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1、导数习题导数习题 例例 1. 设设求求21 sin , 0( ) 0 , 0 .xxf xxx 若若因此，因此，解：解：( ) .fx0 , x 而而 0( )(0)(0)limxf xffx 2 0sin(1)limxxxx 0 . 思考：思考： (0) = ?f 0lim( )xfx是否存在？是否存在？导函数的单侧极限导函数的单侧极限与与单侧导数单侧导数不是同一概念。不是同一概念。则则).1cos()1sin(2)( xxxxf . 0 0, 0 ),1cos()1sin(2 )( xxxxxxf例例 2. 设设 ,) 2( ) 1( ) 4( ) 3( )( xxxxxxf求求解：解：
2、3d , ( ) .xffx 3( )(3)(3)lim3xf xffx 3( )lim3xf xx )2( ) 1( 4lim3 xxxxx.61 .d 61| d3xfx | 2|ln| 1|ln|ln| 4|ln| 3|ln| )(|ln xxxxxxf上式两边同时求导得上式两边同时求导得 211114131 )()( xxxxxxfxf . 211114131)()( xxxxxxfxf例例 3. 设设且在某且在某(1)6 , (1)2 , fg 解：解：( ) g x(1, )U 内内单调，单调，求求 1( )(1)lim. ( )(1)xf xfg xg 1 1( )(1)( )(
3、1)1limlim( )(1)( )(1)1xxf xff xfxg xgg xgx 1 1( )(1)lim1( )(1)lim1xxf xfxg xgx (1)(1)fg 3. 例例 4. 设设( )f x解：解：求求 ( ) ( ) ( ) ( )limxax f ax f xx f xa f xIxa ( )( ). a faf a ( ) ( )( ) ()limxax f af xf xxaxa ( ) ( )limlim( ) xaxax f af xf xxa 在在xa 可导，可导，.)( )( lim axxfaafxIax 练练 1. 设设求求( ) | , f xxx 若
4、若因此，因此，解：解：( ) .fx0 , x ( )2 ; fxx 而而 0 ( )(0)(0)limxf xffx 2 0 limxxx 0 . 2 , 0( ) 2 , 0 xxfxxx 则则若若0 , x ( )2 ; fxx 则则 0 ( )(0)(0)limxf xffx 2 0 limxxx 0 . 2 | . x 设设( ) |sin| sin , g xxx ( )? gx 2 |sin|cos . xx 设设可导可导, 求求2( )sin () , g xf x 解：解：( ) .gx例例 5. ( )f x22( )cos () ()(2 ) gxf xfxx 222 c
5、os () () . xf xfx 例例 6. 设设求求2 1 cos , xtyt 解：解： 22d .d yx记记而而故故.2sind 2d sin ddttttttxy ,2sin)(tttg ,d)( d dd22xtgxy ,d 2sincos)( d2ttttttg .4cossind)( d dd322ttttxtgxy 例例 7. 曲线曲线( )yf x 解：解：求求由方程由方程2cos()1xyexye 确定，确定，在点在点(0,1)的切线方程。的切线方程。方程两边对方程两边对 x 求导得求导得2( 2)sin()(1)0.x yeyxyy 令令 x = 0 得得 (0) 2
6、0 , e y 即即(0)2.y 所求切线方程为所求切线方程为12 .yx 练练 2. 函数函数( )yf x 答：答：求求由方程由方程 2x yxy确定，确定， 0d .xf 0d = ( ln2 1 ) d .xfx 设设求求解：解：例例 8. , 1)(2xxxf . )0()(nf)(1 112nnxoxxxx 112x )(xf .12 , 1 2 , 0 ! )0()( knknnfn .12 , ! 2 , 0 ) 0()( knnknfn)(12242nnxoxxx )(121253 nnxoxxxx设设求求解：解：练练 3. , )(25xexxf . )0()11(f)(!
7、 ! 21 2nnxxonxxxe )(! ! 2 )(5252975 nnxonxxxxxf)(! ! 21 22422nnxxonxxxe .! 311! )0()11( f练练 4. 设设是是)(xf) , ( 内具有任意阶导数的奇函数，内具有任意阶导数的奇函数，求求解：解：故故)()2(xfn也是奇函数。也是奇函数。 , )0()2( nf其中其中. Zn是奇函数，是奇函数，)(xf因此因此. 0)0()2( nf奇函数的麦克劳林公式没有偶次幂项。奇函数的麦克劳林公式没有偶次幂项。偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。偶函数的麦克劳林公式没有奇次幂项。例例 9. 函数函数在在 1ln)(
8、exxxf) , 0( 内零点的个内零点的个数为？数为？解：解：.11)( exxf 令令 0)( xf得得 . ex 当当 0ex 时时 , 0)( xf当当 ex 时时 , 0)( xf而而 ,)( lim0 xfx因此零点个数为因此零点个数为 2. , 1)( ef , 04)( 23 eef练练 5. 设设则则( ) (1) (2) (3) (4) , f xx xxxx 解：解： )( xf共有几共有几个零点？个零点？根据罗尔定理，根据罗尔定理， )( xf至少有至少有 4 个零点，个零点， 分别在区间分别在区间)4 , 3( ),3 , 2( ),2 , 1 ( ),1 , 0(内
9、。内。 )( xf是是 4 次多项式，次多项式，零点不超过零点不超过 4 个，个，因此其零点共有因此其零点共有 4 个。个。例例 10. 求求.)sin( lim210 xxxxI 解：解：.61 )sinln()1(0 2limxxxxeI )sinln()1(lim20 xxxxe sincossin21lim20 xxxxxxxx 30 2sincoslimxxxxx 333220 2)(6)(21limxxoxxxoxxx 20 )sinln(limxxxx而而故故.61 eI练练 6. 求求. )1cos()2(sin lim xxxxI 解：解：)1cos()2sin(ln lim
10、xxxxeI 故故.2eI )1cos()2sin(lnlim xxxxe 而而 )1cos()2sin(lnlim xxxx cos)2lnsin(lim0 tttt cos)2sin(sin)2cos(2lim0 ttttt . 2 例例 11. 设设 )( lim0 xfx解：解：),(lim2111)(0 xfexxfxx 存在，且有存在，且有求求 . )( lim0 xfx设设 , )( lim0 Axfx ,2)111(lim0 AexAxx 则则 )111(lim0 xxexA )1( 1lim0 xxxexxe 1lim20 xxexx 21lim0 xexx . 21 另附若
11、干基本计算与证明（答案后附）另附若干基本计算与证明（答案后附）练练 1. 讨论讨论 ) 1( 2 )(23 xxxf的单调性、极值、凹凸性、拐的单调性、极值、凹凸性、拐点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。练练 2. 求求xxxf 1 )(在在1 , 5 上的最值。上的最值。练练 3. 求数列求数列nn的最大项。的最大项。练练 4. a取何值时取何值时在在xxaxf3sin31sin )( 3 x取得极值？取得极值？是极大值还是极小值？是极大值还是极小值？练练 5. 求下列极限求下列极限 2cot lim )1(0 xxx )1( lim )3()(1si
12、n1 xxxx lim )4( sin0 xxx )cot 1( lim )2(220 xxx 1 lim )6(2 xxx sin1 lim )5(630 3xxexx 练练 6. 设设)(xf可导，证明在可导，证明在)(xf的两个零点之间必有的两个零点之间必有)( )(xfxxf 的零点。的零点。练练 7. 设设)(xf在在1 , 1 上具有三阶连续导数，且上具有三阶连续导数，且. 0)0( , 1)1( , 0 1)( fff证明存在证明存在)1 , 1( 使得使得. 3)( f练练 8. 若若)(xf在开区间在开区间 I 内连续内连续, 且有唯一的极值点，且有唯一的极值点，则该极值点必
13、是最值点。则该极值点必是最值点。练练 1. 讨论讨论 ) 1( 2 )(23 xxxf的单调性、极值、凹凸性、拐的单调性、极值、凹凸性、拐点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。点以及渐近线，并根据这些讨论作其草图。 极大极大值值非极非极值值 ff f)3 ,( 3 ) 1 , 3( )0 , 1( 0 ) , 0( 000 ; 1 为为垂垂直直渐渐近近线线 x . 12为为斜斜渐渐近近线线 xy . 0) , 0(为为拐拐点点. 827)3( f极极大大值值练练 2. 求求xxxf 1 )(在在1 , 5 上的最值。上的最值。解解: , 012112)( xxxf令令 . 43 x解解得得 ,
14、 565)( f , 1) 1 ( f , 45)43( f 45)43( 1 5, )(和和最最小小值值上上有有最最大大值值在在 fxf . 565)( f练练 3. 求数列求数列nn的最大项。的最大项。解解: . )0( , 1 xxyx令令 . ln1 ln xxy . ln1 21exxxxyx 及及驻驻点点由由此此得得 . , 0 ; , 0 递递减减时时递递增增时时yyexyyex . 3 2 3是是可可能能的的最最大大项项和和因因此此 ; 8 )2( 6 而而 , 9)3(63 . 3 3是是最最大大项项因因此此练练 4. a取何值时取何值时在在xxaxf3sin31sin )(
15、 3 x取得极值？取得极值？是极大值还是极小值？是极大值还是极小值？解解: , ) , ( )(内内可可导导在在 xf . 3cos cos )( xxaxf , 012 cos3cos)3( , aaf 由由已已知知 解得解得 . 2 a , 3sin3 sin 2 )( xxxf , 0 3sin33 sin 2 )3( f 因此因此 . )3(是是极极大大值值 f练练 5 答案答案. 21 2cot lim )1(0 xxx1)(1sin1 e )1( lim )3( xxxx1 lim )4( sin0 xxx32 )cot 1( lim )2(220 xxx1 1 lim )6(2
16、xxx21 sin1 lim )5(630 3 xxexx练练 6. 提示：令提示：令, )( )(xfxxF 后证有后证有 使得使得 . 0)( F练练 7. 312)01(! 3)( )01(! 2)0( )01)(0( )0( 1)( fffff,! 3)( ! 2)0( )0( 1 fff ).0 , 1(1 322)01(! 3)( )01(! 2)0( )01)(0( )0( (1) fffff,! 3)( ! 2)0( )0( 2 fff ).1 , 0(2 , 1! 3)( )( )1()1(21 ffff, 32)( )( 21 ff即即使使得得因因此此存存在在连连续续 ),( , )( 21 xf.2)( )( )(21 fff )( 内内连连续续在在区区间间若若Ixf证：证： , 且且有有唯唯一一的的极极值值点点 则则 . 该该点点也也是是最最值值点点0 x1x xxy )( 内内有有唯唯一一的的极极在在不不妨妨设设Ixf . 0 x大大值值点点 , 0不不是是最最大大值值点点假假设设 x ).()( 011xfxfIx 使使得得则则存存在在 , 0是是极极大大值
