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1、第三章第三章数据的基本分析数据的基本分析 本章提要本章提要算术平均数和几何平均数的计算算术平均数的性质极差、方差和标准差的计算方差与标准差之间的关系标准差的性质第一节第一节 平均值平均值数据集中性数据集中性平均值平均值的计算的计算 平均值（平均值（mean、average）观测值的平均观测值的平均水平和集中趋势的表示水平和集中趋势的表示 常用的平均值有：常用的平均值有： 算术平均数算术平均数 几何平均数几何平均数 调和平均数调和平均数 众数众数 中位数中位数 百分位数百分位数在本专业的统计和日常工作中，以算术平均值和几何在本专业的统计和日常工作中，以算术平均值和几何平均值最为常见，使用最频繁平
2、均值最为常见，使用最频繁调和平均数一般用在速度类问题方面调和平均数一般用在速度类问题方面众数、中位数由于计算工具的改进已用得不多众数、中位数由于计算工具的改进已用得不多算术平均数（算术平均数（arithmetic mean）是最常用的平均值，）是最常用的平均值，简称为平均值，或均值简称为平均值，或均值算术平均数有两种计算方法：算术平均数有两种计算方法： 1、直接法、直接法 2、加权法、加权法 在次数分布表或资料分类的基础上进在次数分布表或资料分类的基础上进行计算，用加权法计算得的算术平均值称加权平行计算，用加权法计算得的算术平均值称加权平均值（均值（weighted mean）或：或：111n
3、iixxxnn1 12212.iikkkin xn xn xn xwnnnn1 12212.iikkiikif xf xf xf xwf xffff加权法第二式中的加权法第二式中的 是频数：是频数： 而而加权平均值用加权平均值用 表示，在很多情况下，表示，在很多情况下， 与算术平与算术平均值均值 不一定相等，特别是当我们用组距式分组法不一定相等，特别是当我们用组距式分组法中每一组的组中值作为每一组的组平均值中每一组的组中值作为每一组的组平均值 时更是时更是如此如此 直接法所得到的平均值有两个基本性质：直接法所得到的平均值有两个基本性质：1、离均差之和为零，用公式表示，即、离均差之和为零，用公式
4、表示，即2、离均差平方和为最小，即、离均差平方和为最小，即其中，其中， 为不等于为不等于 的任意一个数：的任意一个数： iiiinnfnn1if wwxix0 xx22xxx aaxxifa用直接法所得到的算术平均值的这两个基本性质很用直接法所得到的算术平均值的这两个基本性质很重要，同学们可以自己加以证明重要，同学们可以自己加以证明需要指出的是，需要指出的是，加权平均值不具有这两个基本性质加权平均值不具有这两个基本性质（因此，一般不计算加权平均值）（因此，一般不计算加权平均值）对于总体来说，我们通常用对于总体来说，我们通常用 表示其平均数表示其平均数当总体为有限，且总体容量为当总体为有限，且总
5、体容量为 时，总体平均值的时，总体平均值的计算公式为：计算公式为：但一般情况下，总体平均值总是但一般情况下，总体平均值总是未知未知的，需要用样的，需要用样本平均值来进行本平均值来进行估计估计，因此，样本的，因此，样本的代表性代表性就显就显得尤为重要得尤为重要NixN几何平均值几何平均值（geometric mean）主要用于非线性数）主要用于非线性数据的统计分析，如增长率、疫病的潜伏期、药物效据的统计分析，如增长率、疫病的潜伏期、药物效价、抗体滴度等的平均值价、抗体滴度等的平均值几何平均值用几何平均值用 表示：表示：在实际计算时可将其转换为对数形式进行计算：在实际计算时可将其转换为对数形式进行
6、计算：分组资料几何平均值的计算公式为：分组资料几何平均值的计算公式为：G11212.nnnnGx xxx xx 111211lglglg. lglglgniGxxxxnn11lglgiiGfxn算术平均数一般用在算术平均数一般用在加性加性（additive）资料、或称）资料、或称线线性性（linear）资料中）资料中所谓加性资料或线性资料是指这些资料是可加的，所谓加性资料或线性资料是指这些资料是可加的，或每一个数据可分解成若干个或每一个数据可分解成若干个可加的部分可加的部分，如人，如人体和动物体的身高、体重等外形性状，人类和家体和动物体的身高、体重等外形性状，人类和家畜的生理、生化数值等，这些
7、资料一般服从或近畜的生理、生化数值等，这些资料一般服从或近似服从正态分布似服从正态分布几何平均数一般用在几何平均数一般用在非加性非加性（non-additive）或）或非线非线性性（non-linear）资料中，如平均增长率、药物或）资料中，如平均增长率、药物或疫苗的平均效价、抗体滴度等疫苗的平均效价、抗体滴度等调和平均值调和平均值（harmonic mean）一般用在平均速度、）一般用在平均速度、“有效群体有效群体”等方面，其公式为：等方面，其公式为：12111111.innHxnxxx第二节第二节 变异数变异数数据离散性数据离散性变异数变异数的计算的计算 变异数（变异数（variable）
8、观测值离散程度的表示，观测值离散程度的表示，用来表示平均值代表性的强弱用来表示平均值代表性的强弱变异数大，说明数据离散程度大，平均值的代表性变异数大，说明数据离散程度大，平均值的代表性差；反之，变异数小，说明数据离散程度小，平差；反之，变异数小，说明数据离散程度小，平均值的代表性好均值的代表性好因此，仅用一个平均值作为资料特征值进行统计描因此，仅用一个平均值作为资料特征值进行统计描述是不够的，还需要有表示数据离散程度描述的述是不够的，还需要有表示数据离散程度描述的统计量统计量常用来表示数据离散性的变异数有以下几个：常用来表示数据离散性的变异数有以下几个： 极差极差 方差方差 标准差标准差极差极
9、差（range R ）将资料中的最大值数据减去最小值数据将资料中的最大值数据减去最小值数据,即为极差即为极差显然，一批数据不管其样本量有多大，计算极差总显然，一批数据不管其样本量有多大，计算极差总是只用两个值，一个最大值，一个最小值，其余是只用两个值，一个最大值，一个最小值，其余数据都没有用上，因此这是不合理的，也没有统数据都没有用上，因此这是不合理的，也没有统计学意义，样本与样本的离散程度也无法进行比计学意义，样本与样本的离散程度也无法进行比较，如以下两个样本：较，如以下两个样本：23，25，26，31，45，47，48 其极差为其极差为 2523，32，32，34，36，36，48 其极差
10、为其极差为 25显然第一个样本的离散程度比第二个样本要来得大，显然第一个样本的离散程度比第二个样本要来得大，但仅从极差上是看不出来的，因为两个样本的极但仅从极差上是看不出来的，因为两个样本的极差都等于差都等于 25方差（方差（variance V s2 ）合理的方法应当使某一个数据都参与到计算离差的合理的方法应当使某一个数据都参与到计算离差的过程中去，将某一个数据均与平均值相比较，即过程中去，将某一个数据均与平均值相比较，即某一个数据均与平均值相减某一个数据均与平均值相减显然有多少个数据，就有多少个差值，且这些差值显然有多少个数据，就有多少个差值，且这些差值之和必为之和必为 0（算术平均数的第
11、一个性质）（算术平均数的第一个性质）将这些差值平方以后再相加，得到一个值将这些差值平方以后再相加，得到一个值这个值不会等于这个值不会等于 0，且由于各个差值都平方了，其，且由于各个差值都平方了，其中离平均值较远的数值在表现离差时的作用更明中离平均值较远的数值在表现离差时的作用更明显了显了2但由于每个样本在很多情况下不会一样大，因此应但由于每个样本在很多情况下不会一样大，因此应将这一平方和（将这一平方和（SS）平均一下，以利于比较）平均一下，以利于比较如上例的两批数据：如上例的两批数据：23，25，26，31，45，47，48 其平均值为其平均值为 35离均差平方和为离均差平方和为 SS754，
12、用自由度平均一下，得，用自由度平均一下，得125.66723，32，34，34，37，37，48 其平均值为其平均值为 35离均差平方和为离均差平方和为 SS332，用自由度平均一下，得，用自由度平均一下，得55.333显然第二个样本较第一个样本要集中一些显然第二个样本较第一个样本要集中一些125.667为第一个样本的方差值（为第一个样本的方差值（S2） 55.333为第二个样本的方差值（为第二个样本的方差值（S2）方差值是平方以后的值，因此使用中不太方便方差值是平方以后的值，因此使用中不太方便标准差（标准差（standard deviation)将方差开一下平方根，得将方差开一下平方根，得上
13、例中，第一个样本的标准差为上例中，第一个样本的标准差为 11.21 第二个样本的标准差为第二个样本的标准差为 7.44标准差由于已经过了开平方，其单位与平均数是一致标准差由于已经过了开平方，其单位与平均数是一致的，因此标准差是统计学中经常使用的一个值的，因此标准差是统计学中经常使用的一个值得到平均值和标准差后，这批数据可以用下式来表示：得到平均值和标准差后，这批数据可以用下式来表示：总体：总体： 样本：样本： 是是参数参数 是是统计量统计量22ss xs2, 2,xs标准差的计算公式标准差的计算公式总体总体标准差：标准差：样本样本标准差：标准差：上面两个式子中，每一个公式的后面部分是如何从上面
14、两个式子中，每一个公式的后面部分是如何从前面部分变来的，请同学们作为前面部分变来的，请同学们作为作业作业自行推导自行推导比较两个公式的不同，我们会发现：总体标准差用比较两个公式的不同，我们会发现：总体标准差用总体含量总体含量 N 来得到，而样本标准差则用来得到，而样本标准差则用 n-1 来得来得到到222iiixxxNNN22211iiixxxxnsnnn-1 在这里称为在这里称为自由度自由度（degree of freedom df）自由度的含义和说明自由度的含义和说明对于样本容量为对于样本容量为 n 的样本来说，每一个观测值都有的样本来说，每一个观测值都有一个离均差，即一个离均差，即 n个
15、离均差，由于受个离均差，由于受 的的限制，只有限制，只有 n-1个离均差是自由的，有一个离均差个离均差是自由的，有一个离均差失去了失去了自由自由在统计学中，若某个统计量的计算受到在统计学中，若某个统计量的计算受到 k个条件的限个条件的限制，则其自由度就为制，则其自由度就为 n-k，在估计样本方差时受到，在估计样本方差时受到了平均数的限制，因此样本方差的自由度就是了平均数的限制，因此样本方差的自由度就是 n-1；估计平均数时没有限制条件，因此平均数的自由估计平均数时没有限制条件，因此平均数的自由度就是度就是 n0 x x样本方差有一个十分重要的作用，就是用来估计总样本方差有一个十分重要的作用，就
16、是用来估计总体方差由于体方差由于 ，根据平均数的第二个性质可，根据平均数的第二个性质可知，知， 必小于必小于 ，因此如用，因此如用 必定偏小必定偏小将分母改为将分母改为 n-1，则可适当增大，则可适当增大 值，使样本方差值，使样本方差的数学期望更接近于总体方差的数学期望更接近于总体方差因此使用自由度的目的就是为了能用样本方差更好因此使用自由度的目的就是为了能用样本方差更好地、地、无偏无偏（unbias）地估计总体方差）地估计总体方差x2ixx2ix2222iixxxsnN来估计2s小样本资料必须用小样本资料必须用 n-1来计算方差，即标准差，大来计算方差，即标准差，大样本时样本时 n与与 n-1相差无几，因此大样本时也可用相差无几，因此大样本时也可用 n代替代替 n-1由于大小样本的界限没有严格的规定，因此在一般由于大小样本的界限没有严格的规定，因此在一般状况下仍宜使用状况下仍宜使用 n-1在一般情况下，样本方差通常也称为在一般情况下，样本方差通常也称为均方均方（Mean of square），用），用 或或 表示之表示之加权平均数的标准差公式：加权平均数的标准差公式：2sMS221i
