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1、 什么是数学？ 为什么学习数学？ 开设数学文化的目的和意义 主要内容： 数学的本质 数学美学 数学与人的发展 数学与其它一、数学研究对象的历史考察数学研究对象的历史考察 从数学发展的每个历史时期，人们在实践中，对数学研究对象的发现与认识，来加以考察。 数学，作为一门科学，它来源于人类社会实践，并促进人类社会实践，也随着人类社会的进步而发展。 1.数学萌芽时期(远古公元前6世纪) 2.常量数学时期(公元前6世纪公元17世纪) 3.变量数学时期(17世纪19世纪) 4.近现代数学时期(19世纪以后) 第一讲 数学的本质1.数学萌芽时期(远古公元前6世纪)特点： 零零星星地认识了数学中最古老、原始的
2、概念“数”(自然数)和“形”(简单几何图形)。 数的概念起源于数(读sh)，脚趾和手指记数、“结绳记数” 等； 另一方面，人类还在采集果实、打造石器、烧土制陶的活动中，对各种物体加以比较，区分直曲方圆，逐渐形成了“形”的概念。 2.常量数学时期(公元前6世纪公元17世纪)特点：人们将零星的数学知识，进行了积累、归纳、系统化，采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。欧几里得（Euclid）：几何原本 以空间形式为研究对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。 我国东汉时期：九章算术 由246个数学问题、答案和术文组成，全书主要研究对
3、象是数量关系。 3.变量数学时期(17世纪19世纪)特点：“运动”成为自然科学研究的中心课题，数学由研究现实世界的相对静止的事物或现象进而探索运动变化的规律，常量数学已发展到变量数学。17世纪，笛卡尔（Descartes）将几何内容的课题与代数形式的方法相结合，产生了解析几何学，这标志着变量数学时期的开始。17世纪60年代，Newton和Leibniz各自从运动学和几何学研究的需要，创建了微积分。随后，相继建立了级数理论、微分方程论、变分学等分析学领域的各个分支。 3.变量数学时期(17世纪19世纪)15世纪18世纪，人们还研究了大量的随机现象，发现存在着某种完全不确定规律性，建立了概率论。这
4、个时期，数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性；数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法。马克思主义奠基人之一的恩格斯，在考察了18世纪前整个数学发展的历史基础上指出：“数和形的概念不是从任何地方得来的，而仅仅是从现实世界中得来的”、“纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系这是非常现实的材料为对象的”，这些论断揭示了科学的数学本质。4.近现代数学时期(19世纪以后)特点：数学由研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更抽象、更一般的形式和关系，数学各分支互相渗透融合。随着计算机的出现和日益普及，数学愈来愈显示出科学和技术的双重品质。1
5、9世纪以来，由于社会发展的需要，以及数学自身的逻辑矛盾不断产生许多新问题，促使处于数学核心部分的几个主要分支代数、几何、分析学科的内容发生了深刻变化，并产生了许多新的数学分支。抽象代数学 、n维空间、无穷维空间以至于更抽象的空间 、Cantor集合论泛函分析等。 4.近现代数学时期(19世纪以后)20世纪以来，数学的发展更是迅猛异常，产生了“优选学” 、“规划论”、“对策论”、“排队论”、“计算机理论等等，尤其是第二次世界大战以后，由于科学技术和工程技术上的计算问题的越来越复杂，需要高速、准确地计算许多非线性的、多维的，或为方程组形式的数学问题，为此电子计算机应运而生。随着计算机的出现，与高新
6、科技紧密相关的数学理论，如控制论、突变论、拓扑稳定性和大范围分析等理论也随之产生。今日的数学不仅是一门独立的科学，而且是一种普遍性的技术，它“兼有科学和技术的两种品质”。显然，现代数学的许多分支的研究对象，远远突破了传统的“空间形式”和“数量关系”的范围。 二、数学是什么科学？二、数学是什么科学？ 数学本质的另一个问题：数学究竟是什么科学？是演绎科学，还是经验科学呢？或是实验归纳科学呢？由于人们从不同的角度来认识，因而对这个问题有着不同的看法1.数学科学的几种论述： （1）从数学所从属的工作领域来看：在17世纪以前，毕达哥拉斯（Pytnagoras）学派的数学观占据了统治地位，他们认为“数是一
7、切事物的本质，整个有规律的宇宙的组织，就是数以及数的关系的和谐系统”，Galieo说得更明白：“大自然乃至整个宇宙这本书都是用数学语言写出的”。依他们看来，科学的本质就是数学，世界是数学的描述形式，这一时期数学成了科学的“皇后”； 到了17世纪，数学家Alembert把数学划归在自然科学之内，确认它是自然科学的一个门类，数学再不被认为是科学的“皇后”，而是科学的“仆人”，是自然科学的工具。直到20世纪80年代末，我国杰出的科学家钱学森明确提出，“数学应该与自然科学和社会科学并列”，成为现代科学技术的自然科学、社会科学、数学科学、思维科学、系统科学、人体科学、军事科学、文艺理论、地理科学等十大门
8、类的一大门类，他主张“数学应该称为数学科学”。 （2）从研究数学的方法来看： 匈牙利数理逻辑学家卡尔马认为“数学是一门有经验根据的科学”；著名的科学哲学家Lakatos认为“数学是既含有经验成分又含有理性成分的一种非封闭的演绎系统拟经验的体系”；美籍匈牙利数学家、数学教育家G.Polya认为“用欧几里得方法提出来的数学看来却像是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却像是一门实验性的归纳科学”。可见从数学真理的发现或发明的无数事实来看，它是通过大量实验、归纳而得以发现，进而通过演绎推理而证明它的可靠性和真实性。因此，数学具有两重性，它既是一门系统的演绎科学(从最后被确定的定型的数学来看)
9、，又是一门实验性的归纳科学(从创造过程中的数学来看)（3）从数学对象来看数学家Descarte把数学称作“序的科学”；物理学家Weinberg把数学看作是“模式与关系”的科学，如像生物是有机体的科学，物理是物和能的科学一样，“数学是模式的科学”；如果把数学看作是一种语言，它又可认为“是描述模式的语言”。随着现代数学的创立与发展，人们对数学的本质数学的本质的认识逐步深化，在当今数学哲学界流行一些新颖和较成熟的数学哲学观点.2.数学是模式的科学现代汉语词典里，对模式的解释是指“某种事物的标准形式”，这种标准形式是通过抽象、概括而产生的。 按照这种解释，数学的概念、理论、公式、定理和方法都可以看成是
10、一种模式，显然它们又是一种数学抽象思维活动的产物，这种抽象不同于其它科学中的抽象。首先，在抽象的内容上，它仅仅保留了事物的量的特性，而舍去了它的质的内容；其次，在抽象的度量上，数学中的概念，并非都是真实事物或现象的直接抽象的结果，而是在第一次抽象的基础上，进行多次的再抽象。换句话说，由概念引出概念，如正方形是由长方形引出的概念；再次，在抽象的方法上，它是一种“建构”的活动，也就是说，数学的对象是借助于明确的定义得到构造的，数学理论又是建立在逻辑演绎之上来展开的。例例1 1 关于数学概念的模式我们知道“1”这个数，是对一个人、一棵树、一间房等类事物的量的特性的刻画，是抽象思维的产物。实际上，在现
11、实世界里并不存在作为数学研究对象的真正的“1”。又如，现实世界中，我们只看到圆形的十五的月亮，圆形的水池，圆形的车轮，而数学概念中的“圆”，则是这类事物的标准形式，反映了这类事物都具有的“到一个定点的距离等于定长”的量的特性。在高等数学中，我们知道瞬时速度可以看成是距离对时间的导数、电流是电量对时间的导数等，我们如果将距离、电量、曲线等一类事物都抽象成关于x的函数f(x)，那么刻画函数的变化率这一普遍意义的现象，可以用导数这一标准形式模式来表示，这样，我们把数学概念都可以看成是量化模式。 例例2 2 关于数学问题的模式问题问题1 1 下面的两个问题，我们如果从质的方面来看，显然是两个不同的问题
12、，但若从量的属性角度来看，却是同一个标准形式(1)某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种搭配方法？(2)有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种组成方法？这类问题，如果我们都舍去各自的质的内容，它们就可以抽象成下面的形式（图1-1） 问题问题2 2 著名的Euler“七桥问题”东普鲁士哥尼斯堡(原苏联加里宁格勒)有一条布勒尔河，这条河有两条支流，在城中心汇合成大河，河中有一小岛，现有七座桥将它与陆地连接（图1-2） 1735年左右，哥尼斯堡大学生傍晚散步时，总想一次走过七座桥，要求每座桥只准走一遍，试来试去总未成功，于是，他们写信求教瑞士的大数学家E
13、uler，他用了几天时间反复思考、想象，终于在1736年解决了这个问题（图1-3）他解决这个问题的优美之处，在于把问题简单化、理想化，将问题中的陆地和岛抽象成四个点，七座桥抽象成七条线，人们一次不重复地走过四块陆地和七座桥的问题，就化归为能否一笔画成图1-2的问题了-“线路拓扑学”的先驱工作 问题问题3 3 六人集会问题试证明六个人集会，总是有三个互相认识，或者有三个互相不认识。同样，我们也可以通过数学抽象，将这个实际问题，转化为纯数学的问题建构一种模式，并对其进行研究。事实上，集会中的六个人，用平面上的六个点A1，A2，A3，A4，A5，A6来表示，每两人相识则用实线连接，不相识则用虚线连接
14、，这样于是，原来的问题就转化为：证明在上述15条线段中，一定有某三条实线段或某三条虚线段构成一个三角形，这就成了一个纯数学问题，运用抽屉原则就得到要求的结论。上面三个问题，虽然都来自于现实世界的问题，且有不同的实际背景，但是每个问题经过抽象之后，“它们所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征，而是一类事物或现象在量的方面的特性”。像这样超越特殊对象而具有普遍意义的问题就是一种模式，即量化模式。 综上所述，数学的概念、命题(理论)、公式、定理、问题和方法等等，事实上都是一种量化的模式，这样一来，“数学即是关于量化模式的建构与研究。”正如美国数学家L.Steen所说：“数学是模式的科学，数学家从
15、数中、空间中、科学中和想象中寻找模式，数学理论阐明了模式间的关系。”“数学是模式的科学”与“数学是量的科学”的定义相比，我们认为前者的界定比后者更为恰当，更为精确。这是因为前者的定义，不仅指出了数学的研究对象，而且指明了数学研究的思想方法，这就更明确了数学的本质数学的本质。3.数学是一种文化体系“数学是一种文化体系”，是美国数学家、数学哲学家Wilder于1981年提出来的，这是长期以来提出的第一个成熟的数学哲学观。数学何以是一种文化？ 文化，从广义上讲是人类在社会历史发展过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。简言之，由人类所创造的事物或对象，都可叫做文化。 数学研究的对象是现实世界的空间形
16、式和数量关系，是现实世界一种量化模式。这种模式是由现实世界中的事物或现象，经过人的大脑抽象思维人为创造出的抽象模式，是“人类悟性的自由创造物”。它源于现实世界，又并非是现实世界的真实物。例如，在现实世界中，我们只看到了长方形的黑板，长方形的桌面，而现实世界中并不存在数学上所研究的真正“矩形”；同样，日常生活中我们只见到三张桌子，三棵树，三个人，又何时看到数学研究对象中的“3”呢？更不要说，虚数、四元数、超复数、向量空间、n维空间等“理想元素”，它们都可以看成是人类思维的自由创造物。正因如此，数学同各种艺术形式一样，是人类一种创造性活动的结果，是人类抽象思维的产物，从这个意义来讲，数学是一种文化，而且是更高层次上的文化从现代人类文化学的角度来讲，文化又指的是“各个群体所特有的行为、观念和态度等。”换句话说，是各个群体所特有的“生活方式”。中华民族的文化是儒家文化、道家文化、佛教文化逐渐演变而成的，而以儒家文化为主体，其核心是认识论和伦理说的统一，即所谓“仁智统一说”，“仁智统一，意味着人道(仁爱)原则和理性原则的统一，伦理学和认识论的统一。”几千年来中华民族的生活方式和道德行为都遵循这一
