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1、1.己知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为C(Jl,0)(1)求双曲,线C的方程；(2)若直线/:y=h+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且苏丽2(其中O为原点).求k的取值范围.解：(I)设双曲线方程为与一A=I(0,b0).Crb-由已知得=百,。=2,再由42+匕2=22,得从=1.2故双曲线C的方程为胃-一丁=1.2(II)将y=&+五代入日一科=1得(1-32)x2-62-9=0.fl-3A:20,由直线/与双曲线交于不同的两点得0.即k2工：且左22得工户8+力力2,1JK1而XAX8+%=xAxB(kxA+V2x+2)=(Z:2+1)xxb+2(x+xb)+2
2、=a2+D-9i-3k2+疯舟23k2+l322-厂于是华92,即一3丫+90,解此不等式得3k2-3k2-JVr3.3由、得.-k2bO)的左.右焦点为Fi、F2,离心率为e.直线ab/：y=ex+与X轴.y轴分别交于点A、B,M是直线/与椭圆C的一个公共点，P是点Fl关于直线/的对称点,设府=M.(I)证明：=1e2；(II)确定人的值，使得APFFz是等腰三角形.(I)证法一：因为A、B分别是直线/：y=ex+与X轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是y=ex+a,(-g,O),(O,)Jx2y2e,a2b2X=-Cy得从这里C=J/+从1,y=-C证法二：因为A、B分别是直线/：y=e
3、x+与X轴、y轴的交点，,所以A、B的坐标分别是(0,0),(0,。).e设M的坐标是(Xo,%),由A”=ABW(x0+,%)=4(,。),eer诉IJXO=0(4T)所以jeJo=助因为点M在椭圆上，所以+=l,Crb即【e(+驾.,所以支交+上abe-ee4-2(1-)e2+(I-A)2=0,解得/=1-4即4=1一/.(H)解法一：因为PFiJJ,所以NPFIF2=90+NBAFi为钝角，要使APFFq为等腰三角形，必有IPFRFIF小即gIP6=c.设点Fl到，的能离为d,由LPEi=d=fj=与驾=G2l+e2Jl+/l-e2得白=Jl+/所以小于是T2即当/1=一时,PF1F2为
4、等腰三角形.3解法二：因为PFIjJ,所以NPFF2=90+NBAFi为钝角，要使aPFR为等腰三角形，必有IPFII=IFIF3,所以点M的坐标是(一c,Q.).a1.ZJ/7由 AM= 4A襦(一c + ,一)二之(一,。).解得4= -e2设点P的坐标是(X(Py),-0-1=o+C为+02Xq-Ce+ a.2，一32(1-%=e +1.4fil(e-3)C-2(1e)t72a2由IPFHBF2得/J-+c2+-l-Y=4c2,el1e+1两边同时除以44,化简得(e2-l)2从而e2=-3于是m二1一/PBF.2为等腰三角形.3.设x,y e R ,7、7为直角坐标平面内X轴、y轴正方
5、向上的单位向量，若a=xi+(y+3),b=xi+(y-V3)J,且同+同=4.(I)求点P(x,y)的轨迹C的方程;(H)若A、B为轨迹C上.的两点，满足病=赢，其中M(0,3),求线段AB的长.启思4.已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在由上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA+OB与1=(3,-1)共线.(I)求椭,圆的离心率；(H)设M为椭圆上任意一点，且而=几赤+而(R),证明万+？为定值解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.满分12分.解：设椭圆方程为:=l(bO),F(c,O)ab22则直线AB
6、的方程为y=x-c,代入+今=1,化简得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0.令A),B,y2),则.+8=4，匹勺=由OA+OB=(x1+x2，+372)6z=(3,1),OA+08与。共线，得3(y+%)+(再+)=，又M=Xl-G%=2一。，3.X1 +x2 = C.厂TT6a, C = yci -U =33(X+x2-2c)+(x1+x2)=O,即率工=主，所以M=3.a2+b2222(II)证明：(1)知/=3/,所以椭圆二+4=1可化为/+3y2=3Z.ab设OM=(x,y)，由已知得(x,y)=(xi,y)+(x1,y2),Xx.+LVC1,97-.M(x,y)
7、在椭圆上，.(M+少2尸+3(秋+/O%)?=3Z?.y=肛+x,.即2(%；+3y12)+2(x2+3yj)+2%(x2+3%力)=3从.Qr31由(1)知F+x2=GH2-c2,b2=c2.变式新题型3抛物线的顶点在原点，焦点在X轴上，准线/与X轴相交于点A(T,0),过点A的直线与抛物线相交于P、Q两点,(1)求抛物线的方程；(2)若丽而=0,求直线PQ的方程；(3)设施=A而(入1),点P关于X轴的对称点为M,证明：FM=-FQ.-LJ36.己知在平面直角坐标系XOy中，向量/=(0,1),AOF尸的面积为24，且。/FP=f,OM=I-OP+/.(I)设40)作直线与抛物线交于A、B
8、两点，点Q是点P关于原点的对称点。(I)设点P分有向线段AB所成的比为,证明QP(QA-QB);(H)设直线AB的方程是x2y+12=0,过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。10.已知平面上一定点C(TQ)和一定直线/=-4.P为该平面上一动点，作PQ_L/,垂足为Q,(p+2Pp-2P=o.(I)问点P在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点O是坐标原点，A、8两点在点P的轨迹上，若。4+lOB=(l+;I)OG求丸的取值范围.11 .如图，已知E、F为平面上的两个定点IE/I=6,IFGI=10,且2EH=EG,HPGE=O,(G为动点，P是HP和GF的交点)(1
9、)建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程；(2)若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B,且线段AB的中垂线与EFAQ(或E/的延长线)相交于一点C,则IOClVt(。为E/的中点).GEF12 .已知动圆过定点(1,0),且与直线X=T相切.(1)求动圆的圆心轨迹。的方程；(2)是否存在直线/,使/过点(0,1),并与轨迹C交于P,Q两点，且满足OPOQ=0?若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.13 .已知M(4,0),N(l,0)若动点P满足MNMP=6NP(1)求动点P的轨迹方C的方程；(2)设。是曲线C上任意一点，求Q到直线Lx+2y-12=0的距离的最小值.AB=2,AD=
10、-, BC=-19 .如图，直角梯形ABCD中，NZMB=90。，AD/7BC,椭圆F以A、B为焦点且过点D,(I)建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；1-(II)若点E满足EC=-A3,是否存在斜率2AHOW直线/与椭圆校于MN两点，且IMEI=INEl,若存在，求K的取值范围；若不存在，说明理由。解(1)已知双曲线实半轴。尸4,虚半轴加二2百，半焦距c=V16+20=6,椭圆的长半轴S=S=6,椭圆的半焦距C2=m=4,椭圆的短半轴=16242=同，22所求的椭圆方程为士-+2-=13620(2)由已知A(-6,0)I(4,0),设点P的坐标为(x,y),则AP=(A:+6,y),尸。=。
11、一4,力，由已知得22I=1,3620(x+6)(x-4)+y2=03则2+9x-18=0,解之得=3垢=一6,2352,2由于y0,所以只能取=T，于是=|百，所以点P的坐标为(3)直线4%一6)，+6=(),设点乂是(m,0),则点乂到直线AP的距离是于是加普=|加一6|,又点M在椭圆的长轴上，即-6m6:.tn=2.当机=2时，椭圆上的点到M(2,0)的距离5r24QJ2=(x-2)2+=x2-4x4+20-一=-(x-)2+15又-6x6当x=2时，d取最小值后22解：由2石I函Qsie,得I研而I=逋,由COSe=5区=绊，2SineIOFII尸Pl43得.”更.3分/JlJl.4/3.,.1tan63-l)c2.,.XO=币CSAoFP=I。户I，I%I=26/.J0=-2c8分OPI=&+巾=+怨5卜辰.芈=2610分4A当且仅当3c=-,BPc=2时OP|取最小值2遍,此时,丽=(23,23)cC.OM=y-(23,23)+(0,1)=(2,3)或加=(23-23)+(0,1)=(2-1)12分椭圆长轴2a=(2-2)2(3-0)2+(2+2)2+(3
