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1、二二 项项 式式 定定 理理? ? ) ) b ba a （n n2)ba（3)(ba322333babbaa222baba？100)(ba)()(bababa)(22bbaababa2ababa3a2baba23bbabab24()ab？bCCaCab22212202观察下面两个公式，从右边的项数、每项的观察下面两个公式，从右边的项数、每项的次数、系数进行研究，你会发现什么规律？次数、系数进行研究，你会发现什么规律？ba)b+a (+=ab2222bbaa)b+a (+a+b+=3223333项数比左边次数多项数比左边次数多1；每项次数均为；每项次数均为左边指数，左边指数，a,b指数指数a降
2、降b升；系数升；系数33231303221202CCCCCCC，；， bCbCaCaCab333223213303猜想：猜想：(a+b)4= (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开后，会是什么样呢？你展开后，会是什么样呢？你能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗？能从项数、次数、系数这几个方面谈一谈吗？展开式中，每一项是怎样得到的？展开式中，每一项是怎样得到的？ 既然这样，每一项的次数都应为几次？既然这样，每一项的次数都应为几次？ （4次）次） 展开后具有哪些形式的项呢？展开后具有哪些形式的项呢？ (a4，a3b，a2b2，ab3，b4)探索：探索：(a+b)4= (a+b) (a
3、+b) (a+b) (a+b)在上面在上面4个括号中：个括号中：每个都不取每个都不取b，有，有 种取法，种取法，a4的系数的系数 恰有个取恰有个取b，有，有 种取法，种取法，a3b的系数的系数 每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项每一项在展开式中出现多少次，也就是展开式中各项系数为什么？系数为什么？ C04C04C14C14 恰有个取恰有个取b b，有，有种取法，种取法，a2b2的系数的系数恰有个取恰有个取b，有，有 种取法，种取法，ab3的系数的系数 个都取个都取b， 有有种取法种取法 , b4的系数的系数44C44C24C24C34C34C因此：因此：44433422243144
4、044)(bCabCbaCbaCaCba04C14C24C34C44C特点：特点：项数比次数多项数比次数多1；每项次数为左边指数；每项次数为左边指数4，a降降b升；升；系数为系数为按上述规律，我们能将按上述规律，我们能将(a+b)n展开吗？展开吗？ 二项式定理：二项式定理：nba,1baannrrnbanb0nCna0nC1nCban 11nCrnCrrnbarnCnnCnbnnCn n0n1n-12n- 22rn- rrnn0n1n-12n- 22rn- rrnnnnnnnnnnnn(a+ b)(a+ b)= C a + C ab+ C ab + C ab + C b= C a + C ab
5、+ C ab + C ab + C brrnrnbaC叫二项展开式的通项，叫二项展开式的通项， 用用Tr+1表示即：表示即： Tr+1=rrnrnbaC nba rnCnnnrrnnnnCCCCx2211)1 (1 1、弄清定理结构特征、弄清定理结构特征： 项数项数：n+1 次数次数：n，a降降b升升，和为和为n 系数：系数：rnC2、二项式系数与项的系数不同、二项式系数与项的系数不同 二项式系数是组合数，而项的系数是该项的数字因数二项式系数是组合数，而项的系数是该项的数字因数 3、通项公式可用求展开式中任意一项，求时必需、通项公式可用求展开式中任意一项，求时必需 明确明确r=？，一般地，比所
6、说的第几项少？，一般地，比所说的第几项少1 通项是针对通项是针对(a+b)n的标准形式而言，而的标准形式而言，而(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为的通项则分别为:rrnrnrrrnrnrbaCTabCT)(;11注意：注意： 4、在定理中，令在定理中，令a=1，b=x，则，则nnnrrnnnnnxCxCxCxCCx2210)1 (例例 141(1)x411233444411111(1)1( )( )( )( )CCCxxxxx 23446411xxxx 解解: : 展展 开开 解解：6663061524233366663424556666612x-11(2 x-) =() =(2x-1)
7、xxx1=C (2x) +C (2x) (-1)+C (2x) (-1) +C (2x) (-1)x+C (2x) (-1) +C (2x)(-1) +C (-1) =例例2：展开：展开6)12 (xx （先化简，再展开）（先化简，再展开） 计算出结果即可计算出结果即可例例3：求：求(x+a)12展开式中倒数第展开式中倒数第4项项 分析：倒数第分析：倒数第4项，是第几项？用通项公式时，项，是第几项？用通项公式时，r=？ 解：展开式共解：展开式共13项，倒数第项，倒数第4项为它的第项为它的第10项项T9+1=93933129912912220 axaxCaxC9x1x)( 7(12 )x7(12
8、 )x3337132802C )(7(12 )x9x1x)( r29r9rrr9r91rC11C )()(3 84C1393 )(3 84C39 求二项展开式的某一项,或者求满足某种条 件的项,或者求某种性质的项,如含有 项 的系数,有理项,常数项等,通常要用到二项 式的通项求解. 注意(1)二项式系数与系数的区别. (2) 表示第 项.rrnrnrbaCT1r例题点评例题点评3x1、二项式定理及结构特征、二项式定理及结构特征nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba222110)( 2、二项式系数与项系数不同、二项式系数与项系数不同rrnrnbaC 作用：求任一项；求某一项系数作用：求任一项；求某一项系数 关键：明确关键：明确r 3、通项公式通项公式Tr+1=nnnrrnnnnnxCxCxCxCCx2210)1 ( 4 4、定理特、定理特例例小结：小结：
