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1、水平面水平面一一 功功研究力的空间累积及效果。研究力的空间累积及效果。F 而路程而路程 是由是由A到到B的位移的位移 的大小，且的大小，且 是恒力是恒力 和位和位移移 的夹角的余玄。故上式可表述为的夹角的余玄。故上式可表述为SSScos第五节第五节 功功 动能定理动能定理 1 恒力的功恒力的功力的大小和方向不变。力的大小和方向不变。定义（略）定义（略）FsAB 设物体沿直线由设物体沿直线由A运动到运动到B，一恒力，一恒力 作用在物体上。该过程作用在物体上。该过程中的该力的功为中的该力的功为FFtSFSFWtcos 式中式中 是恒力在物体运动方向上的投影，可见，仅力是恒力在物体运动方向上的投影，
2、可见，仅力的切向分量作功。的切向分量作功。 是路程。功是标量。是路程。功是标量。cosFSSFW平面平面2 变力的功变力的功F设一变力设一变力 作用在物体上，如何求其功。借用恒力功的思想。作用在物体上，如何求其功。借用恒力功的思想。FAB把由把由A到到B分成一系列小位移分成一系列小位移sssi,21则整个过程的功则整个过程的功sFWiNiiBA1si元位移上的功为元位移上的功为cosiiiiiisFsFW（变中又不变的思想）（变中又不变的思想）s1s2siFFii令令dssiisdFWBAFFis1s2siisd1sd2sdF相对性相对性（解释略（解释略)能量传递与交换的量度。能量传递与交换的
3、量度。过程量过程量特性：特性：3 功的常用计算功的常用计算dsFsdFWcos直接用定义式直接用定义式或或dsFWt 为力矢量在瞬时速度方向（运动方向）上的投影，可见仅切为力矢量在瞬时速度方向（运动方向）上的投影，可见仅切向力作功，切向力与速度同向，为正，做正功：反之做负功。向力作功，切向力与速度同向，为正，做正功：反之做负功。式中，式中， 为力矢量为力矢量 与瞬时速度与瞬时速度 （即元位移（即元位移 ）间夹角，而）间夹角，而 为元位移为元位移 大小，即路程大小，即路程 。FVsdsddsdsFt合力的功合力的功 sdFsdFsdFW21合合合力的功为各分力的功的代数和。合力的功为各分力的功的
4、代数和。WijdyidxjFiFsdFWyxdyFdxFyx在坐标系下在坐标系下kdzjdyidxsd则有则有 式中的式中的 为代数量，为力为代数量，为力 在选定坐标轴上的投影。在选定坐标轴上的投影。FFyx,F第一物体受的力与其对第二物体相对的元位移点积为元功。第一物体受的力与其对第二物体相对的元位移点积为元功。rdF1210WrdFW121rdFW212或或 一对作用力力和反作用力的功一对作用力力和反作用力的功rdFrdFW2211FF21rdFrdFW2111rrdFW211rdFW121r1r212o参照物参照物F1F2rd1rd2rr21AB设一物体由设一物体由A运动到运动到B。物体
5、受合力为变力。物体受合力为变力。F合力的元功为合力的元功为sddsFsdFdWcosdsFtFtmVdVdtdsmdVdsdtdVmmVd221mVmVmVdVdWWVV2122212121由由A到到B过程中合力的功过程中合力的功V1V2动能动能mVEk221二二 动能定理动能定理动能定理：合外力的功等于物体动能的增量。动能定理：合外力的功等于物体动能的增量。EEWkk12合 说明说明mVEk221该式为过程公式，有相对性。该式为过程公式，有相对性。（1）瞬时性；）瞬时性；（2）相对性；）相对性； （3）机械运动的本领。源于外界对研究体做功，而有动能表）机械运动的本领。源于外界对研究体做功，而
6、有动能表明其有对外做功的本领及明其有对外做功的本领及机械运动转化为其他形式运动的能力。机械运动转化为其他形式运动的能力。是机械运动转化为其他形式运动的能力的量度。是机械运动转化为其他形式运动的能力的量度。EEWkk12合 例例 115 质量为质量为 的质点从静止出发沿的质点从静止出发沿X轴正向运轴正向运动，受力为动，受力为 ，试求在头三秒内该力的功。，试求在头三秒内该力的功。kgm2 Ni tF12解：解：tVdttdxsdFW1212dtmFadtVtt00t 32JdtttW729312230 例例 116一根长度为一根长度为 的链条，放在摩擦系数为的链条，放在摩擦系数为 的桌面上的桌面上
7、，下长为，下长为 ，链从静止开时下滑，求其刚离开桌面时的速率。，链从静止开时下滑，求其刚离开桌面时的速率。laoxx解：解：下落过程中，摩檫力为变力，表示为下落过程中，摩檫力为变力，表示为glmxlfr功为功为dxglmxldxfWlarrlaalmg222lmgamglgxdxlmWla222重mVWWr221重allmg22alallgV222 水平地面水平地面1 重力的功重力的功 计算把物体由计算把物体由 移动到移动到 过过程中重力的功。程中重力的功。 aabbgml d元功元功mgdhl dgmdWoh则则mghmghmgdhWbabahhbamghmghabhahbc特点：特点：a
8、重力的功只决定于始末位置，与路径无关。重力的功只决定于始末位置，与路径无关。第六节第六节 势能势能 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律一一 保守力的功保守力的功 势能势能式中的式中的 为代数量，此处为代数量，此处dh0dhWWbcaba水平地面水平地面gm b 沿闭合回路的功为零。沿闭合回路的功为零。0ldgm或或0 ldg称为重力场中的环流定律。称为重力场中的环流定律。 具有上述条件的力为具有上述条件的力为保守力保守力，相应的场为，相应的场为保守力场保守力场。因此，。因此，重重力是保守力，重力场为保守力场力是保守力，重力场为保守力场。如如万有引力万有引力，静电力静电力等皆为保守力
9、。而摩擦力等为等皆为保守力。而摩擦力等为耗散力。耗散力。3 重力势能与重力的功的关系重力势能与重力的功的关系EEEWpPp1221 结论：结论：重力的功等于重力势能增量的负值。与零势能面的选重力的功等于重力势能增量的负值。与零势能面的选择无关，功值是绝对的。择无关，功值是绝对的。2 重力势能重力势能mghEp （2）相对性，与零势能面的选择有关。选择不同的零势能面，）相对性，与零势能面的选择有关。选择不同的零势能面，势能间差一常数。势能间差一常数。（1）系统性；）系统性；特点：特点：0mghEp0mghEp或或 （3）重力势能本质：为静态储能，源于外力克服重力所做的）重力势能本质：为静态储能，
10、源于外力克服重力所做的功。物体有势能，则具有做功的本领，通过重力做功而释放，或功。物体有势能，则具有做功的本领，通过重力做功而释放，或实现机械能与其它能的转化。实现机械能与其它能的转化。Fop0 例例 1-18 如图所示的单摆，用一水平力如图所示的单摆，用一水平力 ，在准静态过程中，在准静态过程中，把摆球从平恒位置把摆球从平恒位置 拉到使摆线与铅直方向成拉到使摆线与铅直方向成 o角。求此过程中角。求此过程中力力 的功。的功。FFo解：准静态过程，即为解：准静态过程，即为TTgmgmF0TFgm则则mgtgF 在球运动中，在球运动中， 变化，故变化，故 为变力。为变力。F解法一解法一 ，按定义，
11、按定义ldmgtgdsFsdFW00coscossdlmxxFop0l选坐标轴向右为正方向，选坐标轴向右为正方向，解法二解法二dlmgtgldFdxFWxcossin00cos10mglsinlx 则功可为则功可为若选坐标轴向左为正方向，则功可为若选坐标轴向左为正方向，则功可为dlmgtgldFdxFWxcossin00 sinlxcos10mglxxxxxFop0ldxxlxmgdxmgtgdxFdxFWxx220000解法三解法三解法四解法四0TFgmTgmFsdgmsdTgmsdFdmglldmgsin2coscos1sin000mgldmglWTgmF解法五解法五Fop0l零势能面零势
12、能面Ep1Ep201212cos1 mglEEEEsdgmsdFWPPPP鱼类省力不省功向上爬行2 弹性力的功弹性力的功光滑水平面光滑水平面mko平衡位置平衡位置 o0Fi 弹性力弹性力变力变力kxF mkFxkxkxkxdxWxxxx212221212121 物体从物体从 到到 移动中移动中弹性力的功弹性力的功x1x2x1x2功的特点同重力功，故弹性力也称保守力功的特点同重力功，故弹性力也称保守力 。 引入弹性势能引入弹性势能kxEP221 例题例题 （4） 弹性力的功与弹性势能的关系弹性力的功与弹性势能的关系EWp保守力的功等于势能增量的负值。保守力的功等于势能增量的负值。x2与形变量平方
13、与形变量平方 正比。正比。（1）弹性势能零点选在弹簧未伸长处；）弹性势能零点选在弹簧未伸长处； 弹性势能特点弹性势能特点kxEP221（2）弹性势能是形变能；）弹性势能是形变能； （3）弹性势能零点也可选在弹簧拉压变化的任何位置；只是）弹性势能零点也可选在弹簧拉压变化的任何位置；只是形式稍复杂，要在上式中附加常数。形式稍复杂，要在上式中附加常数。3 万有引力的功万有引力的功MrmrMmGF2万有引力的大小万有引力的大小FrrMmGF3 对对 作用力矢量式作用力矢量式MmABsdsdFdW元功元功FdrFdscosdr为什么有一负号呢，原因是此情性下的为什么有一负号呢，原因是此情性下的 是是钝角
14、，元功为负，钝角，元功为负， 。而。而 0drdrrMmGWrr221 rMmGrMmG12r1r2例题例题引力势能引力势能rMmGEp0E万有引力的功的性质同重力功的性质，故万有引力也为保守力。万有引力的功的性质同重力功的性质，故万有引力也为保守力。EEEWPPP12万有引力的功与引力势能的关系万有引力的功与引力势能的关系引力势能引力势能零点选在无限远处。零点选在无限远处。MrmFABsdsdFdW元功元功FdrFdscosdr为什么有一负号呢，原因是此情形下的为什么有一负号呢，原因是此情形下的 是是锐角，元功为正，但锐角，元功为正，但 。而。而 0drrMmGF2drrMmGW2 ABMr
15、mFsdrsdFdW元功元功drrMmGFdrdxFWdx2dyFdxFyxjdyidxjFiFyx取取 方向为方向为 方向，而力总沿方向，而力总沿 方向方向，故仅，故仅 方向的力作功方向的力作功rxrrRMmGRMmGdrrMmGWRR12221 R1R2RMmGRMmG12引力势能引力势能引力的功引力的功rMmGEpEWp引力0E4 几点说明几点说明EEEWPPP12保ab 势能的物理本质势能的物理本质 物体在某一位置时的势能为把该物体由势能零点移到该物体在某一位置时的势能为把该物体由势能零点移到该点过程中外力克服保守力所做的功。点过程中外力克服保守力所做的功。 c 势能是潜能。势能是潜能
16、。相互作用能。是系统的能量。它同样代表了物相互作用能。是系统的能量。它同样代表了物体作功的本领。体作功的本领。d 由势能求保守力由势能求保守力zyxEEpP,空间坐标的函数。空间坐标的函数。EWP保dEWdP保dEdzFdyFdxFsdFdWpzyx保保xEFpxyEFpyzEFpz xfxkEp221弹性势能弹性势能弹性力弹性力kxdxdEFp引力势能引力势能万有引力万有引力rMmGEprMmGdrdEFp2例如例如 二二 功能原理功能原理 机械能守恒律机械能守恒律单一质点的动能定理单一质点的动能定理EEWkk12合把动能定理推广到物体系，该物体系中，第把动能定理推广到物体系，该物体系中，第i个质点的动能定理为个质点的动能定理为EEWikiki12合EEWikNiikNiiNi11211合物体系的动能定理为物体系的动能定理为niiWW1合体系合EEKK21EEWKK12体系合则则WWWW体系非保守内力体系保守内力体系外力体系合又又EEKK12EPW保守内力而而令令niikKEE1体系的动能变化体系的动能变化 机械能机械能EEEPK EEEEEEEEEEEEWWPKPKKKPPKP12
