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1、随机事件的概率一、概率1 .在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性.我们把这个常数叫做随机事件A的概率.记作P(A).2 .频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而耀是一个确定的值，通常人们用援茎来反映随机事件发生的可能性的大小.有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.二、事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B3A（或AqB）相等关系若83A且A38,那么称事件A与事件8相等.A=B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A
2、发生或事件B发生,称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)AlJB或A+B交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)AB或AB互斥事件若AClB为不可能事件,那么事件A与事件3互斥ACB=0对立事件若A8为不可能事件,AUB为必然事件，那么称事件A与事件8互为对立事件三、概率的几个基本性质1.概率的取值范围：OWP(A)WI2.必然事件的概率P(E)=L3 .不可能事件的概率P(F)=O4 .概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B).5 .对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AUB
3、为必然事件.P(AUB)=I,P(A)=I-P(B).例1:一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶.解：“至少一次中靶”的互斥事件是“两次都不中靶”.选D。例2:掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件M至少一次正面朝上，则下列结果正确的是()A.P(M)=I,P(N)=,B.P(M)=P(N)=3C.P(f)=,P(N)=D.P(M)=；,P(JV)=T1113解：P(M)=yP(N)=一联合=不例3：某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.1
4、0.则此射手在一次射击中不够8环的概率为()A.0.40B.0.30C.0.60D.0.90解：依题意，射中8环及以上的概率为0.20+0.30+0.10=0.60,故不够8环的概率为1-0.60=0.40.选A例4：盒子里共有大小相同的3只红球，1只黄球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是解：从中摸出两只球共有6种，其中颜色不同的有3种，故尸=I=V例5：甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是当乙获胜的概率是4则乙不输的概率是解：P=+l=.1 .互斥事件与对立事件包含类型两个事件A与B是互斥事件，有如下三种情况(I)若事件A发生，则事件B就不发生；(2)若事件B发生，则事件A就不发生；
5、(3)事件A,B都不发生.两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况.因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.2 .从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.例6：在2016年深圳里约奥运会火炬传递活动中，有编号为123,4,5的5名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号相连的概率为()3 572Aiob8cTod5解:从123,4,5中任取三个数的结果有10种,其中选出的火炬手的编号相连的事件有:(1,2,3),(2,3,4),(3,4
6、,5),选出的火炬手的编号相连的概率为P=例7：从1,2,345中随机取出三个不同的数，则其和为奇数的概率为()i?34A.gB.gC.gDg解：可能的情况有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5洪1042种，其中和为奇数的有(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)共4种，故所求概率P=而=M例8：某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别.公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后
7、，从5杯饮料中选出3杯A饮料.若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.(I)求此人被评为优秀的概率；(2)求此人被评为良好及以上的概率.解：将5杯饮料编号为：1,2,345,编号1,2,3表示A饮料，编号4,5表示8饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345),可见共有10种.令。表示此人被评为优秀的事件，E表示此人被评为良好的事件，尸表示此人被评为良好及以上的I37事件，则(I)P(Z)=而；(2)P(
8、E)=孕P(F)=P(Z)+P(E)=而.例9：袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为由得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是提试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解：分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件4、B、C、D由于A、B、C、。为互斥事件，根据已知得火车站A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：JL2所用时间(分钟)10-2020-3030-4040-5050-60选择L的人数612181212选择乙2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径Li和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
9、(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人，用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L的有60人，选择Lz的有40人，故由调查结果得频率为:所用时间(分钟)10-2020-3030-4040-5050-60Ll的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)A,A2分别表示甲选择Ll和L2时，在40分钟内赶到火车站；B,B?分别表示乙选择Ll和Lz时，在50分钟内赶到火
10、车站.由(2)知P(Al)=O.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=O.1+0.4=0.5,P(A1)P(A2),J甲应选择LI；P(Bi)=O.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=O.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)P(B),，乙应选择L2.例13：甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75,则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确的概率为.解：P=I-0.2X0.25=0.95.答案:0.95。例14：已知向量a=(x、y),6=(1,2),从6张大小相同、分别标有号码1、2、3、4、5、6的卡片中，有放回地抽取两张，ry
11、分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码.求满足b=的版率；求满足。力0的概率.解：(1)设(x,)，)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)(6,5)、(6,6),共36个.用A表示事件b=1，即1一2=一1,则A包含的基本事件31有(1,1)、(3,2)、(5,3),共3个，P(A)=石=五.(2)Z0,即-2y0,在(1)中的36个基本事件中,满足-2y0的事件有(3,1)、(4,1)、(5,1)、(6,1)、(5,2)、(6,2),共6个，所以所求概率尸=,=例15：某次会议有6名代表参加，A、B两名代表来自甲单位，C、。两名代表来自乙单位，E、尸两名代表来自丙单位，现随机选出两名代表发言，问：(1)代表A被选中的概率是多少？(2)选出的两名代表“恰有1名来自乙单位或2名都来自丙单位”的概率是多少？解：(1)从这6名代表中随机选出2名，共有15种不同的选法，分别为(A,8),(A,C),(A,),(A,E),(A,玲,(B,C),(,。)，(B,E),(B,F),(C,D),(C,玲,(C,F),(。，E),(D,F),(E,F).其中代表A被选中的选法有
