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1、1.1巧用平方差公式我们把公式(。+切(46)=/一拄称为乘法公式中的平方差公式；反过来b2=(+0)(-历称之为因式分 解中的平方差公式.在一定条件下，把一个代数式变换成另一个与它恒等的代数式称为代数式恒等变形， 平方差公式是代数式恒等变形中的重要公式之一，它在数值运算、代数式的化简与求值、不定方程(组) 的解法、代数不等式的证明、一元二次方程的解法等方面 都有广泛的运用.例1已知712-l可被40至50之间的一个素数整除，这个素数是().A. 41 B. 43 C. 47 D. 49【解】用平方差公式作因式分解：7,2-l=(76+l)(76-l)=(72+l) (74-72+l) (73
2、1) (73-l)=50(74- 72+1)(7+1)(72-7+1)(7-1)(72 +7+1)=43 48 50 57(7472+1),而 74-72+l=48 49+1 不能被 41, 49, 47整除，故答案选艮【注】 也可以用立方差公式分解761,如果先用立方差公式，那么761= (72-l)( 74 +72+l) = 48(74+ 72+l),而74+72+1的分解可以通过拆项完成，具体分解知下：74+72 l=74+272+l-72=(72+l)2-72=(72+7l)(72-7+1).例2已知对任意大于2的正整数，w5-53 +4w都是正整数m的倍数，求in的最大值.【解】 n
3、5 - 5w3 4/=n(n45n2+4)=n(n2-4)(n2 1)=n(w-2)(n+2)(-l)(n+l).因为(-2乂+2乂 D5+1)是五个连续正整数的乘积，所以它是5!的倍数，又当=3时，原式= 120,故?的最大值是120.【注】这里用到了一个数论中的结论：连续的5个正整数的乘积是5!的倍数，事实上，连续的5个正 整数中必有1个5的倍数，2个2的倍数(其中一个为4的倍数)，1个3的倍数，顺便提一句，也可以利 用组合数公式来证明连续个正整数的乘积是！的倍数，这是因为由 C：=加(加- 1)(加二2)(_ +D 可知连续的正整数乘积,n(fn- -2)(m- +1) =,n!从而结论
4、成立，(24+l)(44+104 +9)例3计算:24卢(I4 + +1)(54 +1)(74 +4 +7)24444【分析】由于括号内的每一个式子代数结构都相同，因此考虑用/+工来代替，再进行因式分解后找4出规律.解 因为 4+L = 4+2+L.2 =(2+L44 I 2)卡亲+ !所以，原式=221.例4若。是非负整数，则一3层+9是合数还是素数？【解】 由于3/+9=（/+3）2-（30尸=（2-3+3） （/+3+3）,下面对 白 讨论：当。=0时，原式=9,是一个合数；当= 1时，原式=7,是一个素数；当=2时，原式二13,是一个素数；当2时，因/-3+3与/+3+3都是大于1的整
5、数，故原式是一个合数.综上所述，当。=0或。2时，/一3标+9是合数；当。=1或2时，/-3标+9是素数.【注】在将原式分解成d-3+3M*+3+3）后，不能轻易下结论说它就是个合数，因为要保证/一 3+3与标+3。+3都大于1才能是合数.通过运用平方差公式进行因式分解的训练，可以使我们的观察 能力、运算能力、变形能力、逻辑思维能力得到锻炼与提高，而在条件中能否找出或构造出a2b2的形式， 然后用平方差公式进行分解成为解题的关键.例5求证：若是正整数，则存在无穷多个正整数上使得4+是合数.【证明】 令4=4/ （。为正整数），则n4 + %=+42m2+444a2n2=（n2 2a2）2（2a
6、n）2=（w2 2an 2a2（n22an+2a1）.当时，n2+ 2“+22与224+2标都是大于1的正整数，因为有无穷多个，故存在无 穷多个%，使得/+k是合数，【注】 本题的关键在于构造&=4,这用到了本章节例题3的代数形式.例6 对于不超过50的正整数，满足：恰有一对非负整数（m b）,使得 a2-b2=n,试求满足条件的的数目.【解】 由于=（+历5一例，且+b与ab同奇偶，所以2（mod4）.当为奇素数时，仅有一对（） = （等,4满足条件；当为奇合数时，不妨设 = y （7vl, ，V为奇数），那么至少有2组非负整数解 （。力）=（等,?）或（笺，禄）不满足题意，因此奇数中满足题
7、意的共有:1,3,5,7,11,13, 17, 19,23,29, 31,37,41,43,47 共计 15 个;（3）当4|时，如果巴为合数，至少有2组非负整数解，也不满足题意.因此偶数中满足条件的为4, 48, 12, 20, 28, 44 共 6 个.综上所述，一共有21个正整数满足题意.【注】本题如果一开始直接枚举容易产生错误，约束适当的范围再进行枚举是关键.例7试求关于“ 的不定方程源1 =P2（/1）的所有正整数解，其中为素数.【解】因为（闭一1）（机+1）=（层一1）,下面按照作分类讨论：若P为奇素数，则P2I 1或P2 I /?/+1.若p2|mL设6=即2+l伙为非负整数），
8、则/=靖+24+1,但是A2VZ2+2攵+1 W（kp+ 1产从而Z=O,进而，=1;若p2+,设加二炉一1(%为正整数)，则2 = Kp2-2攵+1,但是(kp 1 )2 V2p2-2k+1 f+(b2-c2 +(c2-a2,又 因为 a1-b2 = + 41,b2-c2 =1-0,两式相加得标一2=2,从而原式=g(+Jj2 +(l-2)2 +22 = 5从而 P= n + n = p3 .若p+2=zw2,则由平方差公式可得（加一泊（? + &）=，由于P为质数，则必有2+l, m=nk+,又由于有无穷多对（闱，使得P不是质数，那么此时加=（+1）2就不能表示成p+於 的形式。4 .由于
9、G+y展开式可分成含无理因子j部分及不含五部分，故不妨设（+y=怎十%、历，那么 =Xc 两式相乘得2寸一片=（一1）用.由于当为奇数时，取机=片=2寸一1；当 为偶数时，取? = 2寸=片-1,则均可满足题意，从而命题得证5 .对于 A=O, 1, 2,，有(jk + 1-k j = (& + lk +1 -3(/+ 3&JZ +1 -=(4 女 +1 )H 一(4女 + 3 解=J(4Z + 1)2(0 + 1) - J(4Z + 3)2j=J16A? +24/ +9Z + 1 - J16K + 2必2 +% ,所以+24&2 +% + 1 -716&3 +24/ +而= T-因此原等式右边=Z(Jm-) = J =左边，即a=16, b=24, c=9 A=O
