1.-II=Ix-1.-k+1.=-(x+1.-k-1.)=-()*.,(X)=A+1-|x一1|是奇函数.(2)先确定函数的定义域.由三20,得一1.x0.从而i-.t、JI-xV-.t2-4yrftJ
4、-()JI-X.,V有f0时.-,rO.当XVO时，一.r0,：.f-)=-(I-X)=-/()(XVO).故函数/O为奇函数.评述：(1)分段函数的奇偶性应分段证明.(2)推断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数解析式.二、奇偶函数的解析式问趣。【例2】已知f(x)是奇函数，当x(0,1)时，/(x)=Ig-1.,那么当I+.V(-1,0)时，/(.V)的表达式是.解析：当XW1.0)时，一()A.1B.2C.3D.4解析：不对：不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点：正确：不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为/(x)=O(XW(一“，”)答案：A四、函数单调性的判定问题。【例4】证明:函数
5、/(x)-+x是增函数【例5】探讨函数f()=卢0)在x(-1,1)上的单调性.X-I解：设一IVx1.VX2V1,则/5)-/5)X-1工？_xj_aqxj_rr(xj-xi)(x,+I)(XJ-D(XJ-DU2-1Xx22-1).I.n20.11X2+IO.(.112-1)(.xr-1)0.X,0.(.t)-/(-2)0,函数f(x)在(-1.1)上为减函数.五、函数单调区间的求法问题。【例6】求函数y=x+1.的单调区间.（对号函数【增减减增】剖析：求函数的单调区间（亦即推断函数的单调性），般有三种方法：（1）图象法：（2定义法：3）利用已知函数的单调性.但本题图您不易作，利用产X与尸的
6、总谢性（一增一减）也难以确定，故只有用单调性定义来硬X定,即推断了（X2）-x）的正负.解：首先确定定义域：xUH0,，在（-8,0）和0,+）两个区间上分别探讨.任取XI、2（0.+8）旦)*1.x2（1）当XI、2（0.I）时，：.f（.V1.）-/（-2）0,为减函数.（2）当,、X2（1,+8）时，.（x）-f（）0）的单调区间.X提示：函数定义域rH0,可先考虑在（0,+8）上函数的单调性，再依据奇偶性与单调性的关系得到在（-8,0）上的堆调性.答案：在（一8,.（4a+o上是增函数，在（0,&,（一8,0）上是减函数.【例7】求下列函数的单调区间:(I)J=x2+-(x0)(2)y
7、2x-2x+1(3)y三-x1+2x+3六、函数奇偶性与单调性的应用。【例8已知函数/(*)=。*+/+，/(2)=3,求/(-2)(2)已知/(x)是偶函数，g(x)为奇函数,f(x)+g(x)=x+2求f(x)0(3)求函数/(X)=的值城。x2+4七、二次函数在区间上的最值问题。【例9】求函数J-2+3x-1在区间1.2上的最大值和最小值.【例10求函数Iy=-X+2x-3在区间,+1上的最大值。【例II1.求函数)，=x-2x-1.在区间0,2上的最大值和最小值。闯关训练1 .己知函数f()=ax2+bx+c(0)是偶函数，那么g(x)=ax3+b.x2+CX是A.奇函数B.偶函数C既
8、奇且偶函数D.非奇非偶函数解析：由/(x)为偶函数，知匕=0,有gCr)=ax3+cx0,则此函数的堆调递减区间是A.(一8,-3)B.(1.+)C.(00，I)D.(1.+)解析：当=2时，y=1.ogx50,.”1.由F+2-30nV-3或xI,易见函数r=f+2t-3在(-8,-3)上递减，故函数产IOg“(f+2t-3)(其中1.)也在(-8,-3)上递减.答案：A6 .(2003年北京朝阳区模拟题)函数产1%,仅一3|的单调递减区间是解析：令M=K-3,则在(一8,3)上“为X的减函数,在+8)上“为X的增函数.又.O0,则有/()V(-f1.)V(-b).其中正确命题的序号是.解析：函数产2?+.什1在(0,+)上是增函数，.错：虽然(一8,一|)、(-1,+)都是v=1.的单调减区间，但求并集以后就不再符合+1.减函数定义，二错：要探讨函数产j5+4x-i的单调区间,首先被开方数5+4-0,解得一IWxW5,由-2,+8不是上述区间的子区间，二错；.f(x)在R上是增函数，且-b,.8-,f()(-h),f(b)(-),()+/()/(-)+/-(-/),因此是正确的.答案：8 .若f=2,；：-2为奇函数,求实数。的值.解：.R,.要使/(口为奇函数,必需J1.只需/
