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1、1四四. 电势的计算电势的计算方法（一）方法（一）先求出先求出点电荷点电荷电场的电势电场的电势再根据再根据叠加原理叠加原理求任意求任意有限大有限大带电体电场的电势带电体电场的电势1. 点电荷点电荷q场中任一点（场中任一点（ ）处的电势）处的电势rPPlEud 因积分与路径无关，所以选从因积分与路径无关，所以选从P点点沿径向方向到处，即：沿径向方向到处，即：rrPPrrqrElEud4dd20rqrqr004)1(4在点电荷在点电荷q电场中，电场中， 是电场中空间位置（是电场中空间位置（ ）的）的单值函数单值函数ru)(ru球对称分布球对称分布2 把带电体分成无限多个电荷元把带电体分成无限多个电
2、荷元d q，每个电荷元，每个电荷元d q 在在P点的电势点的电势2. 点电荷系电场中任一点的电势，是各点电荷单独存在时点电荷系电场中任一点的电势，是各点电荷单独存在时在该点电势的代数和在该点电势的代数和iiiPrqu043. 任意带电体的电场中，任意带电体的电场中， u的分布的分布rqu04dd则从叠加原理：则从叠加原理：VrVrquu004d4ddV产生电场的源电荷所占据的整个空间产生电场的源电荷所占据的整个空间r从源点从源点d q到场点到场点P引的矢径的大小引的矢径的大小3方法（二）方法（二） 按定义式计算按定义式计算 已知电场中已知电场中 的分布的分布E参PPlEud例例1 一均匀带电圆
3、环，求中心轴线上任一点的电势一均匀带电圆环，求中心轴线上任一点的电势（首先写出从（首先写出从P参考点，参考点， 的数学表的数学表式）式）E五五. 电势计算例题电势计算例题1. 利用电势叠加原理求电势利用电势叠加原理求电势建立如图坐标系，环上任一小段建立如图坐标系，环上任一小段d q在在P点的电势：点的电势：RPOxdqr解解: :0dd4qur220d4lRx22200d4RpluRx22024RRx叠加原理：叠加原理：u沿沿x的分布规律的分布规律4例例2 一均匀带电圆盘一均匀带电圆盘R，s s，求中心轴线上任一点的电势，求中心轴线上任一点的电势PrxORrdx建立如图坐标系，取一建立如图坐标
4、系，取一带电圆环带电圆环r，d r解解: :2202dd4r rurxs2200dd2Rprruurxs Rxrrr0220d2s)(2220 xxRs5当当 x R 时时)(2220 xxRuPs利用：在利用：在 时时1x2!2)1(1)1(xnnnxxn)211 ()1 (22212222xRxxRxxRxRx2220220220422)(2RqxRxRxxRussxq04等同于电荷集中在盘心处的一个点电荷的电场等同于电荷集中在盘心处的一个点电荷的电场当当 x =0 时时02sRuo62. 利用定义式计算电势利用定义式计算电势自看书上自看书上:例例8.20（选看），（选看），8.21 例例
5、1 均匀带电球面均匀带电球面 R，q，求电势分布，求电势分布o已知已知 的分布：的分布：ERrRrrrqE0420解解: :r =R处，处，E值突变、不连续值突变、不连续因为是有限大带电体，因为是有限大带电体，从从u的定义：的定义：0u令r R处处rqrrqlEurPP0204d4dr R处处RRPPPlElElEuddd外内RqrrqR0204d40r = R处处RquP047 均匀带电球面是个等势体，球内、球面处的均匀带电球面是个等势体，球内、球面处的u均为均为 ，球外球外u的分布和的分布和点电荷点电荷电场一样：电场一样：Rq04EorR21rE uorRru1例例2 二均匀带电同心球面二
6、均匀带电同心球面 R1， R2 ，带电，带电 Q ，求，求u的分布的分布-QR1R2+QABC0:4:0:322022111ERrrQERrRERr已知已知 的分布：的分布：E解解: :8因为是有限大带电体，因为是有限大带电体，0u令r R12211dddd321RRRRrrAlElElElEuAA)11(4d42102021RRQrrQRRR1 r R20d CrClEuuorR2R1二球面间电势差：二球面间电势差：)11(4d4d21020122121RRQrrQlEuRRRR9六六. 电势计算练习电势计算练习（续）（续）（自看书上（自看书上:例例8-14,18,19,2125）例例1 利
7、用叠加原理，求以下问题：利用叠加原理，求以下问题：（1）二均匀带电同心球面）二均匀带电同心球面R1, R2 , 带电带电 Q , 求求u 。 -QR1R2+Qr R1R1 r R2201044RQRQu20044RQrQu04400rQrQuR1R2R3Q1Q2Q3P r2014rQEP30320201444RQRQrQuP10（2）均匀带电球面）均匀带电球面R, Q , 中心有一点电荷中心有一点电荷q, 求求 )(ru)(rERQq)(ru)(rE12022044qrRErrqQrRErrRQquRrrQquRrRQrquRr002001444411例例2 二个无限大带电面二个无限大带电面
8、s s，求，求u （负板接地）（负板接地）dxss s s01E20Es 03EE:u0d11参PxEu0220000dddPxxuExixixxsss參dxxExExEudddxP0000233d0dddss参dxss s soEdxss s sou12例例3 求无限长均匀带电圆柱面（求无限长均匀带电圆柱面（R ）电场中）电场中u的分布的分布RrRrrE020rrPrrlEud2d0若选若选 为参考点，为参考点，则则以上结果不合理。以上结果不合理。当电荷延伸到当电荷延伸到 处，不能取处，不能取 处为电势零处为电势零点点任取为任取为P0参考点，则在参考点，则在r R处一点处一点P)ln(ln2
9、d2d00000rrrrlEurrPPP一般可写为：一般可写为：Cln20ruPP0rPr0后一项是常数项，若取后一项是常数项，若取r0 =1 ，则，则C=0当选当选r0 =1m处为势能零点处为势能零点ruPln20r 0r 1 处处 u 013例例4 二同轴无限长均匀带电圆柱面（二同轴无限长均匀带电圆柱面（ R1 R2 ）,求求u的分布的分布R1R2 rP0r0Pro01Er R1R1 r R203E参考点取在参考点取在P0点点, ,在在 R1 r 0在等势面在等势面u上任取一点上任取一点P ，过，过P点作等点作等势面的正法线势面的正法线n规定：规定：正法线正法线 的方向指向电势的方向指向电
10、势升高的方向，升高的方向， 指向电势降落的方指向电势降落的方向。向。nE下面讨论下面讨论P点的点的 和和u的关系的关系EnlEnduu+duPldP/18P点的点的u如何变化？如何变化？（在（在P点附近很小的范围内）点附近很小的范围内）1. u沿正法线方向如何变化？沿正法线方向如何变化？nlEnduu+duPldP/从功能关系入手，将单位正电荷从功能关系入手，将单位正电荷沿沿 方向从方向从PP/n电场力的功电场力的功 = = 电势能减少电势能减少unEnEdddnnuEnuEdddd或E 上式说明电场中任一点上式说明电场中任一点P处处 的大小等于过的大小等于过P点等势点等势面正法线方向上电势的
11、变化率面正法线方向上电势的变化率 。 的方向指向的方向指向u下下降的方向。降的方向。Enudd192. u沿任一方向沿任一方向 如何变化？如何变化？lnlEnduu+duPldP/Q将单位正电荷从将单位正电荷从P点沿点沿 方向到方向到Q点点l电场力的功电场力的功 = = 电势能减少电势能减少ulElElEldd)cos(ddluElddlE 上式说明，上式说明，P点的点的 在在 方向上的分量方向上的分量 等于等于P点的点的电势在电势在 方向的变化率的负值。方向的变化率的负值。 的方向指向的方向指向u下降的方下降的方向。向。ElllE 取不同的方向，电势的变化率不同。问：在哪个方向取不同的方向，
12、电势的变化率不同。问：在哪个方向上电势的变化率最大。上电势的变化率最大。在正法线方向上在正法线方向上l20 在直角坐标系中，在直角坐标系中，已知已知 u (x,y,z) ，求，求 在一个标量场在一个标量场 中，可以定义一个矢量中，可以定义一个矢量 ，用该矢，用该矢量表示场中各点标量变化的规律。量表示场中各点标量变化的规律。)(rE)(ru 在此标量场中引入一个矢量，叫做这个标量的梯度矢量，在此标量场中引入一个矢量，叫做这个标量的梯度矢量，即电势梯度矢量。它反映了在电场中电势逐点变化的规律，即电势梯度矢量。它反映了在电场中电势逐点变化的规律，记为：记为：)(graduu电势梯度矢量电势梯度矢量方
13、向：方向：电势变化率最大的方向为该矢量的方电势变化率最大的方向为该矢量的方向（即：向（即：该点所在等势面的正法线方向该点所在等势面的正法线方向）大小：大小：电势变化率的最大值为电势梯度的大电势变化率的最大值为电势梯度的大小（即：小（即：沿正法线方向的变化率沿正法线方向的变化率）ExuxEyuyEzuzE()graduuuxyzEijku gradu称为电势称为电势u的梯度，表示函数的梯度，表示函数u在在点点P (x,y,z)附近如何变化的一个矢量附近如何变化的一个矢量21Eu和和 的关系：的关系：uEgradluEnnuEllu 即电势沿即电势沿 方向的方向导数（偏微商），其大小即方向的方向导
14、数（偏微商），其大小即 在在 方向的分量方向的分量 ，负号表示，负号表示 的方向是指向的方向是指向 减小的方向。减小的方向。llElEulE例例1： 已知点电荷的电势分布已知点电荷的电势分布求电场分布求电场分布rqu0420dd4uqErr E的方向沿的方向沿 方向，即电势降低的方向。方向，即电势降低的方向。r22例例2：均匀带电圆环轴线上一点的均匀带电圆环轴线上一点的2204xRqu例例3：已知某电场中电势的分布已知某电场中电势的分布求电场分布求电场分布)(4220yxqu23220)(4xRqxE的方向沿的方向沿x方向，即电势降低的方向。方向，即电势降低的方向。00224ddqxxqxuE
15、x02ddqyyuEy0zEjqyiqxE0022xxRqxuEx2)(214dd23220则：则：23 和和 都是描写电场分布的空间位置的单值函数。但都是描写电场分布的空间位置的单值函数。但 和和 之间没有简单的正比对应关系。之间没有简单的正比对应关系。 不能仅从场中一点的不能仅从场中一点的 推出该点的推出该点的 ，反之也不行。，反之也不行。EuEuuE 是是 从场中某点从场中某点P到参考点的积分结果。到参考点的积分结果。的大小与从的大小与从P到参考点的整个路径上的到参考点的整个路径上的 都有关：都有关：EPuPuE参PPlEud 是是 在一个小范围内的微分结果。在一个小范围内的微分结果。
16、是在是在P点附近小范围内电势梯度的负值，点附近小范围内电势梯度的负值，即：即： 与与P点附近点附近 的局部变化率有关：的局部变化率有关：EEPEuuuEgradluEnnuEl即：24EE问：问：均匀处，均匀处， 均匀。均匀。 对否？对否？处，处， 。小处，小处， 低。低。大处，大处， 高。高。E0Euuu0u不对！不对！Eunudd的大小，取决于的大小，取决于 的大小的大小, ,而不是取决于而不是取决于 的大小。的大小。如：如：均匀带电球面内均匀带电球面内RQuE040均匀带电球面是一个等势体，均匀带电球面是一个等势体， 的变化的变化率恒为零，所以：面内率恒为零，所以：面内0Eu又如：又如：oxss s sA AB B二板内二板内 均匀，但从正板到负板，电势均匀，但从正板到负板，电势逐点减小，电势的变化率均匀逐点减小，电势的变化率均匀E0ddsxuExu0s前面的计算：前面的计算：Eu负号表示负号表示 的方向指向的方向指向 减小的方向，逆减小的方向，逆x 轴方向轴方向
