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1、高等数学电子教案高等数学电子教案第三节第三节 幂幂 级级 数数 前面我们已经研究了常数项级数，下面将继续研究函数一一. .函数项级数的一般概念函数项级数的一般概念 设u1(x),u2(x),.un(x).都是定义在某一区间I上的函数序列,)(1xunn项级数.这是比常数项级数具有更加广泛意义的级数。则表达式u1(x)+u2(x)+.+un(x). (1) 称为在I上的函数项级数,记为高等数学电子教案高等数学电子教案 对于I上的任一定点x0,函数序列就成为数列,此时函数项级数 u1(x)+u2(x)+.+ un(x). (1)就成为 u1(x0 )+u2(x0 )+.+un(x0 ). (2)这
2、个级数(2)就是常数项级数 对于I上的不同的点,就有不同的常数项级数,所以函数项级数和常数项级数的关系是一般和特殊的关系.这样我们可以把常数项级数的有关理论和审敛法的知识应用到函数项级数中来. 高等数学电子教案高等数学电子教案级数(2)可能收敛也可能发散.如果(2)收敛,我们称点x0是函注意:I上的点若不是收敛点就是发散点,收敛域可能是区间,数项级数(1)的收敛点;如果(2)发散,我们称点x0是函数项级数(1)的发散点 函数项级数(1)的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所有发散点的全体称为它的发散域.也可能是孤立点,还可能是空集.高等数学电子教案高等数学电子教案对应于收敛域内的任意一个数x,函
3、数项级数成为一收敛).()(limxSxSnn我们仍把rn(x)=S(x)-Sn(x)叫做函数项级数的余项(当然,只有x在收敛域rn(x)才有意义),于是有.0)(limxrnn的常数项级数,因而有一确定的和S.这样在收敛域上,函数项级数的和是x的函数S(x),通常称S(x)为函数项级数的和函数,这函数的定义域就是级数的收敛域,写成 S(x)= u1(x)+u2(x)+.+un(x). 把函数项级数(1)的前n项的部分和记作Sn(x),则在收敛域上有高等数学电子教案高等数学电子教案 判断函数项级数的收敛性仍然和常数项级数一样,有 (1)和函数极限的存在性. (2)比值判别法 (3)根值判别法高
4、等数学电子教案高等数学电子教案例1 讨论下函数项级数的收敛域并求和函数.(*).11211nnnxxxx解:函数项级数的定义域是(-,+) 当|x|1时,由公比为x的等比数列求和公式,可得到);(11)(lim,1|.11)(xSxxSxxxxSnnnn时当高等数学电子教案高等数学电子教案;(*),)(lim,1|发散级数不存在时当xSxnn都发散和常数项级数时当.1111.111,1|x在此区间上其和的收敛域为综上可知),1 , 1(,11nnx;11)(xxS高等数学电子教案高等数学电子教案的收敛域111nnx利用比值判别法11111lim1111lim)()(limnnnnnnnnnxx
5、xxxuxu比值判别法失效,但由例2 讨论函数项级数111lim1, 11nnnxxxx高等数学电子教案高等数学电子教案级数收敛,且绝对收敛|1|11lim11xxxxnnn11, 1, 111limxxxxnn不存在，知级数发散故收敛域为), 1 () 1,(高等数学电子教案高等数学电子教案二二 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性 函数项级数是比较复杂的,这是因为它的每一项都是比)3.(.2210nnxaxaxaa其中常数a0,a1,a2,.an.叫做幂级数的系数.12nxxx.!1.! 2112nxnxx都是幂级数例如较复杂的函数.但这些函数都是幂函数时,它在理论上和形式上都很简单,却应用很
6、广泛的一类级数,称为幂级数.幂级数的一般形式是高等数学电子教案高等数学电子教案 幂级数之所以简单而重要,首先在于它的部分和Sn(x)是 幂级数收敛域的研究由Aber得到关于x的多项式,尽管它的和函数S(x)可能是很复杂的函数,当它总是可以用多项式来近似地表达,而且只要n充分大时,这种近似表达可以达到任意指定的精确程度,其次幂级数的收敛域有比较简单的形式.高等数学电子教案高等数学电子教案幂级数发散1nnnxa1nnnxa证明: 先设x0是幂级数(3)收敛点,即级数.0202010nnxaxaxaa收敛.根据级数收敛的必要条件,这时有. 0lim0nnnxa定理(Aber) 如果级数当x=x0(x
7、00)时收敛,则适合不等式 |x|x0|的一切x使这于是存在一个常数M,使得,.)2 , 1(0nMxann这样级数(3)的一般项的绝对值nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa00000高等数学电子教案高等数学电子教案因为当|x|x0|使级数收敛,则根据本定理的第一部分,级数当x=x0时应该收敛,这和所设矛盾.定理得证.高等数学电子教案高等数学电子教案 定理1告诉我们,如果幂级数在x=x0处收敛,则对于开区间设已给幂级数在数轴上既有收敛点(不仅是原点)也有发散 ( - |x0|,|x|)内的任何x幂级数都收敛;如果幂级数在x=x0处发散,则对于闭区间-|x0|,|x|外的任何x幂级数都
8、发散.点.现在从原点沿数轴向右方走,最初只遇到收敛点,然后就只遇到发散点.这两部分的界点可能是收敛点也可能是发散点.从原点沿数轴向左方走情况也是如此.两界点在原点的两侧,且由定理1可以证明它们到原点的距离是一样的.高等数学电子教案高等数学电子教案oR-Rpp从上面的几何说明,我们知道,幂级数的收敛域是以数轴上原点为中心的对称区间.这里的特殊情况是整个数轴,或仅有数轴的原点是收敛域.高等数学电子教案高等数学电子教案且当|x|R时幂级数发散.0nnnxa对于任何幂级数如果都存在一个非负数R, 0R+,关于幂级数的收敛半径求法,有下面的定理:特殊地,如果R=+,则幂级数在(-,+,)内收敛;如果R=
9、0,则幂级数仅在x=0处收敛. 这个数R称为幂级数的收敛半径.(-R,+R)叫做收敛域.由幂级数在x=R处的收敛性,就可决定它在区间(-R,+R)上的收敛情况.高等数学电子教案高等数学电子教案,如果它的系数满足0nnnxannnaa1lim.1,0) 1 (R则收敛半径若定理2 设有幂级数R则收敛半径若, 0)2(. 0,)3(R则收敛半径若高等数学电子教案高等数学电子教案证明: 由任意项级数的比值法,得到xxaaxaxannnnnnnn111limlim.1.,1, 1Rxx故收敛半径为级数发散即当因而幂级数在都有则对任何若, 10, 0)2(xx.,1, 1,0) 1 (幂级数绝对收敛即则
10、当若xx.,R故整个数轴上都收敛0,)3(x则除了若于是都有值以外的其它一切, 1,xx. 0R高等数学电子教案高等数学电子教案例2 求幂级数.) 1(.32132nxxxxnn的收敛半径解:因为1111lim111limlim1Rnnnnaannnnn在x=+1的端点,级数成为.1)1(.312111nn级数收敛在x= -1的端点,级数成为.1.31211n级数发散所以它的收敛半径为(-1,1高等数学电子教案高等数学电子教案例3 求下幂级数的收敛区间1!nnnx解:!1/)!1(1limlim1nnaannnn所以收敛半径R=+,收敛区间是(-,+)011limnn高等数学电子教案高等数学电
11、子教案例4 求级数的收敛区间1!nnxnnnnaa1lim解:所以收敛半径R=0,级数仅在x=0处收敛1lim!)!1(limnnnnn高等数学电子教案高等数学电子教案例5 求级数的收敛半径和收敛区间nnnxn)( !1!) 1()!1(limlim11nnnnaannnnnn所以收敛半径为eennnnnn1) 1() 1(lim1高等数学电子教案高等数学电子教案，！，原幂级数为当1nnnnenex通项不趋于0,级数发散nnnnenu！通项nnnnnnennnneuu！）（111) 1(!1)11 ( 1)11 (1ennenn高等数学电子教案高等数学电子教案,)1(1nnnnnenex！，原
12、幂级数为当所以原幂级数的收敛半径为e,收敛区域为(-e,e)发散同样原级数通项不趋于, 0高等数学电子教案高等数学电子教案例6求级数的收敛半径和收敛区间022nnnx本幂级数x的奇次幂的系数a2n+1=0,故不能用公式法求收敛半径.这里有二种解法高等数学电子教案高等数学电子教案解法一,利用正项级数的比值法考察022nnnx,222lim22122xxxnnnnn幂级数收敛即当2|, 122xx2.2|122收敛半径为幂级数发散即当xx, 1,2显然发散原级数为时当x高等数学电子教案高等数学电子教案解法二 令x2=t,原级数化为t的幂级数02nnnt21|22|lim|lim11nnnnnnuu
13、所以原级数的收敛半径为2高等数学电子教案高等数学电子教案当t=1时;1) 1() 1(1111它收敛nntnnnnn当t=-1时;1) 1() 1(111它发散nnnnnn收敛区间为-1t 1,即-10.R20,则对000)(nnnnnnnnnnxbaxbxa.22101nnnnnxbxbxbbxbR=minR1R2,在(-R,R)内,两个幂级数可作加法,减法,乘法运算即.).(.)(0001100000nnnnnnnnnxbabaxbababaxbxa高等数学电子教案高等数学电子教案对于两个幂级数相除.221022102210nnnnnnxcxcxccxbxbxbbxaxaxaa这里设b00
14、,为了求出右端的式子,我们把上式写为000nnnnnnnnnxcxbxa采用系数待定法解出C0,C1.高等数学电子教案高等数学电子教案 有了前面幂级数的四则运算,现在我们研究在收敛域内0nnnxa1)幂级数的和函数S(x)在其收敛域内是一个连续函数的幂级数的和函数 关于幂级数的和函数的性质和幂级数的分析运算有如下结论:高等数学电子教案高等数学电子教案0nnnxa010)()(nnnnnnxnaxaxS且求导前后的两个级数有相同的收敛半径R.2) 幂级数的和函数S(x)在其收敛域内是可导的,并有逐项求导公式反过来,和函数在收敛域内具有任意阶的导数.高等数学电子教案高等数学电子教案并有逐项积分公式
15、0nnnxa 01000001)(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxS逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径3)幂级数的和函数S(x)在其收敛域内是可积的,高等数学电子教案高等数学电子教案有了和函数的分析性质,我们就不必每次用定义求和函数 在利用幂级数的可以逐项微分,逐项积分性质求幂级数的极限,而是利用一些已知的幂级数的和函数 ( 这些幂级数即是: 等比级数,sinx,cosx, ex.的幂级数的展开式 ) 来求另外一些和函数.的和函数时,会提出如下的问题:在何种情形需逐项微分?又在何种情形需逐项积分?高等数学电子教案高等数学电子教案下面几点可作为解题时的依据:除了
16、上面两条原则外,把幂级数斥成几个级数的代数和或 (1)若幂级数通项的系数是n的有理分式,一般可用逐项微分的方法求和函数. (2)当幂级数通项的系数是n的有理整式时,一般可用逐项积分的方法求和函数.提出公因子,也是求幂级数的和函数常用的技巧.高等数学电子教案高等数学电子教案,) 1 , 1(811的和函数内求幂级数在区间例nnnx两边对x求导便得到S(x)的和并求级数12nnn) 1 , 1(11limlim1级数收敛半径为nnuunnnn1101011)()(nnnxnxnnxdxnxdxxSnxxSxxxxxxn1.).1 (12解:高等数学电子教案高等数学电子教案)1()(0 xxdxxSdxdx22)1(1)1(1xxxx11)21(21nnnx4)2/11(122421)21(212111nnnnnn高等数学电子教案高等数学电子教案的收敛域及和函数nnnnnxnnxnn12121!)2(;)!12()22() 1() 1 (分析: 这两个幂级数通项的分母都是阶乘,这种情形,一般例9 求幂级数可用逐项积分的性质求和函数,且要利用和函数为正余弦函数或指数函数的幂级数求和公式.高等数
