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1、排列组合基本问题教案1 .排列的概念：从个不同元素中，任取相(J72)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出机个元素的一个排列.2 .排列数的定义：从个不同元素中，任取用(tnn)个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出m元素的排列数，用符号A,l,l,表示3 .排列数公式：A,t,j,=n(n-1)(?-2)(n-m+y)(w,nNmn)4阶乘：!表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘,规定O!=1.nI5.排列数的另一个计算公式：A；=(n-n)6组合的概念：一般地，从个不同元素中取出m(m)个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出m个元素的一个组合.7
2、.组合数的概念：从个不同元素中取出加()个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出根个元素的组合黎.用符号Cr表示.8 .组合数公式：Cm=望=(一1)(“一2)，(-加+1)或C：=:(n,tnwN,且/n)-加(一7)!9 .组合数的性质1：C：=C；.规定：c=l;10 .组合数的性质2：Cz=C：+MT.题型讲作例1分别求出符合下列要求的不同排法的种数(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2) 6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)从6名运动员中选出4人参加4X100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；(4) 6人排成一排，甲、乙必须相邻；(5) 6人排
3、成一排，甲、乙不相邻；(6) 6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边(甲、乙、丙可以不相邻)解：(1)分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为A：=720（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有4种选法，然后其他5人选，有4；种选法，故排法种数为A：8=480（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有A：种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有种选法，其余两棒次不受限制，故有种排法，由分类计数原理，共有用+AA=252种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有=240种排法（5
4、）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有（或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为星一240=480）（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法=120种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻9例2假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品.解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有C）=64446024
5、种（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有CjC；=442320种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有种.第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有CMC种.按分类计数原理有二M6976种.点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有2件是次品）,再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法,那么所得结果是=466288种,其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品
6、是A、B、C,第一步先抽A、B第二步再抽C和其余2件正品，与第一步先抽A、C(或B、C),第二步再抽B(或A)和其余2件正品是同一种抽法，但在算式中算作3种不同抽法.例3求证：A3+=A：；Cr+MT+2C；=C震证明：利用排列数公式(7-l)!w(n-l)!左=rI-7n-tn-)!(n-tn)!(7-)(-1)!+w(77-1)!n.m.二向蕨=诉L，右另一种证法：(利用排列的定义理解)从n个元素中取m个元素排列可以分成两类：第一类不含某特殊元素。的排列有A3第二类含元素a的排列则先从(-1)个元素中取出G-1)个元素排列有AW种，然后将。插入，共有m个空档，故有机A3种，因此A3+A胃=
7、C利用组合数公式左,+n+2！(zw+1)!(m-1)(/H-1)(zz-zw+1)!m(/?-m)!+1)!(一机+1)!(m+ )(n- m +武+2Xe)=需21)! = M=右(n-mn-m+1)+m(m+1)+2(根+1)(一加+1)另法：利用公式c;=C3M推得左二(CF+cD+6+c:T)=C詈+c1=C僵=右点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质.例4已知/是集合A=,O,c,d到集合B=0,1,2的映射(1)不同的映射了有多少个？(2)若要求/()+/0)+f(c)+/(d)=4则不同的映射了有多少个？分析：（1）确定一个映射了,需要确定,b,c
8、,d的像（2） ,6,c,d的象元之和为4,则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计窠解：（I）A中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有3333=3个不同映射.（2）根据,6,c,d对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第一类：没有元素的像为2,其和又为4,必然其像均为1,这样的映射只有一个；第二类:一个元素的像是2,其余三个元素的像必为0,1，这样的映射有=12个;第三类：二个元素的像是2,另两个元素的像必为0,这样的映射有C：=6个.由分类计数原理共有1+12+6=19（个）点评：问题（1）可套用投信模型：n封不同的信投入m个不同的信箱，有
9、加种方法；问题（2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏.例5四面体的顶点和各棱的中点共10个点（1）设一个顶点为A,从其他9点中取3个点,使它们和点A在同一平面上，不同的取法有多少种？的取法有上,除点A有3C；种（2）在这10点中取4个不共面的点，不同多少种？解：（1）如图，含顶点A的四面体的三个面外都有5个点，从中取出3点必与点A共面，共取法,含顶点A的棱有三条，每条棱上有3个点，它们与所对棱的中点共面，共有3种取法根据分类计数原理和点A共面三点取法共有3C：+3=33种.（2）取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，故采用间接法：先不加限制任取4点（C彳种取法）减去4
10、点共面的取法.取出的4点共面有三类：第一类：从四面体的同一个面上的6点取出4点共面，有4C：种取法第二类：每条棱上的3个点与所对棱的中点共面，有6种取法第三类：从6条棱的中点取4个点共面，有3种取法根据分类计数原理4点共面取法共有4C：+6+3=69故取4个点不共面的不同取法有CI一（4C；+6+3）=141（种）点评：由点构成直线、平面、几何体等图形是一类典型的组合问题，附加的条件是点共线与不共线，点共面与不共面，线共面与不共面等.小结：m个不同的元素必须相邻，有种“捆绑”方法m个不同元素互不相邻，分别“插入”到n个“间隙”中的m个位置有P：种不同的“插入”方法.m个相同的元素互不相邻，分别“插入”到n个“间隙”中的m个位置，有C：种不同的“插入”方法.若干个不同的元素“等分”为m个组，要将选取出每一个组的组合数的乘积除以rm
