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1、1可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程小结小结 思考题思考题 作业作业一阶线性微分方程一阶线性微分方程利用变量代换求解利用变量代换求解方程方程第二节第二节 一阶微分方程一阶微分方程全微分方程全微分方程伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程第十二章第十二章 微分方程微分方程2xxyyd)(d)( 如果一阶微分方程如果一阶微分方程等式的每一边仅是一个变量的函数与这个等式的每一边仅是一个变量的函数与这个 可分离变量的方程可分离变量的方程)()(ygxfy 0d)()(d)()(2121 yyNxNxyMxM或或可以写成可以写成0),( yyxF的形式的形式,易于化为形式易于化为形式特点特点变
2、量的微分之积变量的微分之积.两端积分可得通解两端积分可得通解.一阶微分方程一阶微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程3可分离变量的方程求通解的步骤是可分离变量的方程求通解的步骤是: :分离变量分离变量,两边积分两边积分其中其中C为任意常数为任意常数.),(Cxyy 就是方程的通解就是方程的通解分离变量法分离变量法. .的形式；的形式；把方程化为把方程化为xxyyd)(d)( 1.2.由上式确定的函数由上式确定的函数(隐式通解隐式通解).这种解方程的方法称为这种解方程的方法称为将上式将上式一阶微分方程一阶微分方程( )d( )d;yyxxC4一阶微分方程一阶微分方程例例 求方程
3、求方程 的通解的通解.0d)1(d)1(22 yxyxyx解解 分离变量分离变量xxxyyyd1d122 两端积分两端积分 yyyd12)1ln(21)1ln(2122xy )1(ln)1ln(22xCy )1(122xCy 为方程的通解为方程的通解.Cln21 隐式通解隐式通解 xxxd125一阶微分方程一阶微分方程解解xxyyyd1dln1 xxyyd1lndln1Cxylnlnlnln Cxln Cxy lnCxey 通解为通解为ln.xyyy 求方程的通解6注注 应用问题建立微分方程的方法应用问题建立微分方程的方法:方法大体有两种方法大体有两种第一种方法第一种方法常见的物理定律有力学、
4、热学、光学、电学常见的物理定律有力学、热学、光学、电学直接利用物理定律或几何条件列出方程直接利用物理定律或几何条件列出方程,的定律的定律;第二种方法第二种方法取小元素分析取小元素分析,然后利用物理定律列出然后利用物理定律列出方程方程(类似于定积分应用中的元素法类似于定积分应用中的元素法).一阶微分方程一阶微分方程7两端积分两端积分解解,ddtM由题设条件由题设条件)0(dd衰变系数衰变系数 MtMtMMdd ,dd tMM ,00MMt 代代入入,lnlnCtM 即即00CeM 得得C teMM 0分离变量分离变量负号是由于当负号是由于当 t 增加时增加时M单调减少单调减少,tCeM 通解通解
5、特解特解例例 衰变问题衰变问题. .衰变速度与未衰变原子含量衰变速度与未衰变原子含量M成成正比正比,00MMt 已已知知求衰变过程中铀含量求衰变过程中铀含量 M (t)随时间随时间 t 变化的规律变化的规律.一阶微分方程一阶微分方程衰变规律衰变规律衰变速度衰变速度8一阶微分方程一阶微分方程例例 求游船上的传染病人数求游船上的传染病人数.一只游船上有一只游船上有800人人,12小时后有小时后有3人发病人发病.故感染者不能被及时隔离故感染者不能被及时隔离. 设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的人数之积成正比人数之积成正比.一名游客患了某种传染病一
6、名游客患了某种传染病,由于这种传染病没有早期症状由于这种传染病没有早期症状,直升机将在直升机将在60至至72小时小时将疫苗运到将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数试估算疫苗运到时患此传染病的人数.解解用用 y ( t )表示发现首例病人后表示发现首例病人后 t 小时时的小时时的感染人感染人数数,)(800ty 表示表示 t 刻刻未受感染的人数未受感染的人数,由题意由题意,得得d(800),dtykyy其中其中k 0为比例常数为比例常数.可分离变量微分方程可分离变量微分方程分离变量分离变量,d)800(dtkyyy , 1)0( y初始条件初始条件:3)12( y9一阶微分方程一阶微分方
7、程,d)800(dtkyyy 即即,dd800118001tkyyy 两边积分两边积分,得得,)800ln(ln80011Cktyy 通解通解ktCey8001800 ).(1800CeC , 1)0( y初始条件初始条件3)12( y由由初始条件初始条件, 1)0( y得得.799 C再由再由, 3)12( y便可确定出便可确定出 k800所以所以.7991800)(09176. 0tety 1797ln122397.09176. 0 10一阶微分方程一阶微分方程.7991800)(09176. 0tety 直升机将在直升机将在60至至72小时将疫苗运到小时将疫苗运到,试估算疫苗运试估算疫苗
8、运到时患此传染病的人数到时患此传染病的人数.下面计算下面计算72,60 t小时时的小时时的感染者人数感染者人数 )60(y )72(y从上面数字可看出从上面数字可看出,在在72小时疫苗运到时小时疫苗运到时, 感感染的人数将是染的人数将是60小时感染人数的小时感染人数的2倍倍.病流行时及时采取措施是至关重要的病流行时及时采取措施是至关重要的.可见在传染可见在传染,18879918006009176. 0 e.38579918007209176. 0 e11有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器, 解解 由由力学知识力学知识 得得,水从孔口水从孔口流出的流量为流出的流量为流量系数流量系数孔口截
9、面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度ghStVQ262. 0dd 一阶微分方程一阶微分方程水面的高度水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随时间随时间t的变化规律的变化规律.开始时开始时容器内盛满了水容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里求水从小孔流出过程中容器里流出流出, 例例小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米 (如图如图). 水从它的底部小孔水从它的底部小孔 3221(100),(200)d3VhhdVhhh 12hhhd)200(2 ,d262. 0tgh ,d)200(262. 0d3hhhgt ,)523400(262. 053Chhgt ,1
10、00|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为所求规律为一阶微分方程一阶微分方程可分离变量方程可分离变量方程13一阶微分方程一阶微分方程 2019年北方交大期末考题年北方交大期末考题(8分分)推进器停止工作推进器停止工作,已知船受水的阻力与船速的平方成正比已知船受水的阻力与船速的平方成正比 (比例系比例系问经过问经过多少时间多少时间,船的速度减为原速度的一半船的速度减为原速度的一半?解解 由题意由题意2ddmkvtvm 0)0(vv Cktv 1初始条件初始条件011vktv 01vC ,20时时当当vv 01kvt 即得即得.解得解
11、得当轮船的前进速度为当轮船的前进速度为v0时时,数为数为mk,其中其中k 0为常数为常数,而而m为船的质量为船的质量).14, 2lnd2)()(20 ttfxfxfx满足关系式满足关系式设设).()( xf则则; 2ln.xeA; 2ln.2xeB; 2ln. xeC2ln.2 xeD分析分析 有两种方法有两种方法其一，其一， 将所给选项代入关系式直接验算，将所给选项代入关系式直接验算，B(B)正确正确.其二，其二， 对积分关系式两边求导化为微分方程对积分关系式两边求导化为微分方程,并注并注意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程所应满足的初始条件所应
12、满足的初始条件.一阶微分方程一阶微分方程 1991年考研数学一年考研数学一, 3分分15一般一般,未知函数含于未知函数含于变上限的积分变上限的积分中时中时,常可常可通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出初始条件而解之初始条件而解之.解解 )(xf)(2)(xfxf fx222 可分离变量方程可分离变量方程xxfxfd2)()(d 两边积分两边积分Cxxfln2)(ln xCexf2)( 由原关系式由原关系式2ln)0( f, 2ln C得得得得. 2ln)(2xexf 分离变量分离变量一阶微分方程一阶微分方程20( )dln2,2xtf xft将关系式
13、两边求导16二、一阶线性微分方程二、一阶线性微分方程)()(ddxQyxPxy 一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式, 0)( xQ当当上面方程称为上面方程称为上面方程称为上面方程称为, 0)( xQ当当如如,dd2xyxy ,sindd2ttxtx , 32 xyyy, 1cos yy线性的线性的;非线性的非线性的.齐次的齐次的; ;非齐次的非齐次的.线性线性一阶一阶 自由项自由项一阶微分方程一阶微分方程17. 0)(dd yxPxy,d)(dxxPyy ,d)(d xxPyy齐次方程齐次方程的通解为的通解为 xxPCeyd)(1. 线性线性齐次齐次方程方程一阶线性一阶线性微
14、分方程的微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)(C1为任意常数为任意常数)(1CeC 一阶微分方程一阶微分方程1ln |( )dln,yP xxC 182. 线性线性非齐次非齐次方程方程 yxPxy)(dd线性线性齐次齐次方程是线性方程是线性非齐次非齐次方程的特殊情况方程的特殊情况.,d)( xxPCe显然线性显然线性非齐次非齐次方程的解不会是如此方程的解不会是如此,之间应存在某种共性之间应存在某种共性.设想设想)()(ddxQyxPxy 非齐次非齐次方程方程 待定函数待定函数线性线性齐次齐次方程的通解是方程的通解是但它们但它们)(xQ一阶微分方程一阶微分方程 xxPeyd)()(
15、xC的解是的解是19 xxPexCyd)()(,代代入入原原方方程程和和将将yy )(xQ xxPxxPexPxCexCd)(d)()()()( xxPexCxPd)()()(从而从而C(x)满足方程满足方程,)(d)(求求导导对对 xxPexCy得得)(xC)(xP xxPed)(得得)()(ddxQyxPxy )()(d)(xQexCxxP 一阶微分方程一阶微分方程)()(ddxQyxPxy 20即即 xxPexQxCd)()()(xexQxCxxPd)()(d)( C 一阶线性非齐次一阶线性非齐次微分方程的通解为微分方程的通解为d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP xxPexCy
16、d)()(设设常数变易法常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法待定函数的方法. .一阶微分方程一阶微分方程 xd xdd( )( ).dyP x yQ xx是的解21 xxPCed)(非齐次方程的一个特解非齐次方程的一个特解对应齐次对应齐次方程通解方程通解d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 一阶线性方程解的结构一阶线性方程解的结构xexQexxPxxPd)(d)(d)( 注注 一阶线性方程解的结构及解非齐次方程一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用的常数变易法对高阶线性方程也适用.一阶微分方程一阶微分方程)()(ddxQyxPxy 22.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ xxeyd1 Cxxxdsin1 Cxx cos1解解例例一阶线性非一阶线性非齐次方程齐次方程 xxsin xxed1xdC 一阶微分方程一阶微分方程d)(d)(d)(CxexQeyxxPxxP 23 23)(yx xyxxy03d23xyy 解解 xxxf0d)( 积分方程积分方程一阶微分
