《数学建模初等模型.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模初等模型.ppt（47页珍藏版）》请在第壹文秘上搜索。
1、数学建模数学建模（Mathematical Modeling)第二章第二章 初等模型初等模型理学院理学院线性代数模型线性代数模型初等模型初等模型第二章极限、最值、积分问题的初等模型极限、最值、积分问题的初等模型经济问题中的初等模型经济问题中的初等模型重点重点:各种简单的初等模型各种简单的初等模型难点难点:简单初等模型的建立和求解简单初等模型的建立和求解生活中的问题生活中的问题 理学院理学院建模举例建模举例2.1 生活中的问题生活中的问题2.1.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四
2、条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。理学院理学院模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离
3、四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离xBADCOD C B A 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性理学院理学院用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0
4、; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地理学院理学院模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子将椅子旋转旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f( /2)=0 , g( /2)0.令令h( )= f( )g( ), 则则h(0)0和和h( /2)0.由由 f, g的连续性知的连续性知 h为连续函数为连续函数, 据连续函数的基本性据连续函
5、数的基本性质质, 必存在必存在 0 , 使使h( 0)=0, 即即f( 0) = g( 0) .因为因为f( ) g( )=0, 所以所以f( 0) = g( 0) = 0.评注和思考评注和思考建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本假设条件的本质与非本质质 考察四脚呈长方形的椅子考察四脚呈长方形的椅子 和和 f( ), g( )的确定的确定理学院理学院 2.1.2 分蛋糕问题分蛋糕问题妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下对哥哥说，你能过这
6、一点切一刀，使得切下的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题，你。哥哥利用高等数学知识解决了这个问题，你知道他用的是什么办法吗？你知道他用的是什么办法吗？问题归结为如下一道证明题：问题归结为如下一道证明题： 已知平面上一条已知平面上一条没有交叉点没有交叉点的的封闭曲线，封闭曲线，P是曲线所围图形上是曲线所围图形上任一点，求证：一定存在一条过任一点，求证：一定存在一条过P的直线，将这图形的面积二等的直线，将这图形的面积二等分。分。理学院理学院只证明了直线的存在性，只证明了直线的存在性，你能找到它么？你能找到它么？P?PS1
7、S2l若若S1 S2 不妨设不妨设S1S2(此时此时l与与x轴正向的夹角记为轴正向的夹角记为 ) 0以点以点P为旋转中心，将为旋转中心，将l按逆时按逆时针方向旋转，面积针方向旋转，面积S1，S2就就连连续依赖于续依赖于角角 的变化，记为的变化，记为 21,SS 21SSf令：令：而而 在在 上连续，且上连续，且 f00,010200fSS010200fSS由零点定理得证由零点定理得证。理学院理学院 2.1.3出租车收费问题出租车收费问题某城市出租汽车收费情况如下：起价某城市出租汽车收费情况如下：起价10元元（4km以内），行以内），行程不足程不足15km，大于等于，大于等于4km部分，每公里车
8、费部分，每公里车费1.6元元；行程；行程大于等于大于等于15km部分，每公里车费部分，每公里车费2.4元元。计程器每。计程器每0.5km记记一次价。一次价。 例如，当行驶路程例如，当行驶路程x（km）满足）满足12x12.5时，按时，按12.5km计价；当计价；当12.5 x13时，按时，按13km计价；计价； 例如，等候时间例如，等候时间t(min)满足满足 2.5t5时，按时，按2.5min计价收费计价收费0.8元；元；当当5t0为比例常数为比例常数)。1.建立细菌繁殖的数学模型。建立细菌繁殖的数学模型。2.假设一种细菌的个数按指数方式增长，下表是收集到的假设一种细菌的个数按指数方式增长，
9、下表是收集到的近似数据。近似数据。天数天数细菌个数细菌个数5936102190 由于细菌的繁殖时连续变化的，由于细菌的繁殖时连续变化的，在很短的时间内数量变化得很小，在很短的时间内数量变化得很小，繁殖速度可近似看做不变。繁殖速度可近似看做不变。理学院理学院解解:建立数学模型建立数学模型将时间间隔将时间间隔t分成分成n等分，在第一段时间等分，在第一段时间 内，细菌繁殖的数内，细菌繁殖的数量为量为 ，在第一段时间末细菌的数量为，在第一段时间末细菌的数量为 ，同样，同样，第二段时间末细菌的数量为第二段时间末细菌的数量为 ；以此类推，最后一段；以此类推，最后一段时间末细菌的数量为时间末细菌的数量为 ，
10、经过时间，经过时间t后，细菌的总数是后，细菌的总数是nt，0ntkA0ntkA 10201ntkAnntkA10ktnneAntkA001limkteAy0设细菌的总数为设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：则所求的数学模型为：理学院理学院现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为128平方分米，上下空白个平方分米，上下空白个2分米，两边空白个分米，两边空白个1分米，如何分米，如何确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？8128422442xxyxs最小最小令此式对令此式对x的导数为的导数为0，解得：
11、，解得：x=16,此时此时y=8,可使空白面积可使空白面积最小。最小。其中其中0 s这个问题可用求一元函数最值的方法解决这个问题可用求一元函数最值的方法解决x21y 思考思考：若海报改为左右两栏，横：若海报改为左右两栏，横向粘贴，印刷面积为向粘贴，印刷面积为180平方分米，平方分米，要求四周留下空白宽要求四周留下空白宽2分米，留分米，留1分米分米宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总宽竖直中缝。如何设计它的尺寸使总空白面积最小空白面积最小?理学院理学院 对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中对某工厂的上午班工人的工作效率的研究表明，一个中等水平的工人早上等水平的工人早上8：00开始工作，在
12、开始工作，在t小时之后，生产出小时之后，生产出 Q(t)=-t3+9t2+12t 个晶体管收音机。个晶体管收音机。问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？问：在早上几点钟这个工人的工作效率最高？工人上班效率问题工人上班效率问题工作效率最高，即生产率最大，工作效率最高，即生产率最大，此题中，工人在此题中，工人在t t时刻的生产率时刻的生产率为产量为产量Q Q关于时间关于时间t t的变化率：的变化率：Q Q(t)(t)，则问题转化为求，则问题转化为求Q Q(t)(t)的的最大值最大值解：工人的生产率为解：工人的生产率为 0186 ttQtR 121832tttQtR比较比较R(0)=12,R(3)
13、=39,R(4)=36,知知t=3时，即上午时，即上午11：00，工人的工作效率最高。工人的工作效率最高。理学院理学院 一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子进价每听子进价每听30美分，外地牌子的进价每听美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计，美分。店主估计，如果当地牌子的每听卖如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖美分，外地牌子卖y美分，则每天可美分，则每天可卖出卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果听外地牌子的果汁。汁。问：问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大店主每天
14、以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？收益？最大利润问题最大利润问题想一想高等数学中二想一想高等数学中二元函数求最值的方法元函数求最值的方法解：解：每天的总收益为二元函数：每天的总收益为二元函数： yxyyxxyxf768040457030,0 xf令令 ， ，则有驻点，则有驻点x=53,y=55判断可知判断可知（53，55）为最大值点。为最大值点。0yf理学院理学院一零售商收到一船共一零售商收到一船共10000公斤大米，这批大米以常量每月公斤大米，这批大米以常量每月2000公斤运走，要用公斤运走，要用5个月个月 时间，如果贮存费是每月每公斤时间，如果贮存费是每月每公斤0.01元，元，5个
15、月之后这位零售商需支付贮存费多少元？个月之后这位零售商需支付贮存费多少元？商品的贮存费问题商品的贮存费问题将区间将区间0t5分为分为n个等距的小区间，任取第个等距的小区间，任取第j个小区间个小区间【tj,tj+1】，区间长度为，区间长度为tj+1-tj=t，在这个小区间中，在这个小区间中， 每公斤贮存费用每公斤贮存费用=0.01 t 第第j个小区间的贮存费个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)t 总的贮存费总的贮存费= njjttQ101. 0由定积分定义：由定积分定义： 总贮存费总贮存费= 元25020001000001. 001. 01050dttdttQ解解 ：令令Q(t)表示表示t个月
16、后贮存大米的公斤数，则个月后贮存大米的公斤数，则 Q(t)=10000-2000t理学院理学院某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午1：00至至6：00之间，次口在之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为：时刻的平均车辆行驶速度为： S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)左右，试计算下午左右，试计算下午1：00至至6：00内的平均车辆行驶速度？内的平均车辆行驶速度？车辆平均行驶速度问题车辆平均行驶速度问题解解 ：平均车辆行驶速度为平均车辆行驶速度为 hkmdttttdtts/5 .784060212161161612361此题是求函数此题是求函数s(t)s(t)在区间在区间【1 1，6 6】内的平均值内的平均值 一般地，连续函数在区间上一般地，连续函数在区间上的平均值，等于函数在此区的平均值，等于函数在此区间上的定积分除以区间长度。间上的定积分除以区间长度。理学院理学院 设产品产量为设产品产量为q,产品价格为产
