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1、11. 半径为半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为的带电细圆环，其电荷线密度为 = 0cos ，式中，式中 0为一常数，为一常数， 为半径为半径R与与x轴所成的夹角，如图所示试求环心轴所成的夹角，如图所示试求环心O处的电场强度处的电场强度 解：在任意角解：在任意角 处取微小电量处取微小电量dq = dl，它在，它在O点点产生的场强为：产生的场强为： qddEdyRxORRlRqE0020204dsco4d4dd它沿它沿x、y轴上的二个分量为：轴上的二个分量为： dEx=dEcos , dEy=dEsin 对各分量分别求和对各分量分别求和 20200dsco4RExR0040)d(sinsin4
2、2000REy故故O点的场强为：点的场强为： iRiEEx004xEdyEd22.两条无限长平行直导线相距为两条无限长平行直导线相距为r0，均匀带有等量异号电荷，电，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为荷线密度为 。（。（1）求两导线构成的平面上任一点的电场强度）求两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点到其中一线的垂直距离为（设该点到其中一线的垂直距离为x）；（）；（2）求每一根导线上）求每一根导线上单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。 分析：分析：（1）在两导线构成的平面上在两导线构成的平面上任一点的电场强度为两导线单独在任一点的电场
3、强度为两导线单独在此所激发的电场的叠加。此所激发的电场的叠加。（2）由由F = qE，单位长度导线所受单位长度导线所受的电场力等于另一根导线在该导线的电场力等于另一根导线在该导线处的电场强度来乘以单位长度导线处的电场强度来乘以单位长度导线所带电的量，即：所带电的量，即：F = E应该注意：应该注意：式中的电场强度式中的电场强度E是除去自身电荷是除去自身电荷外其它电荷的合电场强度。外其它电荷的合电场强度。ox0rxp3解：解：（1）设点）设点P在两导线构成的平面上，在两导线构成的平面上，E+、E-分别表示正、负分别表示正、负带电导线在带电导线在P点的电场强度，则有点的电场强度，则有ixrxrix
4、rxEEE)(211200000ox0rxpEEox0rxpEEox0rxpEEirxxrirxxEEE)(211200000ixrxrixrxEEE)(2112000004（2 2）设）设F+、F-分别表示正、负带电分别表示正、负带电导线单位长度所受的电场力，则有导线单位长度所受的电场力，则有相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。相互作用力大小相等，方向相反，两导线相互吸引。 irEF0022irEF0022ox0rxpEEox0rxpEEox0rxpEEixrxrixrxEEE)(211200000ox0rEE5解：解：参见图。由题意参见图。由题意E与与Oxy面面平行，所以对任何与
5、平行，所以对任何与Oxy面平行面平行的立方体表面。电场强度的通量的立方体表面。电场强度的通量为零为零: :0DEFGOABC3.边长为边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于的立方体如图所示，其表面分别平行于xy、yz和和zx平平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度 的非均匀电场中，求电场对立方体各表面的非均匀电场中，求电场对立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。及整个立方体表面的电场强度通量。 ?ABGF请分析：请分析：jEikxEE21)(ABGFdABGFSSE22d2ABGFdaESESS|xyzoABCD
6、EFGABGFd)(21SjSjEikxE1, 0jjji6考虑到面考虑到面CDEO与面与面ABGF的外法线方的外法线方向相反，且该两面的电场分布相同，向相反，且该两面的电场分布相同，故有故有 22ABGFCDEOaE同理同理 因此，整个立方体表面的电场强度通量因此，整个立方体表面的电场强度通量 3ka2121AOEFAOEFAOEFddaEiSjEiESESSjEikxEE21)(2121BCDG)(d)(dBCDGBCDGakaEiSjEikaESESSxyzoABCDEFG74.一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为 ，在平板中部有一，在平板中部有一半径
7、为半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点的一点P的的电场强度。电场强度。 分析：分析：用补偿法求解用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场。本题的几种非常特殊的对称性电场。本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布。场的分布。若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、
8、挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面密度密度 = ）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。8解：解：在带电平面附近在带电平面附近它们的合电场强度为它们的合电场强度为 在圆孔中心处在圆孔中心处x = 0 = 0，则，则 E E = 0 = 0 在距离圆孔较远时在距离圆孔较远时xr，则，则 上述结果表明，在上述结果表明，在xr时。带电平板上小圆孔对电场分布时。带电平板上小圆孔对电场分布的影
9、响可以忽略不计。的影响可以忽略不计。 nE201为沿平面外法线的单位矢量；为沿平面外法线的单位矢量；n nrxxE122202nrxxEEE222021nnxrE21120220圆盘激发的电场圆盘激发的电场:例例12.495.如图所示，一厚度为如图所示，一厚度为b的的“无限大无限大”带电平板，其电荷体密带电平板，其电荷体密度分布为度分布为 = kx（0 x b），式中），式中k为一常数，求：为一常数，求：（1）平板外两侧）平板外两侧任任一点一点P1 和和P2处的电场强度；处的电场强度；（2）平板内）平板内任任一点一点P处的电场强度；处的电场强度；（3）场强为零的点在何处？）场强为零的点在何处？
10、x0bPP2P1x分析：平板外两侧电场分布分析：平板外两侧电场分布在带电平板中取一在带电平板中取一平面，平面，电荷面密度电荷面密度 (x)02)(xE 两侧均匀场两侧均匀场, ,方向方向与平面垂直与平面垂直可知：平板外两侧电场仍为均匀电可知：平板外两侧电场仍为均匀电场，方向与板面垂直！场，方向与板面垂直！10 x0bPP2P1x解：解：（1）平板外两侧平板外两侧任任一点一点P1 和和P2处处的电场强度的电场强度Es0200002dd12kSbxxSkxSSEbb024kbE （2）平板内）平板内任任一点一点P处的电场强度处的电场强度E02002d)(kSxxxkSSEEx)2(2220bxkE
11、（3）场强为零的点在何处？）场强为零的点在何处？0222bx)0( ,2bxbx11分析：（分析：（1）根据静电感应和静电平衡）根据静电感应和静电平衡时导体表面电荷分布的规律，电荷时导体表面电荷分布的规律，电荷QA均匀分布在球均匀分布在球A表面，球壳表面，球壳B内表面带内表面带电荷电荷- -QA ,外表面带电荷外表面带电荷QA+ QB，电荷在导体表面，电荷在导体表面均匀分布均匀分布（图图(a)），由带电球面电势的，由带电球面电势的叠加可求得球叠加可求得球A和球壳和球壳B的电势。的电势。 6.6.在一半径为在一半径为R1 =6.0 cm的金属球的金属球A外面套有一个同心的金属球壳外面套有一个同心
12、的金属球壳B。已知球壳。已知球壳B的内、外半径分别为的内、外半径分别为R2 =8.0 cm，R3 =10.0 cm。设。设球球A带有总电荷带有总电荷QA= 3.0 10-8C ，球壳，球壳B带有总电荷带有总电荷QB= 2.0 10-8C。（l）求球壳）求球壳B内、外表面上所带的电荷以及球内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳和球壳B的电势；的电势；（2）将球壳将球壳B接地然后断开，再把金属球接地然后断开，再把金属球A接地接地，求球求球A和球壳和球壳B内、外表面上所带的电荷以及球内、外表面上所带的电荷以及球A和球壳和球壳B的电势。的电势。 AQBAQQ 1R3R2R)(aAAQBo12解：（解：（
13、1 1）由分析可知，球）由分析可知，球A的外表面带电的外表面带电3.0 10-8C，球壳，球壳B内表面带电内表面带电- -3.0 10-8C，外表面带电外表面带电5.0 10-8C。由电势的叠加，球。由电势的叠加，球A和球壳和球壳B的电势分别为的电势分别为VRQQRQRQUBAAAA3302010106 . 5444VRQQUBAB330105 . 44外表面带电荷外表面带电荷QA+ QB，电荷在导体表面，电荷在导体表面均匀分布均匀分布（图图(a)），由带电球面电势的，由带电球面电势的叠加可求得球叠加可求得球A和球壳和球壳B的电势。的电势。 （l）求球壳）求球壳B内、外表面上所带的电内、外表面
14、上所带的电荷以及球荷以及球A和球壳和球壳B的电势的电势BAQQ )(aAQ1R3R2RAAQBo13（2）将）将球壳球壳B接地然后断开，再把金属球接地然后断开，再把金属球A接地接地，求球，求球A和球壳和球壳B内、内、外表面上所带的电荷以及球外表面上所带的电荷以及球A和球壳和球壳B的电势。的电势。导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势导体接地，表明导体与大地等电势（大地电势通常取为零）。球壳通常取为零）。球壳B接地后，外表面的电荷接地后，外表面的电荷 与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电与从大地流入的负电荷中和，球壳内表面带电- -QA （图（图（b）。 再将球再将球A接地，接地，球壳内表
15、面带电球壳内表面带电-QA？AQ1R3R2R)(bAAQB断开球壳断开球壳B的接地后，再将球的接地后，再将球A接地，此时球接地，此时球A的的电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，电势为零。电势的变化必将引起电荷的重新分布，以保持导体的静电平衡、以保持导体的静电平衡、不失一般性可设此时球不失一般性可设此时球A带电带电qA，根据静电平衡时导体上电荷的分布规根据静电平衡时导体上电荷的分布规律，可知球壳律，可知球壳B内表面感应内表面感应 qA，外表面带电，外表面带电qA QA（图（图（c）。此时球。此时球A的电势可表示为的电势可表示为 AAQq Aq1R3R2R)(cAAqB302010444R
16、QqRqRqUAAAAA由由 UA= 0 可解出球可解出球A所带的电荷所带的电荷qA，再由带电球面电势的叠加，再由带电球面电势的叠加，可求出球可求出球A和球壳和球壳B的电势。的电势。 14解：解： （2）将球壳）将球壳B接地后断开，再把球接地后断开，再把球A接地，接地，设球设球A带电带电qA，球，球A和球壳和球壳B的电势为的电势为 解得解得 0444302010RQqRqRqUAAAAA304RQqUAABCRRRRRRQRRqAA8313221211012. 2AAQq Aq1R3R2R)(cAAqB此时球此时球A的电势可表示为的电势可表示为 302010444RQqRqRqUAAAAA由由 UA= 0 可解出球可解出球A所带的电荷所带的电荷qA，再由带电球面，再由带电球面电势的叠加，可求出球电势的叠加，可求出球A和球壳和球壳B的电势。的电势。 V1092. 72BU导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有导体的接地使各导体的电势分布发生变化，打破了原有的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，的静电平衡，导体表面的电荷将重新分布，以建立新的静电平衡。以建立新的静电平衡。157.
